1、第不定積分的概念和性質演示文稿第一頁，共四十四頁。優選第不定積分的概念和性質第二頁，共四十四頁。一、 不定積分的概念定義3. 1 . 設f (x)在區間 I 上有定義, 若存在函數 F (x),使得任一 xI，都有則稱 F (x) 為f (x)在區間 I 上的一個原函數 . 1. 原函數稱一個原函數;例:稱一個原函數.在區間I=(-,+ )內，在區間I=(0,+ )內第三頁，共四十四頁。研究原函數必須解決的兩個重要問題: 1. 在什么條件下, 一個函數的原函數存在 ?2. 若已知某個函數的原函數存在, 如何把它求出 ? 定理1. 存在原函數 .初等函數在定義區間上連續初等函數在定義區間上有原函

2、數第四頁，共四十四頁。定理 2. 原函數都可表示為( C 為任意常數 ) .證: 1)又知故即第五頁，共四十四頁。2.不定積分在區間 I 上的全體原函數稱為上的不定積分,其中 積分號; 被積函數; 被積表達式. 積分變量; C 積分常數 不可丟 !例如,記作定義 . 第六頁，共四十四頁。例1. 設曲線通過點(1, 2), 且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍, 解: 所求曲線過點 (1, 2) ,故有因此所求曲線為設此曲線方程為 求此曲線的方程.第七頁，共四十四頁。3. 不定積分的幾何意義:的原函數的圖形稱為的圖形的積分曲線族.的積分曲線 . 第八頁，共四十四頁。如例1中,設曲線通過點

3、(1, 2), 且曲線的切線斜率2x,求此曲線的方程.分析: 所求曲線過點 (1, 2) ,故有因此所求曲線為曲線方程 積分曲線族一條積分曲線1第九頁，共四十四頁。二、不定積分的性質2.證明：證明：證明：第十頁，共四十四頁。推論：注：當k=0時，第十一頁，共四十四頁。基本積分表 (P61)利用逆向思維( k 為常數)積分運算和微分運算是互逆的，可以根據求導公式得出積分公式.第十二頁，共四十四頁。或或第十三頁，共四十四頁。例2. 求解: 原式 =第十四頁，共四十四頁。例3. 求解: 原式 =第十五頁，共四十四頁。例4. 求解: 原式 =第十六頁，共四十四頁。例5. 求解: 原式 =第十七頁，共四

4、十四頁。例6. 求解: 原式 =第十八頁，共四十四頁。例7. 求解: 原式 =例8. 求解: 原式 =第十九頁，共四十四頁。例9. 求解: 原式 =第二十頁，共四十四頁。問題？解決方法利用復合函數，設置中間變量.過程令三、換元積分法1. 第一類換元法第二十一頁，共四十四頁。三、換元積分法設可導,則有基本思路第二十二頁，共四十四頁。1. 第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即, 湊微分法)注 “湊微分”的主要思想是:將所給出的積分湊成積分表里已有的形式,合理選擇 是湊微分的關鍵.觀察重點不同，所得結論不同.第二十三頁，共四十四頁。例0 求解（一）解（二）解（三） 同一個積分用不同的方法計

5、算,可能得到表面上不一致的結果,但是實際上都表示同一族函數.注第二十四頁，共四十四頁。例 求解對第一換元積分法熟練后,可以不再寫出中間變量.一般地第二十五頁，共四十四頁。例1. 求解: 令則故原式 =注意換回原變量原式 =熟悉后，可直接湊微分第二十六頁，共四十四頁。例2. 求解: 原式 =第二十七頁，共四十四頁。例3. 求解:類似第二十八頁，共四十四頁。內容小結1. 不定積分的概念 原函數與不定積分的定義 不定積分的幾何意義 基本積分表 (見P61)3. 直接積分法:利用恒等變形, 及 基本積分公式進行積分 .常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式 , 代數公式 ,積分性質2.不定積分的

6、性質第二十九頁，共四十四頁。常見的湊微分類型有第三十頁，共四十四頁。第三十一頁，共四十四頁。作業練習題3.1（P69）1，2，3（1）（2）（4）第三十二頁，共四十四頁。思考與練習1. 證明 2. 若提示:第三十三頁，共四十四頁。3. 若是的原函數 , 則提示: 已知第三十四頁，共四十四頁。4. 若的導函數為則的一個原函數是 ( ) .提示: 已知求即B?或由題意其原函數為第三十五頁，共四十四頁。5. 求下列積分:提示:第三十六頁，共四十四頁。6. 求不定積分解：第三十七頁，共四十四頁。7. 已知求 A , B .解: 等式兩邊對 x 求導, 得第三十八頁，共四十四頁。牛頓(1642 1727

7、) 偉大的英國數學家，物理學家, 天文學家和自然科學家。他在數學上的卓越貢獻是創立了微積分。1665年他提出正流數 (微分) 術 ，次年又提出反流數(積分)術,并于1671年完成流數術與無窮級數一書 (1736年出版)。他還著有自然哲學的數學原理和廣義算術等。第三十九頁，共四十四頁。 Newton受巴羅的“巴羅微分三角形”啟發發明微積分，所以巴羅在微積分發展史上功不可沒。 Newton從1665年到1695年，對微積分的創造性成果為： 1665，“正流數術” 微分學； 1666，“反流數術” 積分學； 1666，“流數簡論” 標志微積分的誕生； 1669，“分析學” 由此后人稱以微積分為 主要

8、內容的學科為數學分析 1671，“流數法” 1687，“自然哲學的數學原理”簡稱“原理” 1691，“求積術”牛頓的微積分貢獻第四十頁，共四十四頁。萊布尼茲(1646 1716) 德國數學家, 哲學家.和牛頓同為微積分的創始人 , 他在學藝雜志上發表的幾篇有關微積分學的論文中,有的早于牛頓, 所用微積分符號也遠遠優于牛頓 . 他還設計了作乘法的計算機 , 系統地闡述二進制計數法 ,并把它與中國的八卦聯系起來 .第四十一頁，共四十四頁。萊布尼茲的主要成果 1675年給出積分號“ ”，同年引入微分號“d” 1676年給出公式 ， 1677年，表述微積分基本定理： 1684年，“求極大與極小值和求切線的新方法” 1686年，“深奧的幾何與不可分量的無限的分析”第四十二頁，共四十四頁。畢達哥拉斯與第一次數學危機據西方國家記敘，畢達哥拉斯是最早證明了勾股定理。據說：畢達哥拉斯欣喜若狂，為此還殺了一百頭牛以作慶賀。因些，在西方稱這個定理為“畢達哥拉斯定理”，還有一個帶有神秘色彩的稱號“百牛定理”。“萬物皆數”畢達哥拉斯學派的基本信條：他們認為“萬物都可歸結為整數或整數之比 （分數）”他們相信宇宙的本質就是這種“數的和諧”他們認為：世界上只有整數和分數，除此以外，就不再有別的數了。第四十三頁，共四十四頁。畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機具有戲劇性和諷刺意味的是，正是畢達哥拉斯