1、教學部通信原理隨機過程第1頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三隨機過程的基本概念確定性過程其變化過程可以用一個或幾個時間t的確定函數來描述隨機過程其變化過程不可能用一個或幾個時間t的確定函數來描述。通信過程是信號和噪聲通過通信系統的過程。而通信系統中遇到的信號和噪聲總帶有隨機性，從統計數學的觀點看，隨機信號和噪聲統稱為隨機過程第2頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三隨機過程的基本概念隨機過程的定義：設 是隨機試驗。每一次試驗都有一條時間波形（稱為樣本函數或實現），記作 ，所有可能出現的結果的總體 就構成一隨機過程，記作 。簡言之，無窮多個樣本函數的總體叫

2、做隨機過程第3頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三隨機過程的基本概念一個樣本一個隨機變量第4頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三隨機過程的基本概念隨機過程(t)具有兩個基本特征： (t)是時間t的函數；在某一觀察時刻t1，樣本的取值(t1)是一個隨機變量。因此，我們又可以把隨機過程看成依賴時間參數的一族隨機變量。可見，隨機過程具有隨機變量和時間函數的特點。第5頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三一維分布函數：一維概率密度函數：二維分布函數：二維概率密度函數：隨機過程的統計特性用分布函數、概率密度函數或數字特征來描述。統計特性第6頁，共

3、57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三數字特征分布函數或概率密度函數能夠較全面地描述隨機過程的統計特性在實際工作中，有時不易或不需求出分布函數和概率密度函數，用隨機過程的數字特征來描述隨機過程的統計特性，更簡單直觀。第7頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三數學期望（均值）方差數字特征方差等于均方值與數學期望平方之差。它表示隨機過程在時刻t對于均值a(t)的偏離程度。均值和方差是對隨機變量求積分或求和均值和方差是時間的函數第8頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三數字特征相關函數衡量隨機過程在任意兩個時刻獲得的隨機變量之間的關聯程度時，常用協方差

4、函數B(t1, t2)和相關函數R(t1, t2)來表示。協方差函數同一隨機過程,不同時間間關系自協方差函數不同隨機過程,不同時間間關系互協方差函數第9頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三相關函數同一隨機過程,不同時間間關系自相關函數不同隨機過程,不同時間間關系互相關函數數字特征第10頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三 過程是慢變化， 過程是快變化，它們大致有相同的均值、方差，但是在不同時刻的取值，對于 來說，相關性強；對于 來說，相關性強弱 數字特征相關函數第11頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三數字特征【例】 已知X和Y是相互

5、獨立的兩個隨機變量，它們均值和方差分別為2和6，試求 的均值、方差和自相關函數。獨立概念相關概念X和Y不相關X和Y線性相關第12頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三數字特征【例】 已知X和Y是相互獨立的兩個隨機變量，它們均值和方差分別為2和6，試求 的均值、方差和自相關函數。第13頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三平穩隨機過程 是指它的統計特性不隨時間的推移而變化。則稱 是嚴平穩隨機過程或狹義平穩隨機過程。平穩隨機過程如果任意非零值一維概率密度函數二維概率密度函數第14頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三均值自相關函數平穩隨機過程第

6、15頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三設有一個二階矩隨機過程 ，它的均值為常數，自相關函數僅是的函數，則稱它為寬平穩隨機過程或廣義平穩隨機過程。通信系統中所遇到的信號及噪聲，大多數可視為平穩的隨機過程。平穩隨機過程平穩隨機過程均值為常數自相關函數只與時間間隔有關與時間起點無關如何判別隨機過程是平穩的？第16頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三x(t)是平穩隨機過程 的任意一個實現，它的 時間均值 和時間相關函數 分別為如果平穩隨機過程依概率1使下式成立： 則稱該平穩隨機過程具有各態歷經性各態歷經性第17頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，

7、星期三各態歷經性已知均勻分布x(t)是否為寬平穩隨機過程，是否服從各態歷經性？寬平穩隨機過程第18頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三各態歷經性各態歷經性第19頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三 “各態歷經”的含義：隨機過程中的任一實現都經歷了隨機過程的所有可能狀態。因此， 我們無需（實際中也不可能）獲得大量用來計算統計平均的樣本函數，而只需從任意一個隨機過程的樣本函數中就可獲得它的所有的數字特征，從而使“統計平均”化為“時間平均”，使實際測量和計算的問題大為簡化。 具有各態歷經性的隨機過程必定是平穩隨機過程，但平穩隨機過程不一定是各態歷經的。在通信系

8、統中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態歷經條件。各態歷經性判斷各態歷經性首先判斷是否滿足寬平穩條件第20頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三設 為實平穩隨機過程，則它的自相關函數具有下列主要性質：（1）（2）（3） 的偶函數（4） 的上界（5）平穩隨機過程自相關函數的性質方差， 的交流功率 的平均功率 的直流功率第21頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度為我們可以把f(t)看成是平穩隨機過程(t)中的任一實現，因而每一實現的功率譜密度也可用上式來表示。由于(

9、t)是無窮多個實現的集合，哪一個實現出現是不能預知的，因此，某一實現的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應看做是任一實現的功率譜的統計平均，即 平穩隨機過程的功率譜密度第22頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三功率信號f(t)及其截短函數平穩隨機過程的功率譜密度第23頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三的平均功率S則可表示成平穩隨機過程的功率譜密度功率譜的統計平均第24頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三平穩隨機過程的功率譜密度第25頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三確知的非周期功率信號的自相關

10、函數與其譜密度是一對 傅氏變換關系。 對于平穩隨機過程，也有類似的關系，即平穩隨機過程的功率譜密度第26頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三R(0)表示隨機過程的平均功率非負性偶函數平穩隨機過程的功率譜密度第27頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三例 某隨機相位余弦波 ，其中A和 均為常數，是在(0, )內均勻分布的隨機變量。 求 的自相關函數與功率譜密度.平穩隨機過程的功率譜密度第28頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三解： 先考察(t)是否廣義平穩 的數學期望為的自相關函數為根據以及是廣義平穩。則功率譜密度為平均功率為平穩隨機過程

11、的功率譜密度第29頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三高斯隨機過程 若隨機過程(t)的任意n維（n=1, 2, ）分布都是正態分布，則稱它為高斯隨機過程或正態過程。 第30頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三高斯隨機過程 如果各隨機變量兩兩之間互不相關，則上式中，對所有統計獨立第31頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三由式可以看出, 高斯過程的n維分布完全由n個隨機變量的數學期望、方差和兩兩之間的歸一化協方差函數所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的數字特征就可以了。如果高斯過程是廣義平穩的，則它的均值、方差與時間無關，協方差函數只

12、與時間間隔有關，而與時間起點無關，由性質1知，它的n維分布與時間起點無關。所以，廣義平穩的高斯過程也是狹義平穩的。高斯過程經過線性變換（或線性系統）后仍是高斯過程。高斯隨機過程重要性質 第32頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三f(x)具有如下特性 (1) f(x)對稱于x=a這條直線。 (2)正態分布的概率密度一維高斯隨機過程 第33頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三誤差函數和互補誤差函數互補誤差函數誤差函數第34頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個理想的寬帶隨機過程。式中n0為一常數，單位是瓦/赫。

13、顯然，白噪聲的自相關函數可借助于下式求得，即信號在信道中傳輸時，常會遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內，即這說明，白噪聲只有在=0時才相關，而它在任意兩個時刻上的隨機變量都是互不相關的。高斯白噪聲第35頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三白噪聲的功率譜和自相關函數高斯白噪聲第36頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三 如果白噪聲又是高斯分布的，我們就稱之為高斯白噪聲。 高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間，不僅是互不相關的，而且還是統計獨立的。 應當指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻

14、分布的頻率范圍遠遠大于通信系統的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。高斯白噪聲功率譜角度概率分布角度第37頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三隨機過程通過線性系統只考慮平穩過程通過線性時不變系統的情況。隨機信號通過線性系統的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統的分析原理的基礎之上的。我們知道，線性系統的響應vo(t)等于輸入信號vi(t)與系統的單位沖激響應h(t)的卷積，即若則有第38頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三若線性系統是物理可實現的，則或 如果把vi(t)看作是輸入隨機過程的一個樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機過程的一個樣本。顯然，輸入

15、過程i(t)的每個樣本與輸出過程o(t)的相應樣本之間都滿足上式的關系。 這樣，就整個過程而言，便有隨機過程通過線性系統第39頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三假定輸入i(t)是平穩隨機過程， 則可以分析系統的輸出過程o(t)的統計特性。隨機過程通過線性系統1. 輸出過程o(t)的數學期望由此可見, 輸出過程的數學期望等于輸入過程的數學期望與直流傳遞函數H(0)的乘積，且與t無關。 第40頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三可見, o(t)的自相關函數只依賴時間間隔而與時間起點t1無關。由以上輸出過程的數學期望和自相關函數證明，若線性系統的輸入過程是平

16、穩的，那么輸出過程也是平穩的。2. 輸出過程o(t)的自相關函數 隨機過程通過線性系統第41頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三3. 輸出過程o(t)的功率譜密度可見，系統輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi()與系統功率傳輸函數|H()|2的乘積。隨機過程通過線性系統第42頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三例 帶限白噪聲。試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關函數和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為可見，輸出噪聲的功率譜密度在|H內是均勻的， 在此范圍外則為零，通常把這樣的噪聲稱為帶限白噪聲。帶限白噪聲第43頁，

17、共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三帶限白噪聲的功率譜和自相關函數帶限白噪聲第44頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三帶限白噪聲其自相關函數為由此可見，帶限白噪聲只有在=k/2fH(k=1, 2, 3, )上得到的隨機變量才不相關。即，如果對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話，則各抽樣值是互不相關的隨機變量。帶限白噪聲的平均功率：第45頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三從原理上看，在已知輸入過程分布的情況總可以確定輸出過程的分布。其中一個十分有用的情形是：如果線性系統的輸入過程是高斯型的，則系統的輸出過程也是高斯型的。因為從積分原理來看，上式

18、可表示為一個和式的極限，即4. 輸出過程o(t)的概率分布帶限白噪聲第46頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三 由于i(t)已假設是高斯型的，所以，在任一時刻的每項 都是一個高斯隨機變量。因此，輸出過程在任一時刻得到的每一隨機變量，都是無限多個高斯隨機變量之和。 由概率論得知，這個“和”的隨機變量也是高斯隨機變量。這就證明，高斯過程經過線性系統后其輸出過程仍為高斯過程。 更一般地說，高斯過程經線性變換后的過程仍為高斯過程。但要注意，由于線性系統的介入，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數字特征已經改變了。 帶限白噪聲第47頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三

19、窄帶隨機過程隨機過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統的輸出，即是窄帶隨機過程。所謂窄帶系統，是指其通帶寬度ffc，且fc遠離零頻率的系統。實際中，大多數通信系統都是窄帶型的，通過窄帶系統的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時的信號或噪聲又是隨機的，則稱它們為窄帶隨機過程。可表示為：第48頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三窄帶過程的頻譜和波形示意窄帶隨機過程第49頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三 a(t)及(t)分別是(t)的隨機包絡和隨機相位，c(t)及s(t)分別稱為(t)的同相分量和正交分量，它們也是隨機過程，顯然它們的變化相對于載波cosct的變化要

20、緩慢得多。 (t)的統計特性可由a(t)，(t)或c(t),s(t)的統計特性確定。反之，如果已知(t)的統計特性則可確定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的統計特性。 窄帶隨機過程第50頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三1 同相和正交分量的統計特性 設窄帶過程(t)是平穩高斯窄帶過程，且 均值為零，方差為 。 可以證明它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是零均值的平穩高斯過程，而且與(t)具有相同的方差。 此外，在同一時刻上得到的c和s是互不相關的或統計獨立的。 窄帶隨機過程第51頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三2 包絡和相位的統計特性一個均值為零，方差為 的窄帶平穩高斯過程(t)，其包絡a(t)的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，a(t)與(t)是統計獨立的，即有下式成立：窄帶隨機過程瑞利分布第52頁，共57頁，2022年，5月20日，16點0分，星期三正弦波加窄帶高斯噪聲信號經過信道傳輸后總會受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機前端設置一個帶通濾波器，以濾除信號