1、彈性力學第二章平面問題的基本理論第1頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三平 面 應 力 問 題平面應力問題：設(shè)有很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面且不沿厚度變化的面力或約束，同時體力也平行于板面且不沿厚度變化。xyzh第2頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三平 面 應 變 問 題平面應變問題：設(shè)有很長的柱形體，它的橫截面不沿長度變化，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力或約束，同時體力也平行于橫截面且不沿長度變化。xyz第3頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三物 理 方 程這里，E為彈性模量，G為剪切模量，泊松系數(shù)，且

2、有如下關(guān)系：第4頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三平面應力問題的物理方程注：平面應力狀態(tài)中，垂直于平面方向上的正應變不為零。第5頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三平面應變問題的物理方程注：平面應變狀態(tài)中，垂直于平面方向上的正應力不為零。第6頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三平 衡 微 分 方 程 (1)oxyc第7頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三平 衡 微 分 方 程 (2)X 方向力平衡：c第8頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三再 證 剪 應 力 互 等對c點力矩平衡：c第9頁，共

3、42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三幾 何 方 程PABPABoxy第10頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三剛 體 位 移Poxy第11頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三平 面 問 題 小 結(jié)平面問題的基本方程：三個物理方程三個幾何方程兩個平衡方程平面問題中的未知函數(shù)：三個應力分量三個應變分量兩個位移分量第12頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三平面問題中一點的應力狀態(tài)PABoxyx方向力平衡：y方向力平衡：求得 ：同理：第13頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三主 應 力 及 其 方 向PABo

4、xy在應力主面上，全應力等于主應力，因此：第14頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三最大正應力與最大剪應力第15頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三莫爾圓推導應力狀態(tài)公式2O. Mohr, 德國人，1835-1918。第16頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三邊 界 條 件位移邊界條件：應力邊界條件：混合條件：在位移約束 面上：在應力約束 面上：位移約束與應力約束的組合。設(shè) 面法線與x軸正向夾角的余玄為l，與y軸正向夾角的余玄為m。第17頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三邊 界 條 件 舉 例xyxyqp第18頁

5、，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三圣維南原理及其應用圣維南（Adhmar Jean Claude Barr de Saint-Venant，17971886）原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么近處的應力分布將有顯著改變，但是遠處所受的影響可以忽略不計。FFFFF/2FF/2F/AFF/AF/AF第19頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三圣 維 南 原 理 推 廣如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處發(fā)生顯著的應力，而遠處

6、可以不計。第20頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三圣 維 南 原 理 應 用xyh/2h/2嚴格邊界條件運用圣維南原理的邊界條件ll第21頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三用位移法與應力法求解平面問題位移法：以位移為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去應力分量和形變分量，導出只含位移分量的方程和相應的邊界條件，并由此解出位移分量，然后再求出形變分量和應力分量。應力法：以應力分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移分量和形變分量，導出只含應力分量的方程和相應的邊界條件，并由此解出位移分量，然后再求出形變分量和位移分量。注：課堂上只推導平面應力問題

7、的求解方法，至于平面應變問題，只需要在推導結(jié)果上稍作改變，即將結(jié)果中：換為換為第22頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三按位移求解平面應力問題(1) 用應變表達應力（物理方程）第23頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三按位移求解平面應力問題(2) 用位移表達應變（幾何方程）第24頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三按位移求解平面應力問題(3) 平衡方程第25頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三按位移求解平面應力問題(4) 邊界條件第26頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三按位移求解平面應力問題(

8、5) 小結(jié)按位移求解平面問題需要：1. 位移分量滿足微分方程：2.邊界條件：第27頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三按位移求解平面問題(5) 舉例y=hgxy第28頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三按位移求解平面問題(6) 舉例y=hgxy第29頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三按應力求解平面應力問題(1) 用位移表達應變（幾何方程）形變協(xié)調(diào)方程或相容方程連續(xù)體的形變分量不是相互獨立的，它們之間必須滿足相容方程，才能保證真實的位移分量存在。第30頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三按應力求解平面應力問題(2)

9、 相容方程的運用設(shè)有應變分量：顯然其不滿足協(xié)調(diào)方程。第31頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三按應力求解平面應力問題(3) 用應力表達應變（物理方程）用應力表達應變并代入形變協(xié)調(diào)方程：得到：第32頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三按應力求解平面應力問題(4) 平衡方程代入下式消去剪應力：得到：第33頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三按應力求解平面應力問題(5) 小結(jié)按應力求解平面問題需要：3.應力分量滿足邊界條件和或位移單值條件：2.應力分量滿足形變協(xié)調(diào)方程：1.應力分量滿足平衡微分方程：第34頁，共42頁，2022年，5月20日

10、，9點39分，星期三按應力求解平面應力問題(6) 例題y=hgxy第35頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三常體力情況下的簡化（1） 應力調(diào)和方程常體力拉普拉斯（Laplace，Pierre-Simon，17491827）方程，即調(diào)和方程。當體力為常量時，在單連體的應力邊界問題中，如果兩個彈性體的邊界形狀以及受力分布相同，那么它們平面內(nèi)的應力分布相同。第36頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三常體力情況下的簡化（2） 求解平衡方程平衡方程應力調(diào)和方程所求的應力函數(shù)必須滿足以下方程：其中 式的解為 式的通解加上 式的特解：第37頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三常體力情況下的簡化（3） 平衡方程的特解特解一：特解二：特解三：第38頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三常體力情況下的簡化（4） 平衡方程的通解因此，由 中第一式：由 中第二式：剪應力相等：則有：最后得到：艾里George Airy (1801-1892)應力函數(shù)第39頁，共42頁，2022年，5月20日，9點39分，星期三常體力情況下的簡化（5） 平衡方程的解通解特解第40頁，共42頁，2022年，5月20日