1、.排列組合問題的解題策略關鍵詞： 排列組合,解題策略 一、相臨問題捆綁法例17名學生站成一排,甲、乙必須站在一起有多少不同排法？解：兩個元素排在一起的問題可用捆綁法解決,先將甲乙二人看作一個元素與其他五人進行排列,并考慮甲乙二人的順序,所以共有 種。評注：一般地: 個人站成一排,其中某 個人相鄰,可用捆綁法解決,共有 種排法。二、不相臨問題選空插入法例2 7名學生站成一排,甲乙互不相鄰有多少不同排法？解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應用插空法,所以甲、乙二人不相鄰的排法總數應為： 種 .評注：若 個人站成一排,其中 個人不相鄰,可用插空法解決,共有 種排法。三、復雜問題總體排除法在直接法考慮比較

2、難,或分類不清或多種時,可考慮用排除法,解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對其構成元素的限制。例3.正六邊形的中心和頂點共7個點,以其中3個點為頂點的三角形共有多少個.解：從7個點中取3個點的取法有 種,但其中正六邊形的對角線所含的中心和頂點三點共線不能組成三角形,有3條,所以滿足條件的三角形共有 332個.四、特殊元素優先考慮法 對于含有限定條件的排列組合應用題,可以考慮優先安排特殊位置,然后再考慮其他位置的安排。 例4 1名老師和4名獲獎學生排成一排照像留念,若老師不排在兩端,則共有不同的排法 種解：先考慮特殊元素老師的排法,因老師不排在兩端,故可在中間三個位置上任選一個位置,有 種,而其余

3、學生的排法有 種,所以共有 72種不同的排法.例520XX全國高考題乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員,派5名隊員參加比賽,3名主力隊員要安排在第一、三、五位置,其余7名隊員選2名安排在第二、四位置,那么不同的出場安排共有 種.解：由于第一、三、五位置特殊,只能安排主力隊員,有 種排法,而其余7名隊員選出2名安排在第二、四位置,有 種排法,所以不同的出場安排共有 252種.五、多元問題分類討論法對于元素多,選取情況多,可按要求進行分類討論,最后總計。例620XX北京春招某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單,開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個節目插入原節目單中,那么不同插法的種數為A

4、A42 B30 C20 D12解：增加的兩個新節目,可分為相臨與不相臨兩種情況：1.不相臨：共有A62種；2.相臨：共有A22A61種。故不同插法的種數為：A62 +A22A61=42 ,故選A。例720XX全國高考試題如圖, 一個地區分為5個行政區域,現給地圖著色,要求相鄰地區不得使用同一顏色,現有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有多少種？以數字作答解：區域1與其他四個區域相鄰,而其他每個區域都與三個區域相鄰,因此,可以涂三種或四種顏色 用三種顏色著色有 =24種方法, 用四種顏色著色有 =48種方法,從而共有24+48=72種方法,應填72.六、混合問題先選后排法對于排列組合的混合應用

5、題,可采取先選取元素,后進行排列的策略 例820XX北京高考12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查,若每個路口4人,則不同的分配方案共有 A 種 B 種 C 種 D 種解：本試題屬于均分組問題。 則12名同學均分成3組共有 種方法,分配到三個不同的路口的不同的分配方案共有： 種,故選A。例920XX北京高考試題從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質的三塊土地上,其中黃瓜必須種植,不同的種植方法共有 A24種 B18種 C12種 D6種 解:先選后排,分步實施. 由題意,不同的選法有: C32種,不同的排法有: A31A22,故不同的種植方法共有A31C32A2

6、2=12,故應選C. 七相同元素分配檔板分隔法例10把10本相同的書發給編號為1、2、3的三個學生閱覽室,每個閱覽室分得的書的本數不小于其編號數,試求不同分法的種數。請用盡可能多的方法求解,并思考這些方法是否適合更一般的情況？本題考查組合問題。解：先讓2、3號閱覽室依次分得1本書、2本書；再對余下的7本書進行分配,保證每個閱覽室至少得一本書,這相當于在7本相同書之間的6個空檔內插入兩個相同I一般可視為隔板共有 種插法,即有15種分法。總之,排列、組合應用題的解題思路可總結為：排組分清,加乘明確；有序排列,無序組合；分類為加,分步為乘。具體說,解排列組合的應用題,通常有以下途徑：1以元素為主體,

7、即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素。2以位置為主體,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置。3先不考慮附加條件,計算出排列或組合數,再減去不合要求的排列組合數。排列組合問題的解題方略XX省安陸市第二高級中學 張征洪排列組合知識,廣泛應用于實際,掌握好排列組合知識,能幫助我們在生產生活中,解決許多實際應用問題。同時排列組合問題歷來就是一個老大難的問題。因此有必要對排列組合問題的解題規律和解題方法作一點歸納和總結,以期充分掌握排列組合知識。首先,談談排列組合綜合問題的一般解題規律:1使用分類計數原理還是分步計數原理要根據我們完成某件事時采取的方式而定,可以分類來完成這件事時用分類計數原理,需要

8、分步來完成這件事時就用分步計數原理；那么,怎樣確定是分類,還是分步驟？分類表現為其中任何一類均可獨立完成所給的事件,而分步必須把各步驟均完成才能完成所給事件,所以準確理解兩個原理強調完成一件事情的幾類辦法互不干擾,相互獨立,彼此間交集為空集,并集為全集,不論哪類辦法都能將事情單獨完成,分步計數原理強調各步驟缺一不可,需要依次完成所有步驟才能完成這件事,步與步之間互不影響,即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。 2排列與組合定義相近,它們的區別在于是否與順序有關。3復雜的排列問題常常通過試驗、畫 樹圖 、框圖等手段使問題直觀化,從而尋求解題途徑,由于結果的正確性難于檢驗,因此常常需要用不同

9、的方法求解來獲得檢驗。4按元素的性質進行分類,按事件發生的連續性進行分步是處理排列組合問題的基本思想方法,要注意至少、至多等限制詞的意義。5處理排列、組合綜合問題,一般思想是先選元素組合,后排列,按元素的性質進行分類和按事件的過程分步,始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法,通過解題訓練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能,保證每步獨立,達到分類標準明確,分步層次清楚,不重不漏。6在解決排列組合綜合問題時,必須深刻理解排列組合的概念,能熟練地對問題進行分類,牢記排列數與組合數公式與組合數性質,容易產生的錯誤是重復和遺漏計數。總之,解決排列組合問題的基本規律,即：分類相加,分步相乘,排組分清,

10、加乘明確；有序排列,無序組合；正難則反,間接排除等。其次,我們在抓住問題的本質特征和規律,靈活運用基本原理和公式進行分析解答的同時,還要注意講究一些解題策略和方法技巧,使一些看似復雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一特殊元素位置的優先安排法：對于特殊元素位置的排列組合問題,一般先考慮特殊,再考慮其他。例1、 用0,2,3,4,5,五個數字,組成沒有重復數字的三位數,其中偶數共有 。 A 24個 B.30個 C.40個 D.60個分析由于該三位數為偶數,故末尾數字必為偶數,又因為0不能排首位,故0就是其中的特殊元素,應該優先安排,按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：10排末尾時,

11、有A42個,20不排在末尾時,則有C21 A31A31個,由分數計數原理,共有偶數A42 + C21 A二總體淘汰法：對于含否定的問題,還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中,也可用此法解答:五個數字組成三位數的全排列有A53個,排好后發現0不能排首位,而且數字3,5也不能排末位,這兩種排法要排除,故有A53-3A42+ C21A31=30個偶數。三合理分類與準確分步含有約束條件的排列組合問題,按元素的性質進行分類,按事情發生的連續過程分步,做到分類標準明確,分步層次清楚,不重不漏。四相鄰問題用捆綁法：在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時,先整體考慮,將相鄰的元素捆綁起來,看作一大元素與其余

12、元素排列,然后再考慮大元素內部各元素間順序的解題策略就是捆綁法例2、有8本不同的書；其中數學書3本,外語書2本,其它學科書3本若將這些書排成一列放在書架上,讓數學書排在一起,外語書也恰好排在一起的排法共有種 解：把3本數學書捆綁在一起看成一本大書,2本外語書也捆綁在一起看成一本大書,與其它3本書一起看作5個元素,共有A55種排法；又3本數學書有A33種排法,2本外語書有A22種排法；根據分步計數原理共有排法A55 A33 A注：運用捆綁法解決排列組合問題時,一定要注意捆綁起來的大元素內部的順序問題五不相鄰問題用插空法：不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰,由其它元素將它們隔開解決此類問題可以先將

13、其它元素排好,再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置,故稱插空法例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數,要求1與2相鄰,2與4相鄰,5與6相鄰,而7與8不相鄰。這樣的八位數共有個解：由于要求1與2相鄰,2與4相鄰,可將1、2、4這三個數字捆綁在一起形成一個大元素,這個大元素的內部中間只能排2,兩邊排1和4,因此大元素內部共有A22種排法,再把5與6也捆綁成一個大元素,其內部也有A22種排法,與數字3共計三個元素,先將這三個元素排好,共有A33種排法,再從前面排好的三個元素形成的間隙及兩端共四個位置中任選兩個,把要求不相鄰的數字7和8插入即可,共有A42種插法

14、,所以符合條件的八位數共有A22 A22 A33 A42288 注：運用插空法解決不相鄰問題時,要注意欲插入的位置是否包含兩端位置六順序固定用除法：對于某幾個元素按一定的順序排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列,然后用總的排列數除于這幾個元素的全排列數。例4、6個人排隊,甲、乙、丙三人按甲-乙-丙順序排的排隊方法有多少種？分析：不考慮附加條件,排隊方法有A66種,而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A66 A33 =120種。例5、4個男生和3個女生,高矮不相等,現在將他們排成一行,要求從左到右女生從矮到高排列,有多少種排法。解：先在7個位置中任取

15、4個給男生,有A74 種排法,余下的3個位置給女生,只有一種排法,故有A74 種排法。七分排問題用直排法：把幾個元素排成若干排的問題,可采用統一排成一排的排法來處理。例6、7個人坐兩排座位,第一排3個人,第二排坐4個人,則不同的坐法有多少種？分析：7個人可以在前兩排隨意就坐,再無其它條件,故兩排可看作一排來處理,不同的坐法共有A77種。八逐個試驗法：題中附加條件增多,直接解決困難時,用試驗逐步尋找規律。例7.將數字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的方格中,每方格填1個,方格標號與所填數字均不相同的填法種數有 A6 B.9 C.11 D.23解：第一方格內可填2或3或4,如第一填2,則第二

16、方格可填1或3或4,若第二方格內填1,則后兩方格只有一種方法；若第二方格填3或4,后兩方格也只有一種填法。一共有9種填法,故選B九、構造模型 隔板法對于較復雜的排列問題,可通過設計另一情景,構造一個隔板模型來解決問題。例8、方程a+b+c+d=12有多少組正整數解？分析：建立隔板模型：將12個完全相同的球排成一列,在它們之間形成的11個間隙中任意插入3塊隔板,把球分成4堆,每一種分法所得4堆球的各堆球的數目,對應為a、b、c、d的一組正整解,故原方程的正整數解的組數共有C113 .又如方程a+b+c+d=12非負整數解的個數,可用此法解。十.正難則反排除法對于含至多或至少的排列組合問題,若直接

17、解答多需進行復雜討論,可以考慮總體去雜,即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉,從而計算出符合條件的排列組合數的方法例9、從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺,其中至少要甲型與乙型電視機各一臺,則不同的取法共有種 A140種 B80種 C70種 D35種解：在被取出的3臺中,不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合題意,因此符合題意的抽取方法有C93-C43-C53=70,故選C 注：這種方法適用于反面的情況明確且易于計算的習題十一逐步探索法：對于情況復雜,不易發現其規律的問題需要認真分析,探索出其規律例10、從1到100的自然數中,每次取出不同的兩個數,使它們的和大于100,則不同的取法種數有多少種。解：兩個數相加中以較小的數為被加數,1+100100,1為被加數時有1種,2為被加數有2種,49為被加數的有49種,50為被加數的有50種,但51為被加數有49種,52為被加數有48種,99為被捕加數的只有1種,故不同的取法有