1、高一數學必修1 各章學問點總結第一章集合與函數概念一,集合有關概念1. 集合的含義2. 集合的中元素的三個特性：1 元素的確定性如：世界上最高的山2 元素的互異性如：由 HAPPY 的字母組成的集 H,A,P,Y 3 元素的無序性 : 如：a,b,c 合 和a,c,b 是表示同一個集合3. 集合的表示： 如： 我校的籃球隊員 , 太平洋, 大西洋, 印度洋, 北冰洋 1 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5 2 集合的表示方法：列舉法與描述法；留意：常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集）記作：N 實數集R 寫在大括號內表示集正整數集N* 或N+ 整數集Z 有理數集

2、Q 1）列舉法：a,b,c 2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來,合的方法；x R| x-32 ,x| x-32 3）語言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4）Venn 圖: 4,集合的分類：1 有限集含有有限個元素的集合2 例：x|x =52 無限集含有無限個元素的集合3 空集不含任何元素的集合二,集合間的基本關系1. “包含”關系子集留意：A B 有兩種可能（1）A 是B 的一部分,；（2）A 與B 是同一集合；反之: 集合A 不包含于集合B, 或集合B 不包含集合A, 記作A B 或 A 2“相等”關系：A=B 5 5,且5 5,就5=5 B 2實例：設 A=x|x -1=0

3、 B=-1,1 “元素相同就兩集合相等” 即： 任何一個集合是它本身的子集；A A 真子集 : 假如A B, 且A B 那就說集合 A 是集合B 的真子集,記作A B 或 B A 假如A B, B C , 那么A C假如A B 同時B A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為 規定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集；有n 個元素的集合,含有n n-1 2 個子集,2 個真子集三,集合的運算運算交集并集補集類型定由全部屬于A 且屬由全部屬于集合A 或設S 是一個集合,A 是義S 的一個子集,由S 中于B 的元素所組成屬于集合B 的元素所全部不屬于A 的元素組的集合

4、, 叫做A,B 的組成的集合,叫做A,B 成的集合,叫做S 中子第 1 頁,共 12 頁韋交集記作A B（讀的并集記作：A B 集A 的補集（或余集）作 A 交B）,即（讀作 A 并B）,即記作CS A ,即A B=x|x A,且A B =x|x A,或CSA=x |x S,且 x A x Bx B A B A B S A 恩圖示圖1 圖2 C uA C uB 性A A=A A A=A A = A =A = Cu A B A B=B A A B=B A C uA C uB B A A A B 質A B B A B B = Cu A B A C uA=U A C uA= 例題：1. 以下四組對象

5、,能構成集合的是（）A 某班全部高個子的同學 B 著名的藝術家C 一切很大的書D倒數等于它自身的實數2. 集合a ,b,c 的真子集共有 個3. 如集合M=y|y=x -2x+1,x R,N=x|x 0 ,就M 與N 的關系是 . 4. 設集合A= x 1 x 2,B= x x a,如A B,就a 的取值范疇是5.50 名同學做的物理,化學兩種試驗,已知物理試驗做得正確得有 40 人,化學試驗做得正確得有 31 人,兩種試驗都做錯得有 4 人,就這兩種試驗都做對的有 人；6. 用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上 的點）組成的集合M= . 7. 已知集合A=x| x +2x-8=0, B=x

6、| x 2-5x+6=0, C=x| x 2-mx+m-19=0, 如BC,AC=,求m 的值二,函數的有關概念1函數的概念：設A,B 是非空的數集,假如依據某個確定的對應關系 f ,使對于集合A 中的任意一個數 x,在集合B 中都有唯獨確定的數 fx 和它對應,那么就稱f ：A B 為從集合A 到集 B 的一個函數記作：,合 xA其中,x 叫做自變量,x 的取值范疇 A 叫做函數的定義域；與 y=fx x 的值相對應的 y 值叫做函數值,函數值的集合 fx| x A 叫做函數的值域留意：1定義域：能使函數式有意義的實數x 的集合稱為函數的定義域；求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：1 分

7、式的分母不等于零；2 偶次方根的被開方數不小于零；第 2 頁,共 12 頁3 對數式的真數必需大于零；4 指數,對數式的底必需大于零且不等于 1. 5 假如函數是由一些基本函數通過四就運算結合而成的 域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合. 6 指數為零底不行以等于零,. 那么,它的定義7 實際問題中的函數的定義域仍要保證明際問題有意義 . 相同函數的判定方法：表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；定義域一樣 見課本21 頁相關例2 兩點必需同時具備2值域: 先考慮其定義域1 觀看法2 配方法3 代換法3. 函數圖象學問歸納1 定義：在平面直角坐標系中,以函數 y=fx , x A

8、中的x 為橫坐標,函數值 y 為縱坐標的點 Px ,y 的集合C,叫做函數 y=fx,x A 的圖象C 上每一點的坐標x ,y 均中意函數關系 y=fx ,反過來,以中意y=fx 的每一組有序實數對 x,y 為坐標的點x ,y ,均在C上. 2 畫法A,描點法：B,圖象變換法常用變換方法有三種1 平移變換2 伸縮變換3 對稱變換4區間的概念（1）區間的分類：開區間,閉區間,半開半閉區間（2）無窮區間（3）區間的數軸表示5映射f ,使對于集合 一般地,設A,B 是兩個非空的集合,假如按某一個確定的對應法就 A 中的任意一個元素 x,在集合B 中都有唯獨確定的元素y 與之對應,那么就稱對應 f ：

9、A B 為從集合A 到集合B 的一個映射；記作“ f （對應關系）：A（原象）B（象）” 對于映射f ：A B 來說,就應中意：1 集合A 中的每一個元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯獨的；2 集合A 中不同的元素,在集合 B 中對應的象可以是同一個；3 不要求集合B 中的每一個元素在集合 A 中都有原象；6. 分段函數1 在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數；2 各部分的自變量的取值情形3 分段函數的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集補充：復合函數假如y=fuu M,u=gxx A, 就y=fgx=Fxx A 稱為f ,g 的復合函數；二函數的性質1. 函數的單調性

10、局部性質 （1）增函數設函數y=fx 的定義域為I ,假如對于定義域I 內的某個區間D 內 的第 3 頁,共 12 頁任意兩個自變量x1,x2,當x 1x2 時,都有fx 1fx 2 ,那么就說fx 在區間D 上是增函數. 區間D 稱為y=fx 的單調增區間. 假如對于區間 D 上的任意兩個自變量的 x 1,x2,當x1x2時,都有fx 1 fx 2 ,那么就說 值 fx 在這個區間上是減函數 . 區間D 稱為y=fx 的單調減區間. 留意：函數的單調性是函數的局部性質；（2）圖象的特點假如函數y=fx 在某個區間是增函數或減函數,那么說函數 y=fx 在 這一區間上具有 嚴格的 單調性,在單

11、調區間上增函數的圖象從左到右是上升的,減函數的圖象從左到右是下降的 . 3. 函數單調區間與單調性的判定方法A 定義法：任取x 1,x2D,且x 11,且n N負數沒有偶次方根；0 的任何次方根都是 0,記作 n0 0 ；第 5 頁,共 12 頁當n 是奇數時,n an a ,當n 是偶數時,nan| a | aaa 0 a 0 2分數指數冪 正數的分數指數冪的意義,規定：mannm a a 0, m, n * N , n 1 ,am1n 1m a 0,m, n * N , n 1 nmaa n 0,0 的負分數指數冪沒有意義0 的正分數指數冪等于3實數指數冪的運算性質（1）a r a r a

12、 r s a 0, r , s R ；r（2）as ars 0, r , s R ；a （3）r ab ar a s a0, r , s R （二）指數函數及其性質1,指數函數的概念：一般地,函數y a x a 0,且a 1 叫做指數函數,其中x 是自變量,函數的定義域為R留意：指數函數的底數的取值范疇,底數不能是負數,零和12,指數函數的圖象和性質a1 0a1 0a0 ,a 0,函數y=a x 與y=log a-x 的圖象只能是 2. 運算： log 3 2 ; 2 4log 2 3 = ；25 13 log 5 27 2 log 5 2 = ; log 27 64 1 37 0 2 4 3

13、16 0.011= 3 倍,就a= 282 3. 函數y=log 1 2x -3x+1 的遞減區間為24. 如函數f x loga x0 a1 在區間a, 2a 上的最大值是最小值的5. 已知f x log a 1 x 1 x a 0 且1,（1）求f x 的定義域（2）求使f x 0的x 的取值范疇a 第 8 頁,共 12 頁第三章函數的應用一,方程的根與函數的零點1,函數零點的概念：對于函數 y f x x D ,把使f x 0 成立的實數x 叫做函數y f x x D 的零點；2,函數零點的意義：函數 y f x 的零點就是方程 f x 0 實數根,亦即函數y f x 的圖象與 x 軸交

14、點的橫坐標；即：方程f x 0 有實數根 函數y f x 的圖象與x 軸有交點 函數y f x 有零點3,函數零點的求法：（代數法）求方程f x 0 的實數根；可以將它與函數y f x 的（幾何法）對于不能用求根公式的方程,圖象聯系起來,并利用函數的性質找出零點4,二次函數的零點：二次函數 y ax 2bx ca 0 （1） ,方程 ax 2bx c 0 有兩不等實根,二次函數的圖象與 x 軸有兩個交點,二次函數有兩個零點（2） ,方程 ax 2bx c 0 有兩相等實根,二次函數的圖象與 x 軸有一個交點,二次函數有一個二重零點或二階零點2（3） ,方程 ax bx c 0 無實根,二次函數

15、的圖象與 x 軸無交點,二次函數無零點5. 函數的模型收集數據畫散點圖不 符 合實際選擇函數模型求函數模型檢驗符合實際用函數模型說明實際問題集合與函數練習卷班級姓名得分一,選擇題（每道題4 分,共32 分）1,圖中陰影部分表示的集合是U第 9 頁,共 12 頁A. A CU B B. CU A B C. CU A B D. CU A B A B 2,以下各組中的兩個集合 M 和N,表示同一集合的是（）A. M , N 3.14159 B. M 2,3 , N 2,3 C. M x | 1 x 1,x N , N 1 D. M 1, 3, , N ,1,| 3 | 3,已知集合 A= x x 2

16、,x R ,B= x x a,且A B ,就實數a 的取值范疇是（）（A ）a（B ）a（C）a（D ）a4,設全集 U x | x 8, x N,如 A CU B 1,8 ,CU A B 2,6 ,CU A CU B 4,7 ,就（）（A ）A 1,8 , B 2,6 （B）A 1,3,5,8 , B 2,3,5,6 （C）A 1,8 , B 2,3,5,6 （D ）A 1,3,8 , B 2,5,6 5,設P= x | y x 2, Q x, y | y x 2 ,就P,Q 的關系是（）（A ）P Q （B ）P Q （C）P=Q （D）P Q= 6,以下四組函數,表示同一函數的是（）2（

17、A ）f xx 2, gxx （B）f xx, gxx x （C）f xx 2 4 , g xx 2 x 2（D）f x|x1|, g xx x 11 x x 11x 7,函數y x 的圖象是圖中的（）x 28,某部隊練習發射炮彈,炮彈的高度 h 與時間t 的函數關系式是 h t 18 ,就炮彈在發射幾秒后最高呢？（）,秒秒秒D 秒二,填空題（每道題4 分,共16 分）9,已知集合A a, b, c, ,就集合A 的非空真子集的個數是10 ,已知集合M=0 ,1 ,2 ,N= x x 2a, a M ,就集合M N = MN = ；11,A= x x5 ,B= x x 3 或x 8 ,就（CR

18、 A ）（CR B ）12,設fx| x 1| 2,| x | 1,就 12 , | x | 1 1 x f f 1 2三,解答題（每大題13 分,共52 分；解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟；）13,已知集合A x 2 x 5 ,B x m 1 x 2m 1 . （1）當m=3 時,求集合AI B,A B ；（2）如B A ,求實數m 的取值范疇；第 10 頁,共 12 頁14,設集合A 2 x | x 4 x 0 , B 2 x | x 2a 1 x a210B ,求a 的值；（1）如A B B ,求a 的值組成的集合C；（2）如A B 15,求以下函數的值域：y 1 x ；2 1 x 0,3 ）y x 1 ；y x2 4 x 7 ,x 0,1,2,3,4 ；y x 2 4x 7 （x 16,某市場經營一批進價為30 元/件的商品,在市場試銷中發覺,此商品的銷售單價x（元）與日銷售量y（件）之間有如下表所示的關系；50 0 x 30 40 45 y 60 30 15 （1）依據表中供應的數據