1、了解定積分的實際背景/了解定積分的基本思想/了解定積分的概念/了解微積分基本定理的含義 2.12 定積分的概念與微積分基本定理1定積分 (1)定積分的定義及相關概念 如果函數f(x)在區間a，b上連續，用分點ax0 x1xi1xixn b，將區間a，b等分成n個小區間，在每個小區間xi1，xi上任取一點i(i 1,2，n)，作和式 . 當n 時，上述和式無限接近某個常數，這個常數叫做函數f(x)在區間a，b 上的定積分，記作 .在f(x)dx中， 分別叫做積分下限與積分上限，區間 叫做積分 區間， 叫做被積函數， 叫做積分變量， 叫做被積式(2)定積分的性質kf(x)dx . . a，bf(x

2、)f(x)dxa與bx 2微積分基本定理 如果f(x)是區間a，b上的連續函數，并且F(x)f(x)， 這個結論叫微積分基本定理，又叫牛頓萊布尼茲公式 F(b)F(a) 3通過定積分的運算可以發現，定積分的值可能取正值也可能取 負值，還可能是0. (1)當對應的曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值取正值，且等于 (2)當對應的曲邊梯形位于x軸下方時，定積分的值取負值，且等于 (3)當位于x軸上方的曲邊梯形的面積等于位于x軸下方的曲邊梯形的面積 時，定積分的值為0；定積分的值等于 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的相反數位于x軸上方的曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積4如右圖所示，由三條直線x

3、a，xb(ab)，x軸及一條曲線y f(x)(f(x)0)圍成的曲邊梯形的面積為S (1)若在區間a，b上，f(x)0，則S (2)若在區間a，c上，f(x)0；在區間c，b上，f(x)0， 則S . 5勻變速運動的路程公式 作變速直線運動的物體所經過的路程s，等于其速度函數vv(t)(v(t)0) 在時間區間a，b上的定積分， 即 . 6變力作功公式 一物體在變力F(x)(單位：N)的作用下作直線運動，如果物體沿著與F相 同的方向從xa移動xb(a0)當x0時，t0，當xa時，tt1 ,所以阻力做的功是1用定積分的定義求定積分的一般步驟：分割、近似代替、求和、取極限，要借助于求曲邊梯形的面積

4、和求變速直線運動的路程去體會定積分的基本思想2用微積分基本定理求定積分；關鍵是找到滿足F(x)f(x)的函數F(x)，即找被積函數的原函數，利用求導運算與求原函數運算互為逆運算，運用基本初等函數求導公式和四則運算法則從反方向上求出F(x)3利用微積分基本定理求定積分，有時需先化簡，再積分4在利用定積分求平面圖形的面積時，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀地確定出被積函數以及積分的上、下限【方法規律】5要把定積分和用定積分計算平面圖形的面積這兩個概念區分開，定積分是一種積分和的極限，可為正，也可為負或零；而平面圖形的面積在一般意義下總為正，因此當f(x)0時要通過絕對值處理為正，一般情況下是借

5、助定積分求出兩個曲邊梯形的面積，然后相加起來例如：當函數f(x)在區間a，b上恒為正時，定積分 的幾何意義是以曲線f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積一般情況下，定積分 的幾何意義是介于x軸、函數f(x)的圖象以及直線xa、xb之間各部分面積的代數和，在x軸上方的面積取正號，在x軸下方的面積取負號6體會定積分的化歸和逼近的思想方法.(本題滿分12分)(原創題)如圖在區域(x，y)|2x2,0y4中隨機撒900粒豆子，如果落在每個區域的豆子數與這個區域的面積近似成正比，試估計落在圖中陰影部分的豆子數解答：區域的面積為S116.圖中陰影部分的面積設落在陰影部分的豆子數為m，由已知條件 即m 因此落在圖中陰影部分的豆子約為600粒【答題模板】1.定積分是通過“分割，求和，取極限”的手段，解決了“以直代曲”，“以有限代替無限”的數學問題，它揭示了整個微積分的真諦，由于其應用的廣泛性，因此對定積分的考查特別值得關注2定積分與幾何