1、第九章 冪級數解法 本征值問題9.1二階常微分方程的冪級數解法9.1.1冪級數解法理論概述 用球坐標系和柱坐標系對拉普拉斯方程、波動方程、輸運方程進行變量分離，就出現連帶勒讓德方程、勒讓德方程、貝塞爾方程、球貝塞爾方程等特殊函數方程用其他坐標系對其他數學物理偏微分方程進行分離變量，還會出現各種各樣的特殊函數方程它們大多是二階線性常 微分方程1不失一般性，我們討論復變函數的線性二階常微分方程 （9.1.1）其中 z為復變數， z0為選定的點，C0, C1 為復數.2說明：這些線性二階常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用冪級數解法解出所謂冪級數解法，就是在某個任意點Z0的鄰域上，把待求的解表

2、為系數待定的冪級數，代入方程以逐個確定系數冪級數解法是一個比較普遍的方法，適用范圍較廣，可借助于解析函數的理論進行討論求得的解既然是級數，就有是否收斂以及收斂范圍的問題. 盡管冪級數解法較為繁瑣，但它可廣泛應用于微分方程的求解問題中3如果方程（9.1.1）的系數函數 和在選定的點的鄰域 中是解析的，則點方程（9.1.1）的常點. 如果選定的點 是或的奇點，則點 叫作方程（9.1.1）的奇點 叫作1方程的常點和奇點概念42. 常點鄰域上的冪級數解定理定理9.1.1 若方程（9.1.1）的系數 和為點的鄰域中的解析函數， 則方程在這圓中存在唯一的解析解 滿足初始條件，其中是任意給定的復常數，5故可

3、以把它表示為此鄰域上的泰勒級數. 既然線性二階常微分方程在常點的鄰域上存在唯一的解析解， （9.1.2）其中為待定系數 6為了確定級數解（9.1.2）中的系數，具體的做法是以 （9.1.2）代入方程（9.1.1），合并同冪項，令合并后的系數分別為零，找出系數之間的遞推關系， 最后用已給的初值，來確定各個系數 從而求得確定的級數解 下面以階勒讓德方程為例，具體說明級數解法的步驟 79.1.2常點鄰域上的冪級數解法 勒讓德方程的求解注： （參考書上9.1節內容，特別是書上226-228頁內容由分離變量法得到了勒讓德方程，下面討論在 鄰域上求解階勒讓德方程 8故方程的系數 在 ，單值函數 ，均為有限

4、值，它們必然在解析 9是方程的常點根據常點鄰域上解的定理，解具有泰勒級數形式：（9.1.3） 泰勒級數形式的解，將其代入勒氏方程可得系數間的遞推關系 （9.1.4）10因此，由任意常數 可計算出任一系數 偶次項的系數:奇次項的系數 11將它們代入解的表達式中，得到勒讓德方程解的形式 (9.1.7)其中分別是偶次項和奇次項組成的級數12不是整數時 無窮級數，容易求得其收斂半徑均為1 時， 發散于無窮 是非負整數 遞推公式（9.1.4） 是偶數時， 是一個n次多項式，但函數 為在 處發散至無窮的無窮級數 是奇數時， 是次多項式，而仍然是在處無界的無窮級數 l 是負整數時 一個是多項式，另一個是無界

5、的無窮級數 13所以不妨設 導出這個多項式的表達式 ,是非負整數（因在實際問題中一般總要求有界解） 把系數遞推公式（9.1.4）改寫成 (9.1.8)于是可由多項式的最高次項系數來表示其它各低階項系數14取多項式最高次項系數為 (9.1.9)15這樣取主要是為了使所得多項式在 處取值為1，即實現歸一化. 可得系數的一般式為 (9.1.10)因此，我們得出結論：16是非負偶數時，勒讓德方程有解 （9.1.11）是正奇數時，勒讓德方程有解17 (9.1.12)對上述討論進行綜合，若用 表示不大于 的整數部分，用大寫字母寫成統一形式解（9.1.13）18是非負整數時，勒讓德方程的基本解組 中只有一個

6、多項式，這個多項式勒讓德多項式 ，也稱為第一類勒讓德函數； 另一個是無窮級數，這個無窮級數稱為第二類勒讓德函數， 記為大寫的 可以得出它們的關系（9.1.14）19經過計算后， 可以通過對數函數及勒讓德多項式 表示出，所以第二類勒讓德函數的一般表達式為 (9.1.15)特別地20可以證明這樣定義的 ，其遞推公式和 的遞推公式具有相同的形式而且在一般情況下勒讓德方程的通解為兩個獨立解的線性疊加21但是在滿足自然邊界（即要求定解問題在邊界上有限）的形式容易看出，它在端點 處是無界的，故必須取常數 從而勒讓德方程的解就只有 第一類勒讓德函數即勒讓德多項式： 22綜合可得如下結論：（1）當 不是整數時

7、，勒讓德方程在區間上無有界的解 （2）當 為整數時，勒讓德方程的通解為 ，其中 稱為第一類勒讓德函數（即勒讓德多項式）， 稱為第二類勒讓德函數. 23為整數，且要求在自然邊界條件下(即要求在 有界解的情況下)求解，則勒讓德方程的解只有第一 類勒讓德函數即勒讓德多項式因為第二類勒讓德函數 在閉區間 上是無界的249.1.3 奇點鄰域的級數解法：貝塞爾方程的求解前一章分離變量法中，我們引出了貝塞爾方程，本節我我們來討論這個方程的冪級數解法按慣例，仍以 表示自變量，以 表示未知函數，則 階貝塞爾方程為 (9.1.18)25其中， 為任意復數，但在本節中 由于方程的系數中出現 只限于取實數。 項，不妨

8、暫先假定 故 為 的奇點。 下面介紹奇點鄰域的冪級數解法：貝塞爾方程的求解26設方程（9.1.18）的一個特解具有下列冪級數形式： (9.1.19）其中，常數 和 可以通過把 和它的導數 代入（9.1.18）來確定 27將（9.1.19）及其導數代入（9.1.18）后，得化簡后寫成要使上式恒成立，必須使得各個 次冪的系數為零， 從而得下列各式： 28 (9.1.20) (9.1.21)(9.1.22)由（9.1.20） 得 ；代入（9.1.21），得 現暫取 ，代入（9.1.22）得 29 (9.1.23)因為 ，由（9.1.23）知： 都可以用 表示，即3031由此知（9.1.19）的一般項

9、為是一個任意常數，令 取一個確定的值，就得（9.1.18） 的一個特解我們把 取作 這樣選取 與后面將介紹的貝塞爾函數的母函數有關。 32 運用下列恒等式 使分母簡化，從而，使（9.1.19）中一般項的系數變成 （9.1.24）以（9.1.24）代入（9.1.19）得到貝塞爾方程（9.1.18）的一個特解33用級數的比值判別式（或稱達朗貝爾判別法）可以判定 這個級數在整個數軸上收斂這個無窮級數 所確定的函數，稱為 階第一類貝塞爾函數，記作 (9.1.25）34至此，就求出了貝塞爾方程的一個特解 另外，當 即取負值時，用同樣方法可得貝塞爾方程（9.1.18）的另一特解 （9.1.26）比較（9.

10、1.25）與（9.1.26）可見，只需在（9.1.25）的右端把 換成 ，即可得到（9.1.26）故不論 是正 數還是負數，總可以用（9.1.25）統一地表達第一類貝塞爾函數35討論：(1)當 不為整數時，例如 為分數階貝塞爾函數： 等,當 時， 36故這兩個特解 與 是線性無關的，由齊次線性常微分方程的通解構成法知道，（9.1.18）的通解為 （9.1.28）其中， 為兩個任意常數 根據系數關系，且由達朗貝爾比值法故級數 和 的收斂范圍為 37(2)當 為正整數或零時（注:以下推導凡用 即表整數）， 故有（9.1.27）稱 為整數階貝塞爾函數易得 38需注意在取整數的情況下， 和 線性相關，

11、這是因為: 可見正、負 階貝塞爾函數只相差一個常數因子 這時貝塞爾方程的通解需要求出與之線性無關的另一個特解 39我們定義第二類貝塞爾函數（又稱為諾依曼函數）為 是一個特解，它既滿足貝塞爾方程，又與 線性無關 40其中， 為歐拉常數可以證明是貝塞爾方程的特解， 且與 線性無關的.41綜述：（1）當 ，即不取整數時，其貝塞爾方程的通解可表示為（2）不論 是否為整數，貝塞爾方程的通解都可表示為其中 為任意常數， 為任意實數 429.2 施圖姆劉維爾本征值問題 從數學物理偏微分方程分離變量法引出的常微分方程往往還附有邊界條件，這些邊界條件可以是明確寫出來的，也可以是沒有寫出來的所謂自然邊界條件滿足這些邊界條件的非零解使得方程的參數取某些特定值這些特定值叫做本征值（或特征值、或固有值），相應的非零解叫做本征函數（特征函數、固有函數求本征值和本征函數的問題叫做本征值問題. 43常見的本征值問題都可以歸結為施圖姆(J.C.F. Sturm)劉維爾(J.Liouville)本征值問題，本節就討論具有普遍意義的施圖姆劉維爾本征值問題1521施圖姆劉維爾本征值問題定義 9.2.1施圖姆劉維爾型方程 通常把具有形式 （9.2.1）44的二階常微分方程叫作施圖姆劉維爾型方程，簡稱施劉型方程 研究二階常微分方程的本征值問題時，對于一般的二階常微分方程 通常乘以