1、a Aj1a Aj2La AjnA,ij,0,ij.AO=A OBAOA BOBBOA=BAmn 1 A Ba 1 nBOOa 1nOa n1Na 2n1Oan 1Na 2n1O1 n n1a a 2nKa n12范德蒙德行列式：11L1ix ixjjAijTB 22A ij 1ijMijA B 22 22,n An A 11n A 22x 1x 2Lx n2 x 12 x 2L2 x nMMM1jn 1in x 11n x 21Ln x n1代數余子式和余子式的關系：Mij分塊對角陣相乘：AA 11A 22,BB 11ABA B 11 11分塊矩陣的轉置矩陣：A CBTATCDTBTDA 1

2、1A 21L1, A n 1,A 為 A 中各個元素的代數余子式. * AA ijTA 12A 22LA n2MMLMA 1 nA 2nA nn* AA* A AA E ,* AAnA1A1.AB*BA*分塊對角陣的相伴矩陣：AB*第 1 頁 共 6 頁矩陣轉置的性質：T ATA2AABTT TB A11T AA1A1TT A1T AAT1矩陣可逆的性質：A11AAB1B1AA1AA1kk AAkAAn11k相伴矩陣的性質：AAnABB AA1AAAkAAABA BAkAkAAA AA E （無條件恒成立）n如r An1r A1 如r Ana 10 如r An1 11 a 111 a 3a 1

3、A1B1a 21 a 3a3a21BA1a 2a2a 31 a 1矩陣的秩的性質：AOr A 1; AOr A0; 0 r A m n minm n , . 如A m n,B n s,如r AB0r A r BnAx0 的解B 的列向量全部是r AB minr A r B 如 P 、 Q 可逆,就r A r PA r AQr PAQ ；即：可逆矩陣不影響矩陣的秩Ax只有零解 如r A m nnr AB r B ABOBO；A 在矩陣乘法中有左消去律ABACBC如r B n snr AB r BB在矩陣乘法中有右消去律 .如r A rA 與唯獨的E rO等價,稱E rO為矩陣 的 等價標準型 .

4、 OOOOr AB r A r B , maxr A r Br A B r A r BrAOOAr A r B , rACr A r B OBBOOB第 2 頁 共 6 頁標準正交基n 個 n 維線性無關的向量, 兩兩正交 , 每個向量長度為1. L2 a n ,na2 i2 a 1a2 2與正交,0 . 記為： 向量a a 2,L,a nT的長度是單位向量 ,1. i1即長度為 1的向量 . 內積的性質： 正定性 對稱性 線性性A12LnnitrA,trA稱為矩陣 A 的跡 . 1特點值與特點向量的求法 1 寫出矩陣 A 的特點方程 A E 0,求出特點值 i. 2 依據 A i E x 0

5、 得到 A 對應于特點值 i 的特點向量 . 設 A i E x 0 的基礎解系為 1 , 2 , L n r i , 其中 r i r A i E . 就 A 對應于特點值 i 的全部特點向量為 k 1 1 k 2 2 L k n r i n r i ,其中 k k 2 , L , k n r i 為任意不全為零的數 . 3. A 與 B 相像 P AP 1B（ P 為可逆矩陣 ）A與 B 正交相像 P 1AP B（ P 為正交矩陣 ）A可以相像對角化 A與對角陣 相像 . （稱 是 A 的相像標準形）7. 矩陣對角化的判定方法 n 階矩陣 A 可對角化 即相像于對角陣 的充分必要條件是A

6、有 n 個線性無關的特點向量. 這時 , P 為 A 的特點向量拼成的矩陣,P1AP為對角陣 , 主對角線上的元素為A 的特點值 . 設i為對應于i的線性無關的特點向量, 就有：11 P AP2O. n第 3 頁 共 6 頁A可相像對角化nriEAk ,其中ik 為i的重數A 恰有 n 個線性無關的特點向量. . 注：當i0 為 A 的重的特點值時,A 可相像對角化i的重數nr AAx基礎解系的個數 如 n 階矩陣 A 有 n 個互異的特點值A可相像對角化 . 正交矩陣AA TE1 或-1 ； 正交陣的行列式等于 兩個正交陣之積仍是正交陣；施密特正交規范化A 的行（列）向量都是單位正交向量組.

7、 1,2,3線性無關 , 正交化112,1123,223221,13,1單位化：331221,1,1123312第 4 頁 共 6 頁a 11a 12La 1nx 1T x Ax1. 二次型f x x 2, L,x nin1jn1a x xjx 1,x 2,L,x na 21a 22La 2nx 2LLLLLa n1a n2La nnx nrp其中 A 為對稱矩陣,xx x 2,L,x nT A 與 B 合同T C ACB . （A B 為實對稱矩陣, C為可逆矩陣）求 C A IB CT 這個變換先進行行變換再進行一樣的列變換最終 求得 C和 CT 正慣性指數二次型的規范形中正項項數p負慣性

8、指數二次型的規范形中負項項數 兩個矩陣合同它們有相同的正負慣性指數他們的秩與正慣性指數分別相等. 兩個矩陣合同的充分條件是：A 與B等價 兩個矩陣合同的必要條件是：r Ar B 2. f x x 1 2, L,x nT x Ax經過正交變換xCy化為fnd y i2標準形 . 合同變換1可逆線性變換正交變換法配方法（1）如二次型含有 ix的平方項,就先把含有 ix的乘積項集中,然后配方,再對其余的變量同樣進行,直到都配成平方項為止,經過非退化線性變換,就得到標準形 ; （2） 如二次型中不含有平方項,但是 ija 0 i j , 就先作可逆線性變換第 5 頁 共 6 頁3.x iyiyjxn0 . xjyiyjk1,2, L,n 且ki j, xkyk正定二次型x 1,x 2,L,xn不全為零,f x x2,L,4.正定矩陣正定二次型對應的矩陣. f x T x Ax 為正定二次型（之一成立）：（1）x,T x Ax0 ；（2） A 的特點值全大于0；E ；（3） f 的正慣性指數為n；（4） A 的全部次序主子式全大于0 ；（5） A 與 E 合同,即存在可逆矩陣C 使得T C AC（6）存在可逆矩陣P ,使得AT P P ；A 可逆A0r A n,AxEA 的列（行）向量線性無關A 的特點