1、2.4 矩陣的初等變換與矩陣的秩 1.矩陣的初等變換 2.矩陣的秩 定義2.16 下列三種變換稱為矩陣的初等行變換此時變換的是第i行,第j行沒有變化!同理可定義矩陣的初等列變換 (把“r”換成“c”)2.4.1 矩陣的初等變換矩陣的初等變換通常稱 (1) 換法變換 (2) 倍法變換 (3) 消法變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同逆變換逆變換逆變換三種初等變換對應著三種初等方陣.矩陣初等變換是矩陣的一種基本運算，應用廣泛. 2.4.2 初等矩陣由單位矩陣I經過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣. 定義2.17(1) 交換I的兩行或兩列，得初等對換矩陣。(3) 以數乘某行（列）加到

2、另一行（列）上，得初等倍加矩陣。初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。另兩種情形同理可證一般記法：2、行階梯形矩陣、行最簡矩陣、標準形定義2 滿足下列兩個條件的形如階梯的矩陣：（1）若有零行，則該行下方所有行元素均為零；(2)如果某一行元素不全為零，并且第一個不為零的元素位于第i列，則它下方的所有行（若存在）的前i個元素全為零。定理2.4 對任何矩陣Amn，總可以經過有限次初等行變換，把它化為行階梯形矩陣，行最簡矩陣。 定理2.5 任何一個 矩陣A都與一個形式為的矩陣等價。（rmin(m,n),D稱為矩陣A的標準形。由 ，就有上面第一式表示 經有限個初等行變換化為單位矩陣 ，第二式表示經這些初

3、等行變換變為 .用分塊矩陣形式把上兩式寫成 或由定理2.6知道若A可逆，則A-1可表為有限個初等矩陣的乘積，即即初等行變換這表明如果對矩陣(A,B) 施行初等行變換，當把 A化為 In 時， B就化為A-1B例10 求矩陣X，使 AX=B，其中 解 如果A可逆，那么 X=A-1B ， 所以 例2.18求解矩陣方程 AX=A+X,其中解 把所給方程變形為(A-I)X=A定義2.19 矩陣A 中不為零子式的最高階數，稱為矩陣A的秩，記作r(A).規定：零矩陣的秩是0，從而A=0當且僅當r(A)=0.(3）矩陣A的秩為r當且僅當A中存在非零的r階子式，而所有的r+1階子式（若存在）均為零。 由定義不

4、難得到：（1）若 A是 mn 矩陣，則A的秩不會大于矩陣的行與列數。即（2） 例2.18解A中有一個3階子式而所有4階子式均為零，所以r(A)=3.問題：經過變換矩陣的秩變嗎？矩陣秩的計算因為對任何矩陣都可以經過有限次初等行變換變成行階梯形矩陣，其非零行的行數就是矩陣的秩。定理2 .8初等變換不改變矩陣的秩，即若A經過初等變換化成B,則r(A)=r(B).推論2.5 設A是mn矩陣，P,Q分別是m階與n階可能矩陣，則 r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A)推論2.6 設A是mn矩陣，r(A)=r,則A的標準形為求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數就是矩陣的秩.例2.20 問t為何值時,