1、2023學年高考數學模擬測試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數”，數學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節，連排六節，一天課程講座

2、排課有如下要求：“樂”不排在第一節，“射”和“御”兩門課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（ ）種.A408B120C156D2402已知，則的大小關系是（ ）ABCD3已知函數為奇函數，且，則（ ）A2B5C1D34過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若線段中點的橫坐標為3，且，則拋物線的方程是( )ABCD5劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基人之一他在割圓術中提出的，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術的核心思想是將一個圓的內接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖

3、所示)，當n變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術的思想，得到的近似值為（ ）ABCD6若直線ykx1與圓x2y21相交于P、Q兩點，且POQ120(其中O為坐標原點)，則k的值為()A B C或D和7記的最大值和最小值分別為和若平面向量、，滿足，則（ ）ABCD8設，滿足約束條件，則的最大值是（ ）ABCD9某學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學有34人，則的值為（ ）A100B1000C90D9010一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）ABCD11設實數、滿足約

4、束條件，則的最小值為（ ）A2B24C16D1412九章算術“少廣”算法中有這樣一個數的序列：列出“全步”（整數部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分數進行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之數，逐個照此同樣方法，直至全部為整數，例如：及時，如圖： 記為每個序列中最后一列數之和，則為（ ）A147B294C882D1764二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13如圖，在矩形中，是的中點，將，分別沿折起，使得平面平面，平面平面，則所得幾何體的外接球的體積為_.14三個小朋友之間送禮物，約定每人送出一份禮物給另

5、外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），則三人都收到禮物的概率為_.15已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，E，F分別為，的中點，則球O的體積為_.16已知，滿足約束條件，則的最大值為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某百貨商店今年春節期間舉行促銷活動，規定消費達到一定標準的顧客可進行一次抽獎活動，隨著抽獎活動的有效開展，參與抽獎活動的人數越來越多，該商店經理對春節前天參加抽獎活動的人數進行統計，表示第天參加抽獎活動的人數，得到統計表格如下：123456758810141517（1）經過進一步統計分析，發現與具有線性相關關系請根據上表提供的數據，

6、用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；（2）該商店規定：若抽中“一等獎”，可領取600元購物券；抽中“二等獎”可領取300元購物券；抽中“謝謝惠顧”，則沒有購物券已知一次抽獎活動獲得“一等獎”的概率為，獲得“二等獎”的概率為現有張、王兩位先生參與了本次活動，且他們是否中獎相互獨立，求此二人所獲購物券總金額的分布列及數學期望參考公式：，18（12分）已知數列的前n項和，是等差數列，且.（）求數列的通項公式；（）令.求數列的前n項和.19（12分）已知數列滿足對任意都有，其前項和為，且是與的等比中項，（1）求數列的通項公式；（2）已知數列滿足，設數列的前項和為，求大于的最小的正整數的值20（12分）

7、已知拋物線的頂點為原點，其焦點關于直線的對稱點為，且.若點為的準線上的任意一點，過點作的兩條切線，其中為切點.（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線恒過定點，并求面積的最小值.21（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線極坐標方程為.若直線交曲線于，兩點，求線段的長.22（10分）如圖，四棱錐中，平面，.（）證明：；（）若是中點，與平面所成的角的正弦值為，求的長.2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【答案解析】利用

8、間接法求解，首先對6門課程全排列，減去“樂”排在第一節的情況，再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況，最后還需加上“樂”排在第一節，且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況；【題目詳解】解：根據題意，首先不做任何考慮直接全排列則有（種），當“樂”排在第一節有（種），當“射”和“御”兩門課程相鄰時有（種），當“樂”排在第一節，且“射”和“御”兩門課程相鄰時有（種），則滿足“樂”不排在第一節，“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有（種），故選：【答案點睛】本題考查排列、組合的應用，注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響，屬于中檔題2、B【答案解析】利用函數與函數互為反函數，可得，再利用對數運算

9、性質比較a,c進而可得結論.【題目詳解】依題意，函數與函數關于直線對稱，則，即，又，所以，.故選：B.【答案點睛】本題主要考查對數、指數的大小比較，屬于基礎題.3、B【答案解析】由函數為奇函數,則有,代入已知即可求得.【題目詳解】.故選:.【答案點睛】本題考查奇偶性在抽象函數中的應用,考查學生分析問題的能力,難度較易.4、B【答案解析】利用拋物線的定義可得,把線段AB中點的橫坐標為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【題目詳解】設拋物線的焦點為F,設點，由拋物線的定義可知，線段AB中點的橫坐標為3，又，可得，所以拋物線方程為.故選：B.【答案點睛】本題考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單

10、性質的應用,利用拋物線的定義是解題的關鍵.5、A【答案解析】設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形的面積為,由割圓術可得圓的面積為,整理可得,當時即可為所求.【題目詳解】由割圓術可知當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當時,可得,故選:A【答案點睛】本題考查三角形面積公式的應用,考查閱讀分析能力.6、C【答案解析】直線過定點，直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點，且POQ=120（其中O為原點），可以發現QOx的大小，求得結果【題目詳解】如圖，直線過定

11、點（0，1），POQ=120OPQ=30，1=120，2=60，由對稱性可知k=故選C【答案點睛】本題考查過定點的直線系問題，以及直線和圓的位置關系，是基礎題7、A【答案解析】設為、的夾角，根據題意求得，然后建立平面直角坐標系，設，根據平面向量數量積的坐標運算得出點的軌跡方程，將和轉化為圓上的點到定點距離，利用數形結合思想可得出結果.【題目詳解】由已知可得，則，建立平面直角坐標系，設，由，可得，即，化簡得點的軌跡方程為，則，則轉化為圓上的點與點的距離，轉化為圓上的點與點的距離，.故選：A.【答案點睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標化，將問題轉化為圓上的點到定點距離的最值問題是解

12、答的關鍵，考查化歸與轉化思想與數形結合思想的應用，屬于中等題.8、D【答案解析】作出不等式對應的平面區域，由目標函數的幾何意義，通過平移即可求z的最大值【題目詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內平移當過點時，取得最大值.由得：，故選：D【答案點睛】本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決線性規劃題目的常用方法，屬于基礎題.9、A【答案解析】利用頻率分布直方圖得到支出在的同學的頻率，再結合支出在（單位：元）的同學有34人，即得解【題目詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學的頻率為故選：A【答案點睛】本題考查了頻率分布直方圖的

13、應用，考查了學生概念理解，數據處理，數學運算的能力，屬于基礎題.10、B【答案解析】由題意首先確定幾何體的空間結構特征，然后結合空間結構特征即可求得其表面積.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體為邊長為正方體挖去一個以為球心以為半徑球體的，如圖，故其表面積為，故選：B.【答案點睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠對給出的三視圖進行恰當的分析，從三視圖中發現幾何體中各元素間的位置關系及數量關系(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理(3)圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和1

14、1、D【答案解析】做出滿足條件的可行域，根據圖形即可求解.【題目詳解】做出滿足的可行域，如下圖陰影部分，根據圖象，當目標函數過點時，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值為.故選：D.【答案點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區域，利用數形結合求線性目標函數的最值，屬于基礎題.12、A【答案解析】根據題目所給的步驟進行計算，由此求得的值.【題目詳解】依題意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選：A【答案點睛】本小題主要考查合情推理，考查中國古代數學文化，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】根據題意，畫出

15、空間幾何體，設的中點分別為，并連接，利用面面垂直的性質及所給線段關系，可知幾何體的外接球的球心為，即可求得其外接球的體積.【題目詳解】由題可得，均為等腰直角三角形，如圖所示，設的中點分別為，連接，則，.因為平面平面，平面平面，所以平面，平面，易得，則幾何體的外接球的球心為，半徑，所以幾何體的外接球的體積為.故答案為：.【答案點睛】本題考查了空間幾何體的綜合應用，折疊后空間幾何體的線面位置關系應用，空間幾何體外接球的性質及體積求法，屬于中檔題.14、【答案解析】基本事件總數，三人都收到禮物包含的基本事件個數由此能求出三人都收到禮物的概率【題目詳解】三個小朋友之間準備送禮物，約定每人只能送出一份禮

16、物給另外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），基本事件總數，三人都收到禮物包含的基本事件個數則三人都收到禮物的概率故答案為：【答案點睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運算求解能力，屬于基礎題.15、【答案解析】可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據體積公式計算可得.【題目詳解】解：，因為為的中點，所以為的外心，因為，所以點在內的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【答案點睛】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，屬于中檔題16、【答案解析】根據題意，畫出可

17、行域，將目標函數看成可行域內的點與原點距離的平方，利用圖象即可求解.【題目詳解】可行域如圖所示，易知當，時，的最大值為故答案為：9.【答案點睛】本題考查了利用幾何法解決非線性規劃問題，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【答案解析】試題分析：（I）由題意可得，則，關于的線性回歸方程為（II）由題意可知二人所獲購物券總金額的可能取值有、元，它們所對應的概率分別為：，據此可得分布列，計算相應的數學期望為元試題解析：（I）依題意：，則關于的線性回歸方程為（II）二人所獲購物券總金額的可能取值有、元，它們所對應的概率分別為：，所以，總金額

18、的分布列如下表：03006009001200總金額的數學期望為元18、（）;（）【答案解析】試題分析：（1）先由公式求出數列的通項公式；進而列方程組求數列的首項與公差，得數列的通項公式；（2）由（1）可得，再利用“錯位相減法”求數列的前項和.試題解析：（1）由題意知當時，當時，所以設數列的公差為，由，即，可解得，所以（2）由（1）知，又，得，兩式作差，得所以考點 1、待定系數法求等差數列的通項公式；2、利用“錯位相減法”求數列的前項和.【易錯點晴】本題主要考查待定系數法求等差數列的通項公式、利用“錯位相減法”求數列的前項和，屬于難題. “錯位相減法”求數列的前項和是重點也是難點，利用“錯位相減

19、法”求數列的和應注意以下幾點：掌握運用“錯位相減法”求數列的和的條件（一個等差數列與一個等比數列的積）；相減時注意最后一項 的符號；求和時注意項數別出錯；最后結果一定不能忘記等式兩邊同時除以.19、（1）（2）4【答案解析】（1）利用判斷是等差數列，利用求出，利用等比中項建立方程，求出公差可得.（2）利用的通項公式,求出，用錯位相減法求出，最后建立不等式求出最小的正整數.【題目詳解】解：任意都有，數列是等差數列，又是與的等比中項，設數列的公差為，且，則，解得，；由題意可知 ，得：，由得， 滿足條件的最小的正整數的值為【答案點睛】本題考查等差數列的通項公式和前項和公式及錯位相減法求和. (1)解

20、決等差數列通項的思路(1)在等差數列中，是最基本的兩個量，一般可設出和，利用等差數列的通項公式和前項和公式列方程(組)求解即可. (2)錯位相減法求和的方法：如果數列是等差數列，是等比數列，求數列的前項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數列的公比，然后作差求解; 在寫“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式20、（1）（2）見解析，最小值為4【答案解析】（1）根據焦點到直線的距離列方程，求得的值，由此求得拋物線的方程.（2）設出的坐標，利用導數求得切線的方程，由此判斷出直線恒過拋物線焦點.求得三角形面積的表達式，進而求得面積的最小值.【題目詳解】（1）依題意，解得 （負根舍去）拋物線的方程為（2）設點，由，即，得拋物線在點處的切線的方程為，即，點在切線上，同理，綜合、得，點的坐標都滿足方程.即直線恒過拋物線焦點當