1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項(xiàng)1考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座

2、排課有如下要求：“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（ ）種.A408B120C156D2402已知，則的大小關(guān)系是（ ）ABCD3已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，則（ ）A2B5C1D34過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，且，則拋物線的方程是( )ABCD5劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術(shù)的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖

3、所示)，當(dāng)n變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，得到的近似值為（ ）ABCD6若直線ykx1與圓x2y21相交于P、Q兩點(diǎn)，且POQ120(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則k的值為()A B C或D和7記的最大值和最小值分別為和若平面向量、，滿足，則（ ）ABCD8設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是（ ）ABCD9某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學(xué)有34人，則的值為（ ）A100B1000C90D9010一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）ABCD11設(shè)實(shí)數(shù)、滿足約

4、束條件，則的最小值為（ ）A2B24C16D1412九章算術(shù)“少廣”算法中有這樣一個數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之?dāng)?shù)，逐個照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：及時，如圖： 記為每個序列中最后一列數(shù)之和，則為（ ）A147B294C882D1764二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，將，分別沿折起，使得平面平面，平面平面，則所得幾何體的外接球的體積為_.14三個小朋友之間送禮物，約定每人送出一份禮物給另

5、外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），則三人都收到禮物的概率為_.15已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則球O的體積為_.16已知，滿足約束條件，則的最大值為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動，規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎活動，隨著抽獎活動的有效開展，參與抽獎活動的人數(shù)越來越多，該商店經(jīng)理對春節(jié)前天參加抽獎活動的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，表示第天參加抽獎活動的人數(shù)，得到統(tǒng)計(jì)表格如下：123456758810141517（1）經(jīng)過進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，

6、用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）該商店規(guī)定：若抽中“一等獎”，可領(lǐng)取600元購物券；抽中“二等獎”可領(lǐng)取300元購物券；抽中“謝謝惠顧”，則沒有購物券已知一次抽獎活動獲得“一等獎”的概率為，獲得“二等獎”的概率為現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本次活動，且他們是否中獎相互獨(dú)立，求此二人所獲購物券總金額的分布列及數(shù)學(xué)期望參考公式：，18（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19（12分）已知數(shù)列滿足對任意都有，其前項(xiàng)和為，且是與的等比中項(xiàng)，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求大于的最小的正整數(shù)的值20（12分）

7、已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，且.若點(diǎn)為的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條切線，其中為切點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線恒過定點(diǎn)，并求面積的最小值.21（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線極坐標(biāo)方程為.若直線交曲線于，兩點(diǎn)，求線段的長.22（10分）如圖，四棱錐中，平面，.（）證明：；（）若是中點(diǎn)，與平面所成的角的正弦值為，求的長.2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【答案解析】利用

8、間接法求解，首先對6門課程全排列，減去“樂”排在第一節(jié)的情況，再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況，最后還需加上“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況；【題目詳解】解：根據(jù)題意，首先不做任何考慮直接全排列則有（種），當(dāng)“樂”排在第一節(jié)有（種），當(dāng)“射”和“御”兩門課程相鄰時有（種），當(dāng)“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰時有（種），則滿足“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有（種），故選：【答案點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響，屬于中檔題2、B【答案解析】利用函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，可得，再利用對數(shù)運(yùn)算

9、性質(zhì)比較a,c進(jìn)而可得結(jié)論.【題目詳解】依題意，函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對稱，則，即，又，所以，.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)、指數(shù)的大小比較，屬于基礎(chǔ)題.3、B【答案解析】由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【題目詳解】.故選:.【答案點(diǎn)睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.4、B【答案解析】利用拋物線的定義可得,把線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【題目詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義可知，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，又，可得，所以拋物線方程為.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單

10、性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.5、A【答案解析】設(shè)圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形的面積為,由割圓術(shù)可得圓的面積為,整理可得,當(dāng)時即可為所求.【題目詳解】由割圓術(shù)可知當(dāng)n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設(shè)圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當(dāng)時,可得,故選:A【答案點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查閱讀分析能力.6、C【答案解析】直線過定點(diǎn)，直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn)，且POQ=120（其中O為原點(diǎn)），可以發(fā)現(xiàn)QOx的大小，求得結(jié)果【題目詳解】如圖，直線過定

11、點(diǎn)（0，1），POQ=120OPQ=30，1=120，2=60，由對稱性可知k=故選C【答案點(diǎn)睛】本題考查過定點(diǎn)的直線系問題，以及直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題7、A【答案解析】設(shè)為、的夾角，根據(jù)題意求得，然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程，將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【題目詳解】由已知可得，則，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，可得，即，化簡得點(diǎn)的軌跡方程為，則，則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標(biāo)化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題是解

12、答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.8、D【答案解析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過平移即可求z的最大值【題目詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點(diǎn)時，取得最大值.由得：，故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于基礎(chǔ)題.9、A【答案解析】利用頻率分布直方圖得到支出在的同學(xué)的頻率，再結(jié)合支出在（單位：元）的同學(xué)有34人，即得解【題目詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學(xué)有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學(xué)的頻率為故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的

13、應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【答案解析】由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體為邊長為正方體挖去一個以為球心以為半徑球體的，如圖，故其表面積為，故選：B.【答案點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治觯瑥娜晥D中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和1

14、1、D【答案解析】做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.【題目詳解】做出滿足的可行域，如下圖陰影部分，根據(jù)圖象，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值為.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.12、A【答案解析】根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算，由此求得的值.【題目詳解】依題意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選：A【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】根據(jù)題意，畫出

15、空間幾何體，設(shè)的中點(diǎn)分別為，并連接，利用面面垂直的性質(zhì)及所給線段關(guān)系，可知幾何體的外接球的球心為，即可求得其外接球的體積.【題目詳解】由題可得，均為等腰直角三角形，如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，則，.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫云矫妫矫妫椎茫瑒t幾何體的外接球的球心為，半徑，所以幾何體的外接球的體積為.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的綜合應(yīng)用，折疊后空間幾何體的線面位置關(guān)系應(yīng)用，空間幾何體外接球的性質(zhì)及體積求法，屬于中檔題.14、【答案解析】基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù)由此能求出三人都收到禮物的概率【題目詳解】三個小朋友之間準(zhǔn)備送禮物，約定每人只能送出一份禮

16、物給另外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù)則三人都收到禮物的概率故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【答案解析】可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【題目詳解】解：，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的外心，因?yàn)椋渣c(diǎn)在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題16、【答案解析】根據(jù)題意，畫出可

17、行域，將目標(biāo)函數(shù)看成可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，利用圖象即可求解.【題目詳解】可行域如圖所示，易知當(dāng)，時，的最大值為故答案為：9.【答案點(diǎn)睛】本題考查了利用幾何法解決非線性規(guī)劃問題，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【答案解析】試題分析：（I）由題意可得，則，關(guān)于的線性回歸方程為（II）由題意可知二人所獲購物券總金額的可能取值有、元，它們所對應(yīng)的概率分別為：，據(jù)此可得分布列，計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為元試題解析：（I）依題意：，則關(guān)于的線性回歸方程為（II）二人所獲購物券總金額的可能取值有、元，它們所對應(yīng)的概率分別為：，所以，總金額

18、的分布列如下表：03006009001200總金額的數(shù)學(xué)期望為元18、（）;（）【答案解析】試題分析：（1）先由公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；進(jìn)而列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：（1）由題意知當(dāng)時，當(dāng)時，所以設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，可解得，所以（2）由（1）知，又，得，兩式作差，得所以考點(diǎn) 1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.【易錯點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于難題. “錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯位相減

19、法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：掌握運(yùn)用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積）；相減時注意最后一項(xiàng) 的符號；求和時注意項(xiàng)數(shù)別出錯；最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以.19、（1）（2）4【答案解析】（1）利用判斷是等差數(shù)列，利用求出，利用等比中項(xiàng)建立方程，求出公差可得.（2）利用的通項(xiàng)公式,求出，用錯位相減法求出，最后建立不等式求出最小的正整數(shù).【題目詳解】解：任意都有，數(shù)列是等差數(shù)列，又是與的等比中項(xiàng)，設(shè)數(shù)列的公差為，且，則，解得，；由題意可知 ，得：，由得， 滿足條件的最小的正整數(shù)的值為【答案點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式及錯位相減法求和. (1)解

20、決等差數(shù)列通項(xiàng)的思路(1)在等差數(shù)列中，是最基本的兩個量，一般可設(shè)出和，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列方程(組)求解即可. (2)錯位相減法求和的方法：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解; 在寫“”與“”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式20、（1）（2）見解析，最小值為4【答案解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)到直線的距離列方程，求得的值，由此求得拋物線的方程.（2）設(shè)出的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，由此判斷出直線恒過拋物線焦點(diǎn).求得三角形面積的表達(dá)式，進(jìn)而求得面積的最小值.【題目詳解】（1）依題意，解得 （負(fù)根舍去）拋物線的方程為（2）設(shè)點(diǎn)，由，即，得拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即，點(diǎn)在切線上，同理，綜合、得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.即直線恒過拋物線焦點(diǎn)當(dāng)