1、3.2 條件分布與隨機變量的獨立性一、條件分布的一般概念設X是一隨機變量,為在事件A發生的條件下，滿足稱條件概率是一隨機事件，記X的條件分布函數.如與獨立性設且對于實數則同理,且若則且是另一隨機變量,與 獨立事件與獨立獨立性:事件定義3.6如果對任意實數 有則稱隨機變量X與Y與設隨機向量( X，Y )的聯合分布函數為相互獨立.定義3.6如果對任意實數 有則稱隨機變量X與Y相互獨立.與設隨機向量( X，Y )的聯合分布函數此時且時,時,同理，為隨機變量X與Y相互獨立事件與相互獨立.對任意實數 有有事件與相互獨立.對任意實數集A與B ,事件與相互獨立.可以證明與對任意實數 與對任意實數 與對任意實

2、數 與定理3.1隨機變量X與Y的充要條件是事件與相互獨立.對任意實數集A與B,即定理3.2如果隨機變量X與Y相互獨立,則對于任意連續函數隨機變量與也相互獨立.和相互獨立定義3.7設是n個隨機變量,聯合分布函數為邊緣分布函數為恒有如果對任則稱相互獨立.二、離散型隨機變量的條件分布設( X，Y )是二維離散型隨機向量,概率分布為若對某個有則且記與獨立性稱為條件下,X的條件概率分布.在其定義此時，有定義設( X，Y )是二維離散型隨機向量,若對有則稱固定的為條件下,X的條件概率分布.在如設( X，Y )的概率分布為則在條件下，X的條件概率分布為如設( X，Y )的概率分布為則在條件下，X的條件概率分

3、布為可列表表示且( 非負性 )( 歸一性 )時，定義設( X，Y )是二維離散型隨機向量,若對有則稱固定的為條件下,Y的條件概率分布.且在此時，有記( 非負性 )( 歸一性 )時，且X與Y相互獨立有可以證明對任意實數集A與B ,有設X與Y是離散型隨機變量 對任意 Th3.1獨立性有有與 對任意 與 對任意實數 與定理3.3則X與Y相互獨立分布設X與Y是離散型隨機變量，其聯合概率分布為邊緣分別為的充要條件是10件產品中每次任取一件,(1) 無放回抽取(2) 有放回抽取有3件次品,7件正品, 例 連續取兩次.設 表示第一次取到的次品件數,設 表示第二次取到的次品件數.與 獨立. 與 不獨立.由聯合

4、分布,可求出邊緣分布;但由邊緣分布,一般不能確定聯合分布.如 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2但若已知X與Y則可由邊緣分布,確定它們的聯合分布.相互獨立,三、連續型隨機變量的條件分布設( X，Y )是二維連續型隨機向量,其分布函數為密度函數為此時， 都是連續型隨機變量,它們取單個值的概率均為0故在且中,分子均為0,從而上式無意義.分母、 必須用極限的形式,所以對連續型隨機向量，的合理定義.給出的條件分布與獨立性 X與Y 且記記稱為條件下,X的條件分布函數.定義 稱為條件下,X的條件分布函數.稱為條件下,X的條件密度稱為條件下,Y的條件分布函數.稱為條件下,Y的條件密度記函數.記函

5、數.稱為條件下,X的條件密度函數.稱為條件下,Y的條件密度函數.例設X和Y的聯合密度函數為其它求條件密度函數.解時其它例設X和Y的聯合密度函數為其它求條件密度函數.解時,y取其它值其它當時，或不存在.當例其它求條件密度函數.解時，時，解例其它求條件密度函數.其它時,x取其它值解例其它求條件密度函數.其它當時，或不存在.當例設求條件密度函數.解( X,Y )概率密度函數為此時，故X與Y相互獨立對任意實數有對任意實數有設( X，Y )是連續型隨機向量,獨立性度為關于X,Y的邊緣密度分別為其聯合密有對任意實數與與與定理3.4設連續型隨機向量(X，Y)的密度函數為獨立邊緣密度分別為和的充分必要條件是則