1、關(guān)于應(yīng)變狀態(tài)第一張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月目錄3.1 變形與應(yīng)變概念3.2 主應(yīng)變與主應(yīng)變方向3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程第二張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3.1 變形與應(yīng)變概念 由于外部因素載荷或溫度變化位移物體內(nèi)部各點(diǎn)空間位置發(fā)生變化 位移形式_位置的改變與彈性體形狀的變化剛體位移：物體內(nèi)部各點(diǎn)位置變化，但仍保持初始狀態(tài)相對(duì)位置不變。形狀改變（變形）位移：位移不僅使得位置改變，而且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置。第三張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月位移與位移分量根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，彈性體在變形前和變形后仍保持為連續(xù)體。那么彈性體中某點(diǎn)在變形過(guò)程中由M（x，y，z）

2、移動(dòng)至M （ x，y，z ），這一過(guò)程也將是連續(xù)的。在數(shù)學(xué)上，x，y，z 必為x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。3.1 變形2第四張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)MM=S為位移矢量，位移矢量的三個(gè)分量u，v，w為位移分量，則U =x （x，y，z）-x = u（x，y，z） V =y（x，y，z）-y = v（x，y，z） W =z（x，y，z）-z = w（x，y，z） 位移分量u，v，w也是x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。以后的分析將進(jìn)一步假定位移函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。 3.1 變形3第五張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月變形與應(yīng)變分量 為進(jìn)一步研究彈性體的變形情況，假設(shè)從彈性體中分

3、割出一個(gè)微分六面體單元，其六個(gè)面分別與三個(gè)坐標(biāo)軸垂。 對(duì)于微分單元體的變形，將分為兩個(gè)部分討論。一是微分單元體棱邊的伸長(zhǎng)和縮短；二是棱邊之間夾角的變化。彈性力學(xué)分別使用正應(yīng)變和切應(yīng)變表示這兩種變形的。 3.1 變形4第六張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 對(duì)于微分平行六面體單元，設(shè)其變形前與x，y，z坐標(biāo)軸平行的棱邊分別為MA，MB，MC，變形后分別變?yōu)镸A，MB，MC。正應(yīng)變_x, y, z表示x，y，z軸方向棱邊的相對(duì)伸長(zhǎng)度； 切應(yīng)變_xy, yz, zx 表示x和y，y和z，z和x軸之間的夾角變化。3.1 變形5第七張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 對(duì)于小變形問(wèn)題，為了

4、簡(jiǎn)化分析，將微分單元體分別投影到Oxy，Oyz，Ozx平面來(lái)討論。 顯然，單元體變形前各棱邊是與坐標(biāo)面平行的，變形后棱邊將有相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)；但我們討論的是小變形問(wèn)題，這種轉(zhuǎn)動(dòng)所帶來(lái)的影響較小。 特別是物體位移中不影響變形的計(jì)算，假設(shè)各點(diǎn)的位移僅為自身的大小和形狀的變化所確定，則這種微分線段的轉(zhuǎn)動(dòng)的誤差是十分微小的，不會(huì)導(dǎo)致微分單元體的變形有明顯的變化。 3.1 變形6第八張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 正應(yīng)變微分單元體的棱邊長(zhǎng)為dx，dy，dzM點(diǎn)的坐標(biāo)：（x，y，z）M點(diǎn)的位移分量：u（x,y,z）,v(x,y,z), w（x,y,z）首先討論Oxy面上投影 的變形。 設(shè)ma，mb分

5、別為MA，MB的投影，ma，mb分別為MA，MB，即變形后的MA，MB的投影A點(diǎn)的位移：u(x+dx，y，z），v(x+dx，y，z）B點(diǎn)的位移：u(x，y+dy，z），v(x，y+dy，z）將A，B兩點(diǎn)的位移按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，略去二階以上的小量，則有 A點(diǎn)的位移為B點(diǎn)的位移為3.1 變形7第九張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月因?yàn)樗酝砜傻眠@些正應(yīng)變表示了任意一點(diǎn)微分線段的相對(duì)伸長(zhǎng)度。微分線段伸長(zhǎng)，則正應(yīng)變大于零，反之則小于零。3.1 變形8第十張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月以下討論切應(yīng)變表達(dá)關(guān)系。 因?yàn)?上式的推導(dǎo)中，利用了小變形條件下位移的導(dǎo)數(shù)是高階小量的結(jié)論。同理可

6、得 yx和xy可為正或?yàn)樨?fù)，其正負(fù)號(hào)的幾何意義為： yx大于零，表示位移v隨坐標(biāo)x而增加，即x方向的微分線段正向向y軸旋轉(zhuǎn)。將上述兩式代入切應(yīng)變表達(dá)式， 同理 切應(yīng)變分量大于零，表示微分線段的夾角縮小，反之則增大。 3.1 變形9第十一張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月綜上所述，應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系為 上述公式稱為幾何方程，又稱柯西方程（Augustin-Louis Cauchy于1828年提出） 。 柯西方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。如果已知位移，由位移函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)即可求得應(yīng)變；但是如果已知應(yīng)變，由于六個(gè)應(yīng)變分量對(duì)應(yīng)三個(gè)位移分量，則其求解將相對(duì)復(fù)雜。 這個(gè)問(wèn)題以后作

7、專門討論。 幾何方程給出的應(yīng)變通常稱為工程應(yīng)變。 使用張量符號(hào)，幾何方程可以表達(dá)為：3.1 變形10第十二張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月上式表明應(yīng)變分量eij 將滿足二階張量的坐標(biāo)變換關(guān)系，應(yīng)變張量分量與工程應(yīng)變分量的關(guān)系可表示為3.1 變形11第十三張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月幾何方程位移導(dǎo)數(shù)表示的應(yīng)變應(yīng)變描述一點(diǎn)的變形，但還不足以完全描述彈性體的變形原因是沒(méi)有考慮單元體位置的改變單元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 剛性位移可以分解為平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)剛性轉(zhuǎn)動(dòng)變形位移的一部分，但是不產(chǎn)生變形。3.1 變形12第十四張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 通過(guò)分析彈性體內(nèi)無(wú)限鄰近兩點(diǎn)的位置

8、變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)位移與純變形位移之間的關(guān)系。3.1 變形13 設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，z）與M點(diǎn)鄰近的 位移（u，v，w） N點(diǎn)的坐標(biāo)為（x+dx，y+dy，z+dz） 位移（u+du，v+dv，w+dw） 則MN兩點(diǎn)的相對(duì)位移為（du，dv，dw） 因?yàn)槲灰茷樽鴺?biāo)的函數(shù)，所以第十五張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3.1 變形13第十六張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月轉(zhuǎn)動(dòng)矢量描述微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)3.1 變形14同理可得 轉(zhuǎn)動(dòng)分量 第十七張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)與協(xié)調(diào)相關(guān)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移增量變形位移增量位移增量是由兩部分組成的3.

9、1 變形15第十八張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 必須指出，這里討論的是單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)變形體來(lái)說(shuō)，是隨點(diǎn)而異，是坐標(biāo)的函數(shù)。但對(duì)整個(gè)物體，它們屬于變形的一部分；這三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量和六個(gè)應(yīng)變分量合在一起，不僅定出了一點(diǎn)鄰近的單元體形狀的變化，而且定出了該單元體方位的改變，因此這九個(gè)量全面正確地反映了物體內(nèi)點(diǎn)的位置改變。物體內(nèi)所有點(diǎn)的位置改變構(gòu)成了整個(gè)物體的變形。 從研究點(diǎn)的變形角度考察，說(shuō)明應(yīng)變張量是相對(duì)位移張量扣除轉(zhuǎn)動(dòng)張量后，表示單元體純變形的部分。它是一個(gè)對(duì)稱的二階張量，有六個(gè)獨(dú)立分量。它表示單元體變形對(duì)稱于對(duì)角線，即垂直棱邊互相轉(zhuǎn)角相等。 應(yīng)變張量決定了一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，它具有

10、張量的所有特性。它與載荷引起的應(yīng)力具有對(duì)應(yīng)關(guān)系。下面將對(duì)應(yīng)變張量做進(jìn)一步探討。3.1 變形16第十九張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月變形通過(guò)應(yīng)變描述 坐標(biāo)變換時(shí)，應(yīng)變分量是隨之坐標(biāo)改變而變化。應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)軸公式應(yīng)變張量3.2 主應(yīng)變與主應(yīng)變方向應(yīng)變狀態(tài)第二十張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月應(yīng)變張量一旦確定，則任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定。因此應(yīng)變狀態(tài)就完全確定。坐標(biāo)變換后各應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但作為一個(gè)整體，所描述的應(yīng)變狀態(tài)并未改變。主應(yīng)變與應(yīng)變主軸 切應(yīng)變?yōu)?的方向 應(yīng)變主軸方向的正應(yīng)變應(yīng)變主軸主應(yīng)變3.2 主應(yīng)變2第二十一張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月應(yīng)變

11、狀態(tài)特征方程l，m，n齊次線性方程組非零解的條件為方程系數(shù)行列式的值為零 展開(kāi) 3.2 主應(yīng)變3主應(yīng)變確定應(yīng)變主軸方向變形第二十二張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月應(yīng)變不變量第一，第二和第三應(yīng)變不變量 一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)，因此坐標(biāo)變換不影響應(yīng)變狀態(tài)是確定的。應(yīng)變不變量就是應(yīng)變狀態(tài)性質(zhì)的表現(xiàn)3.2 主應(yīng)變4第二十三張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月應(yīng)力張量應(yīng)變張量應(yīng)力不變量應(yīng)變不變量主應(yīng)變和應(yīng)變主軸與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的特性類似各向同性材料，應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸是重合的公式比較3.2 主應(yīng)變5第二十四張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月體積應(yīng)變彈性體一點(diǎn)體積的改變量

12、引入體積應(yīng)變有助于 簡(jiǎn)化公式3.2 主應(yīng)變6三種情況 0：微分單元體膨脹 0：微分單元體受壓縮 =0：體積是不變第二十五張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程數(shù)學(xué)意義：幾何方程6個(gè)應(yīng)變分量通過(guò)3個(gè)位移分量描述力學(xué)意義變形連續(xù)彈性體任意一點(diǎn)的變形必須受到其相鄰單元體變形的約束第二十六張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3-1 設(shè) ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。解：顯然該應(yīng)變分量沒(méi)有對(duì)應(yīng)的位移。要使這一方程組不矛盾，則六個(gè)應(yīng)變分量必須滿足一定的條件。3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)2第二十七張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2

13、022年6月出現(xiàn)以上問(wèn)題的物理解釋假如物體分割成無(wú)數(shù)個(gè)微分六面體單元，變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象物體變形前后都應(yīng)保持整體和連續(xù)，不應(yīng)該出現(xiàn)空隙和折疊空隙：位移u，v，w不是連續(xù)函數(shù)折疊：位移u，v，w不是單值函數(shù)為使變形后的微分單元體仍能重新組合成連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)3第二十八張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月應(yīng)變協(xié)調(diào)方程將幾何方程 中的第 1，2，4 式：作如下求偏導(dǎo)運(yùn)算： 以下我們將著手建立各應(yīng)變分量之間應(yīng)滿足的條件。 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)4第二十九張

14、，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月從幾何方程中消去位移分量，第一式和第二式分別對(duì)y和 x求二階偏導(dǎo)數(shù)然后相加可得3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)5第三十張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)x求一階偏導(dǎo)數(shù)，則 分別輪換x,y,z，則可得如下六個(gè)關(guān)系式 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)6將幾何方程的四，五，六式分別對(duì)z，x，y求一階偏導(dǎo)數(shù)前后兩式相加并減去中間一式，則第三十一張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)7該關(guān)系式由圣維南（Saint Venant）于1864年提出。在推導(dǎo)過(guò)程中，僅用了連續(xù)函數(shù)的求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)性，所以這組方程的本質(zhì)是變形連續(xù)條件。稱為：圣維南方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程相

15、容方程變形一致條件第三十二張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義使3個(gè)位移為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不相矛盾。變形協(xié)調(diào)方程的物理意義物體變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。為使變形后的物體保持連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿足一定的關(guān)系。 3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)8第三十三張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是變形連續(xù)的必要和充分條件。從幾何上講若某一初始連續(xù)的物體按給定的應(yīng)變狀態(tài)變形時(shí)，能始終保持連續(xù)，既不開(kāi)裂，又不重疊；則所給的應(yīng)變是協(xié)調(diào)的，是滿足圣維南方程的。從數(shù)學(xué)上說(shuō)，圣維南

16、方程是由幾何方程積分出單值連續(xù)位移場(chǎng)的必要條件。下面來(lái)證明：如果應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則對(duì)于單連通域，就可以通過(guò)幾何方程積分求得單值連續(xù)的位移分量；因而圣維南方程也是幾何方程可積分的充分條件。3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)9第三十四張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月位移分量可通過(guò)積分它們分別對(duì)坐標(biāo)的一階偏導(dǎo)數(shù)求得，例如3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)10a)式中， 不能直接由幾何方程中給出。為將它們用應(yīng)變分量表達(dá)，取它們對(duì)坐標(biāo)x,y,z的一階偏導(dǎo)數(shù) b)第三十五張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月上式右邊已知，用A,B,C表示。如果能通過(guò)積分3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)11c)求得單值連續(xù)函數(shù),并按同理求得 則再利用

17、式a)即可立即求得位移分量U(x,y,z) 。由積分式c) 求出單值連續(xù)的的充分且必要條件為 d)第三十六張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)12方程第四式方程第一式方程第五式第三十七張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月對(duì)3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)13 進(jìn)行同樣的做法，則對(duì)每一個(gè)都能夠得到三個(gè)條件，共18個(gè)條件。但其中只有六個(gè)是不同的，就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。 綜上所述，對(duì)單連通物體，只要給定的應(yīng)變分量滿足變形協(xié)調(diào)方程，則就可得到單值連續(xù)的函數(shù) 進(jìn)而可求得u,v,w。至此，我們證明了，應(yīng)變滿足協(xié)調(diào)方程是通過(guò)幾何方程，由應(yīng)變場(chǎng)求出單值連續(xù)位移場(chǎng)的充分必要條件。 第三十八張，PPT共四

18、十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月變形協(xié)調(diào)方程單連通域位移單值連續(xù)的必要和充分條件多連通域位移單值連續(xù)的必要條件3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)14第三十九張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月位移邊界條件 應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)方程，保證彈性體內(nèi)部的變形單值連續(xù)。邊界變形協(xié)調(diào)要求邊界位移滿足位移邊界條件。 位移邊界條件臨近表面的位移或和變形與已知邊界位移或變形相等。3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)15第四十張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月如果物體表面的位移已知，稱為位移邊界位移邊界用Su表示。如果物體表面的位移 已知邊界條件為稱為位移邊界條件3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)16第四十一張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)物體表面為S位移已知邊界Su面力已知邊界Ss則 SSuSs彈性體的整個(gè)邊界，是由面力邊界和位移邊界構(gòu)成的。任意一段邊界，可以是面力邊界，或者位移邊界。面力邊界和位移邊界在一定條件下是可以轉(zhuǎn)換的，例如靜定問(wèn)題。3.3 應(yīng)變協(xié)調(diào)17第四十二張，PPT共四十八頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月某些問(wèn)題，邊界部分位移已知，另一部