1、第十七講三角形與全等三角形【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】考點(diǎn)一：三角形三邊關(guān)系例12023溫州以下各組數(shù)可能是一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的是A1，2，4B4，5，9C4，6，8D5，5，11思路分析：看哪個(gè)選項(xiàng)中兩條較小的邊的和不大于最大的邊即可解：A、因?yàn)?+24，所以本組數(shù)不能構(gòu)成三角形故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、因?yàn)?+5=9，所以本組數(shù)不能構(gòu)成三角形故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、因?yàn)?-458+4，所以本組數(shù)可以構(gòu)成三角形故本選項(xiàng)正確；D、因?yàn)?+511，所以本組數(shù)不能構(gòu)成三角形故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；應(yīng)選C點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系定理：任意兩邊之和大于第三邊，只要滿足兩短邊的和大于最長(zhǎng)的邊，就可以構(gòu)成三角形對(duì)應(yīng)訓(xùn)練12023長(zhǎng)

2、沙如果一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和4，那么第三邊長(zhǎng)可能是A2B4C6D81B考點(diǎn)二：三角形內(nèi)角、外角的應(yīng)用例22023湘西州如圖，一副分別含有30和45角的兩個(gè)直角三角板，拼成如以下列圖形，其中C=90，B=45，E=30，那么BFD的度數(shù)是A15B25C30D10思路分析：先由三角形外角的性質(zhì)求出BDF的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論解：RtCDE中，C=90，E=30，BDF=C+E=90+30=120，BDF中，B=45，BDF=120，BFD=180-45-120=15應(yīng)選A點(diǎn)評(píng)：此題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

3、22023鄂州一副三角板有兩個(gè)直角三角形，如圖疊放在一起，那么的度數(shù)是A165B120C150D1352A考點(diǎn)三：三角形全等的判定和性質(zhì)例3 2023天門(mén)如圖，ABCADE，AB與ED交于點(diǎn)M，BC與ED，AD分別交于點(diǎn)F，N請(qǐng)寫(xiě)出圖中兩對(duì)全等三角形ABCADE除外，并選擇其中的一對(duì)加以證明思路分析：找到兩三角形全等的條件，三角形全等就寫(xiě)出來(lái)，選擇一組證明即可解：AEMACN，BMFDNF，ABNADM選擇AEMACN，理由如下：ADEABC，AE=AC，E=C，EAD=CAB，EAM=CAN，在AEM和ACN中，AEMCANASA點(diǎn)評(píng)：此題考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性質(zhì)；判定兩個(gè)

4、三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，假設(shè)有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角例4 2023宜賓如圖：D、E分別在AB、AC上，AB=AC，B=C，求證：BE=CD思路分析：要證明BE=CD，把BE與CD分別放在兩三角形中，證明兩三角形全等即可得到，而證明兩三角形全等需要三個(gè)條件，題中一對(duì)邊和一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，觀察圖形可得出一對(duì)公共角，進(jìn)而利用AAS可得出三角形ABE與三角形ACD全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得證證明：在ABE和ACD中，ABEACDAAS，BE=CD全等三角形的對(duì)應(yīng)

5、邊相等點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，常常利用三角形的全等來(lái)解決線段或角相等的問(wèn)題，在證明三角形全等時(shí)，要注意公共角及公共邊，對(duì)頂角等隱含條件的運(yùn)用對(duì)應(yīng)訓(xùn)練32023荊州如圖，ABC與CDE均是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，D在AB上，連結(jié)BE請(qǐng)找出一對(duì)全等三角形，并說(shuō)明理由3解：ACEBCDABC和ECD都是等腰直角三角形，ECD=ACB=90，ACE=BCD都是ACD的余角，在ACE和BCD中，ACEBCD42023十堰如圖，點(diǎn)D，E在ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE求證：AD=AE4證明：AB=AC，B=C，在ABD與ACE中，ABDACESAS，AD=AE考點(diǎn)四

6、：全等三角形開(kāi)放性問(wèn)題例52023云南如圖，點(diǎn)B在AE上，點(diǎn)D在AC上，AB=AD請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使ABCADE只能添加一個(gè)1你添加的條件是2添加條件后，請(qǐng)說(shuō)明ABCADE的理由思路分析：1可以根據(jù)全等三角形的不同的判定方法選擇添加不同的條件；2根據(jù)全等三角形的判定方法證明即可解：1AB=AD，A=A，假設(shè)利用“AAS，可以添加C=E，假設(shè)利用“ASA，可以添加ABC=ADE，或EBC=CDE，假設(shè)利用“SAS，可以添加AC=AE，或BE=DC，綜上所述，可以添加的條件為C=E或ABC=ADE或EBC=CDE或AC=AE或BE=DC；故答案為：C=E；2選C=E為條件理由如下：在ABC

7、和ADE中，ABCADEAAS點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定，開(kāi)放型題目，根據(jù)不同的三角形全等的判定方法可以選擇添加的條件也不相同對(duì)應(yīng)訓(xùn)練52023昭通如圖，AF=DC，BCEF，只需補(bǔ)充一個(gè)條件 ，就得ABCDEF5BC=EF【聚焦山東中考】12023威海將一副直角三角板如圖擺放，點(diǎn)C在EF上，AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)DA=EDF=90，AB=ACE=30，BCE=40，那么CDF=12522023聊城如圖，四邊形ABCD中，A=BCD=90，BC=CD，CEAD，垂足為E，求證：AE=CE2證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BFCE于F，CEAD，D+DCE=90，BCD=90，BCF+DCE=90，BCF=D

8、，在BCF和CDE中，BCFCDEAAS，BF=CE，又A=90，CEAD，BFCE，四邊形AEFB是矩形，AE=BF，AE=CE32023菏澤如圖，在ABC中，AB=CB，ABC=90，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC1求證：ABECBD；2假設(shè)CAE=30，求BDC的度數(shù)31證明：ABC=90，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ABE=CBD=90，在ABE和CBD中，ABECBDSAS；2解：AB=CB，ABC=90，CAB=45，CAE=30，BAE=CAB-CAE=45-30=15，ABECBD，BCD=BAE=15，BDC=90-BCD=90-15=75

9、；42023臨沂如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF1求證：AF=DC；2假設(shè)ABAC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論41證明：AFBC，AFE=DBE，E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，AE=DE，BD=CD，在AFE和DBE中AFEDBEAAS，AF=BD，AF=DC2四邊形ADCF是菱形，證明：BC，AF=DC，四邊形ADCF是平行四邊形，ACAB，AD是斜邊BC的中線，AD=DC，平行四邊形ADCF是菱形52023東營(yíng)1如圖1，：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD直線m，CE直

10、線m，垂足分別為點(diǎn)D、E證明：DE=BD+CE2如圖2，將1中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中為任意銳角或鈍角請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由3拓展與應(yīng)用：如圖3，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)D、A、E三點(diǎn)互不重合，點(diǎn)F為BAC平分線上的一點(diǎn)，且ABF和ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，假設(shè)BDA=AEC=BAC，試判斷DEF的形狀5證明：1BD直線m，CE直線m，BDA=CEA=90，BAC=90，BAD+CAE=90，BAD+ABD=90，CAE=ABD，在A

11、DB和CEA中，ADBCEAAAS，AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；2BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180-，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ADBCEAAAS，AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；3由2知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF和ACF均為等邊三角形，ABF=CAF=60，DBA+ABF=CAE+CAF，DBF=FAE，BF=AF在DBF和EAF中，DBFEAFsas，DF=EF，BFD=AFE，DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60，DEF為等邊三角形62023煙臺(tái)，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊A

12、B上一動(dòng)點(diǎn)不與A，B重合，分別過(guò)A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點(diǎn)1如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是，QE與QF的數(shù)量關(guān)系式；2如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；3如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA或AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)2中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫(huà)出圖形并給予證明6解：1AEBF，QE=QF，理由是：如圖1，Q為AB中點(diǎn)，AQ=BQ，BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ，在BFQ和AEQ中，BFQAEQAAS，QE=QF，故答案為：AEBF，QE=QF2QE=QF，證明：如圖2，延長(zhǎng)FQ交AE于D，AEBF

13、，QAD=FBQ，在FBQ和DAQ中，F(xiàn)BQDAQASA，QF=QD，AECP，EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，QE=QF=QD，即QE=QF32中的結(jié)論仍然成立，證明：如圖3，延長(zhǎng)EQ、FB交于D，AEBF，1=D，在AQE和BQD中，AQEBQDAAS，QE=QD，BFCP，F(xiàn)Q是斜邊DE上的中線，QE=QF【備考真題過(guò)關(guān)】一、選擇題12023泉州在ABC中，A=20，B=60，那么ABC的形狀是A等邊三角形B銳角三角形C直角三角形D鈍角三角形1D22023宜昌以下每組數(shù)分別表示三根木棒的長(zhǎng)度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是A1，2，6B2，2，4C1，2，3D2，3，42D3

14、2023衡陽(yáng)如圖，1=100，C=70，那么A的大小是A10B20C30D803C42023河北如圖1，M是鐵絲AD的中點(diǎn)，將該鐵絲首尾相接折成ABC，且B=30，C=100，如圖2那么以下說(shuō)法正確的是A點(diǎn)M在AB上B點(diǎn)M在BC的中點(diǎn)處C點(diǎn)M在BC上，且距點(diǎn)B較近，距點(diǎn)C較遠(yuǎn)D點(diǎn)M在BC上，且距點(diǎn)C較近，距點(diǎn)B較遠(yuǎn)4C52023鐵嶺如圖，在ABC和DEC中，AB=DE，還需添加兩個(gè)條件才能使ABCDEC，不能添加的一組條件是ABC=EC，B=EBBC=EC，AC=DCCBC=DC，A=DDB=E，A=D5C62023臺(tái)州A1B1C1A2B2C2的周長(zhǎng)相等，現(xiàn)有兩個(gè)判斷：假設(shè)A1B1=A2B2，

15、A1C1=A2C2，那么A1B1C1A2B2C2；假設(shè)A1=A2，B1=B2，那么A1B1C1A2B2C2，對(duì)于上述的兩個(gè)判斷，以下說(shuō)法正確的是A正確，錯(cuò)誤B錯(cuò)誤，正確C，都錯(cuò)誤D，都正確6A72023邵陽(yáng)如下列圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AD=DE，連結(jié)BE交CD于點(diǎn)O，連結(jié)AO，以下結(jié)論不正確的是AAOBBOCBBOCEODCAODEODDAODBOC7A82023河北一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如下列圖，假設(shè)3=50，那么1+2=A90B100C130D1808B92023陜西如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，假設(shè)連接AC、BD相交于點(diǎn)O，那么圖中

16、全等三角形共有A1對(duì)B2對(duì)C3對(duì)D4對(duì)9C二、填空題102023黔東南州在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足B-A=C-B，那么B= 度1060112023柳州如圖，ABCDEF，請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，寫(xiě)出x= 1120122023巴中如圖，點(diǎn)B、C、F、E在同一直線上，1=2，BC=EF，要使ABCDEF，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是 只需寫(xiě)出一個(gè)12CA=FD132023郴州如圖，點(diǎn)D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，要使ABEACD，需添加的一個(gè)條件是 只寫(xiě)一個(gè)條件即可13B=C答案不唯一142023達(dá)州如圖，在ABC中，A=m，ABC和ACD的平分線交于點(diǎn)

17、A1，得A1；A1BC和A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得A2；A2023BC和A2023CD的平分線交于點(diǎn)A2023，那么A2023=度14三、解答題152023玉林如圖，AB=AE，1=2，C=D求證：ABCAED15證明：1=2，1+EAC=2+EAC，即BAC=EAD，在ABC和AED中，ABCAEDAAS162023湛江如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，ABED，ACFD，求證：AC=DF16證明：FB=CE，F(xiàn)B+FC=CE+FC，BC=EF，ABED，ACFD，B=E，ACB=DFE，在ABC和DEF中，ABCDEFASA，AC=DF172023佛山課本指出：公認(rèn)的真命

18、題稱為公理，除了公理外，其他的真命題如推論、定理等的正確性都需要通過(guò)推理的方法證實(shí)1表達(dá)三角形全等的判定方法中的推論AAS；2證明推論AAS要求：表達(dá)推論用文字表達(dá)；用圖形中的符號(hào)表達(dá)、求證，并證明，證明對(duì)各步驟要注明依據(jù)17解：1三角形全等的判定方法中的推論AAS指的是：兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2：在ABC與DEF中，A=D，C=F，BC=EF求證：ABCDEF證明：如圖，在ABC與DEF中，A=D，C=F，A+C=D+F等量代換又A+B+C=180，D+E+F=180三角形內(nèi)角和定理，B=E在ABC與DEF中，ABCDEFASA182023隨州如圖，點(diǎn)F、B、E、C在同一直線上，并且BF=CE，ABC=DEF能否由上面的條件證明ABCDEF？如果能，請(qǐng)給出證明；如果不能，請(qǐng)從以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)適宜的條件，添加到條件中，使ABCDEF，并給出證明提供的三個(gè)條件是：AB=DE；AC=DF；ACD