1、 直線與直線垂直、862直線與平面垂直【要點梳理】要點一、直線與直線的垂直(異面直線所成的角)I f& /(XX乙直線a、b是異面直線，經過空間中一點 0,分別引直線a/a ,b7b , 相交直線a，、V所成的銳角(或直角)叫做 異面直線a與b所成的角(夾角)。如右圖所示當兩條異面直線所成的角是直角時，這兩條異面直線互相垂直.要點詮釋：當兩條直線a、b相互平行時，我們規定它們所成的角為0。所以空間兩條直線所成角的取值 范圍為_90 異面直線所成角的取值范圍是o9o;求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點平移定角計算 要點二、直線和平面垂直的定義和判定直線和平面垂直的定義如果直線I和平面

2、內的任意一條直線都垂直，我們就說直線I與平面 互相垂直，記作I .直線I叫平面 的垂線；平面 叫直線I的垂面；垂線和平面的交點叫 垂足.過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條。過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離。要點詮釋：定義中“平面內的任意一條直線”就是指“平面內的所有直線”，這與“無數條直線”不同，注意區別.直線和平面垂直是直線和平面相交的一種特殊形式若a ,b ,則 a b.直線和平面垂直的判定定理文字語言：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.m ,n ,m I n B符號語言：

3、II m,I n特征：線線垂直線面垂直要點詮釋：判定定理的條件中：“平面內的兩條相交直線”是關鍵性詞語，不可忽視要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內能否找出兩條相交直線和已知直線 垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，則無關緊要相關的重要結論過一點與已知直線垂直的平面有且只有一個；過一點與已知平面垂直的直線有且只有一條.如果兩條平行線中的一條與一個平面垂直，那么另一條也與這個平面垂直.如果兩個平行平面中的一個與一條直線垂直，那么另一個也與這條直線垂直.要點三、直線與平面所成的角直線與平面所成角的定義一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的

4、斜線.過斜線上斜足外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角要點詮釋：直線與平面平行，直線在平面上的射影是一條直線直線與平面垂直時射影是點斜線上任一點在平面內的射影一定在斜線的射影上.直線與平面所成的角的范圍：不垂直時，O v V 90直線和平面相交垂直時，=90直線和平面平行或直線在平面內，=0 .直線和平面所成角的范圍是 0 90 .求斜線與平面所成角的一般步驟：(1)確定斜線與平面的交點即斜足；經過斜線上除斜足外任一點作平面的垂線，確定垂足，進而確定斜線在平面內的射影；解由垂線、斜線及其射影

5、構成的直角三角形，求出線面角.要點四、直線和平面垂直的性質定理1定理垂直于同一個平面的兩條直線平行2其他性質垂直于同一條直線的兩個平面平行.如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它必垂直于另一個平面.要點詮釋：線面垂直關系是線線垂直、面面垂直關系的樞紐，通過線面垂直可以實現線線垂直和面面垂直關系的 相互轉化.要點五、距離一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離。如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離。【經典例題】 類型一：異面直線所成的角例1.如下圖，正方體 AC1中，E,

6、 F分別是A1B1, B1C1的中點，求異面直線 DB 1與EF所成角的大 小.【總結升華】求異面直線所成角的過程是將空間角轉化為平面角求解的過程通常是 通過解三角形求得.舉一反三：【變式1【總結升華】求異面直線所成角的過程是將空間角轉化為平面角求解的過程通常是 通過解三角形求得.舉一反三：【變式1】如右圖，在正方體 ABCD-A IBiCiDi中，（1） AC和DDi所成的角大小為；（2） AC和DiCi所成的角大小為；（3） AC和AiB所成的角大小為.【變式2】 直三棱柱 ABC AiBiCi中，若BAC 90 , AB AC AAi ,則異面直線BAi與ACi所成的角等于（）A. 30

7、 B. 45 C. 60 D. 90類型二：直線和平面垂直的定義例2 .下列命題中正確的個數是 （）如果直線I與平面內的無數條直線垂直，則I ;如果直線I與平面內的一條直線垂直，則I ;如果直線I不垂直于，則內沒有與I垂直的直線；如果直線I不垂直于，則內也可以有無數條直線與 I垂直.A. 0 B . i C . 2 D . 3舉一反三：【變式i】設直線m與平面 相交但不垂直，則下列說法中正確的是（）A.在平面 內有且只有一條直線與直線 m垂直 B .過直線m有且只有一個平面與平面垂直垂直DC.與直線m垂直的直線不可能與平面平行 D .與直線m平行的平面不可能與垂直D類型三：直線與平面垂直的判定

8、例3.如圖，已知空間四邊形 ABDC的邊BC=AC , AD=BD ,作BE丄CD , E為垂足, 作AH丄BE于H ,求證：AH丄平面 BCD .【總結升華】本題主要考查線面垂直的判定，關鍵是找到平面BCD內與AH垂直的兩條相交直線，要證線面垂直，需證線線垂直；要證線線垂直，需證線面垂直，即通過判定定理實現線線垂直與線面垂直 的互相轉化.例4.如圖所示，四邊形 ABCD是矩形，PA丄平面ABCD , PAD是等腰三角形，M , N分別是AB , PC 的中點，求證：MN丄平面PCD .【總結升華】(1)判定線面垂直的方法:利用線面垂直定義：一直線垂直于平面內的任意直線，則這條直線垂直于該平面

9、.用線面垂直判定定理：一直線與平面內的兩相交直線都垂直，則這條直線與平面垂直.用線面垂直性質：兩平行線之一垂直于平面，則另一條也必垂直于這個平面.(2)證明線線(或線面)垂直有時需多次運用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，實現線線垂 直與線面垂直的相互轉化.4舉一反三:4【變式1】 正方體ABCD AIBiCiDi ,求證：AiC 面BDC-【變式2】一個多面體的三視圖的直觀圖如下圖(1), (2)所示，其中M , N分別是AB , AC的中點，G是DF上的一個動點.求證：GN丄AC ;當FG=GD時，在 AD上確定一點 P,使GP/平面FMC .(1) 2)(1) 2)類型三：直線和平面所

10、成的角例 5 .如圖，三棱錐 A-SBC 中， BSC=90 , ASB= ASC=60 , SA=SB=SC . 求直線AS與平面SBC所成的角.【總結升華】求直線與平面所成的角的步驟：作角，即作出或找到斜線與它的射影所成的角；證角， 即證明所作的角即為所求；求角，求角或角的三角函數值其中作角是關鍵，而確定斜線在平面內的射影 是作角的突破口.舉一反三：【變式1】(1)正方體ABCD AiBiCiDi中，BBi與平面ACDi所成角的余弦值為(D.B.1D.(2)已知三棱錐 SABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面 ABC , SA=3 , 那么直線AB與平面SBC所成角的

11、正弦值為()CV類型四：直線和平面垂直的性質應用例6 .設a, b為異面直線，AB是它們的公垂線(與兩異面直線都垂直且相交的直線)(1)若a, b都平行于平面，求證：AB丄(2)若(2)若a, b分別垂直于平面，且 IC ,求證：AB / c.【總結升華】由第(2)問的證明可以看出，利用線面垂直的性質證明線與線的平行，其關鍵是構造平面， 使所證線皆與該平面垂直.如題中，通過作出輔助線BB /,構造出平面，即由相交直線b與BB /確定的平面，然后借助于題目中的其他垂直關系證明.舉一反三：【變式1【變式1】 設I , m是兩條不同的直線,是一個平面，則下列命題正確的是(A .若A .若I丄m, m

12、,貝U I丄B.若 I 丄，I / m,貝U mC .若 I /, m,貝 V I / m D .若 I /, m / ,貝 C .若 I /, m例 7 .如圖，在四棱錐 P-ABCD中, PA底面 ABCDABX AD, AC CD ABC=60, PA=AB=BC E是PC的中點.(1)證明：AEICD (2)證明：PDL平面 ABE【總結升華】直線與平面垂直的性質定理(以及補充性質)是線線、線面垂直以及線面、面面平行相互轉 化的橋梁，因此必須熟練掌握這些定理，并能靈活地運用它們.舉一反三：【變式1】如圖，已知矩形 ABCD ,過A作SA丄平面AC ,再過A作AE丄SB交 SB于E,過E

13、作EF丄SC交SC于F.求證：AF丄SC;若平面AEF交SD于G,求證：AG丄SD.M N分別是ABPC【變式2】如圖所示，已知 PA矩形ABCDM N分別是ABPC的中點.求證：MN/平面PAD求證：MN_ CD若 PDA=45 ,求證：MNL平面 PCD【總結升華】本題是涉及線面垂直、線面平行、線線垂直諸多知識點的一道綜合題.(1)的關鍵是選取PD的中點E,所作的輔助線使問題處理的方向明朗化.線線垂直線面垂直線線垂直.【鞏固練習】1 .下列表述正確的個數為()若直線a/平面 ，直線玄丄b,則b丄;若直線a 平面 , b,且 ab,貝U a;若直線a平行于平面內的兩條直線，則 a/;若直線a

14、垂直于平面內兩條直線，則a。A . 0B. 1C. 2D . 32.卜列說法中止確的是()過平面外一點有且僅有條直線和已知平面垂直；過直線外一點有且僅有一個平面與已知直線垂直；過平面外一點可作無數條直線與已知平面平行；過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直.A .B .C.D . TOC o 1-5 h z 對于平面和共面的直線 m, n下列命題中是真命題的為（）A .若 m, m丄 n,貝U n B .若 m , n ，貝U m nC .若m , n / ,則m / n D .若m, n與 所成角相等，則 m / n四面體 ABCD中，AD=BC ,且AD丄BC, E、F分別是 AB、CD

15、的中點，貝U EF與 BC所成的角為（）.點D是側面BBiCiCA . 30 B . 45 C . 點D是側面BBiCiC在三棱柱ABC AiBiCi中，各棱長相等，側棱垂直于底面, 的中心，貝U AD與平面BBiCiC所成角的大小是（）A . 30 B . 45C . 60 D . 906在正方體 ABCD AiBiCiDi中，若E是AiCi的中點，則直線 CE垂直于（）A . AC B . BDC . AiD D . AiDi7設三棱錐PABC的頂點P在平面ABC上的射影是H ,給出下列命題：若PA BC , PB AC ,貝U H是厶ABC的垂心；若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則 H是

16、厶ABC的垂心；若 ABC=90 , H 是 AC 的中點，貝U PA=PB=PC ;若PA=PB=PC ,貝U H是厶ABC的外心。則正確命題的序號有。8下圖，下列四個正方體中，I是正方體的一條體對角線，點 M、N、P分別為其所在棱的中點，則能得出I丄平面 MNP的圖形的序號是9.右圖是正方體平面展開圖，在這個正方體中：BM與 ED平行；CN與BE是異面直線;CN與BM成 60o角；DM與 BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號依次是 （寫出所有符合要求的圖形序號）。10.已知正四棱錐S ABCD側棱長為.2 ,底面邊長為.3 , E是SA的中點，則異面直線BE與SC所成角的大小為11.如右圖，ABCD ABCD堤正方體.（1）哪些棱所在的直線與直線BA 是異面直線？ （ 2）求BA 與CC夾角的度數.12.如右圖，等腰直角三角形ABC12.如右圖，等腰直角三角形ABC中，