1、主要內容第三節(jié) 不變因子行列式因子標準形的唯一性舉例不變因子 - 矩陣可逆的條件一、行列式因子在上一節(jié)，我們討論了 - 矩陣的標準形，其主要結論是：任何 - 矩陣都能化成標準形.但是矩陣的標準形是否唯一呢？答案是肯定的.為了證明唯一性，要引入矩陣的行列式因子的概念.1. 定義定義 5 設 - 矩陣 A() 的秩為 r ，對于正整數 k，1 k r ， A() 中必有非零的 k 級子式.A()中全部 k 級子式的首項系數為 1 的最大公因式Dk() 稱為 A() 的 k 級行列式因子.由定義可知，對于秩為 r 的 - 矩陣，行列式因子一共有 r 個.行列式因子的意義就在于，它在初等變換下是不變的

2、.2. 行列式因子的性質定理 3 等價的 - 矩陣具有相同的秩與相同的各級行列式因子.證明我們只要證明， - 矩陣經過一次初等行變換，秩與行列式因子是不變的.設 - 矩陣 A() 經過一次初等行變換變成 B() , f() 與 g() 分別是 A() 與 B() 的 k 級行列式因子.我們證明 f() = g() .下面分三種情形討論.1) A() 經初等行變換 (1) 變成 B() . 這時 B() 的每個 k 級子式或者等于 A() 的某個 k 級子式, 者與 A() 的某一個 k 級子式反號, 因此 f() 是B() 的 k 級子式的公因式，從而 f() | g() .2) A() 經初

3、等行變換 (2) 變成 B() . 這時 B() 的每個 k 級子式或者等于 A() 的某個 k 級子式, 者等于 A() 的某一個 k 級子的 c 倍 , 因此 f () 是B() 的 k 級子式的公因式，從而 f() | g() .或或3) A() 經初等行變換 (3) 變成 B() . 這時 B() 中那些包含 i 行與 j 行的 k 級子式和那些不包含i 行的 k 級子式都等于 A() 中對應的 k 級子式；B()中那些包含 i 行但不包含 j 行的 k 級子式，按 i 行分成兩部分，而等于 A() 的一個 k 級子式與另一個k 級子式的 () 倍的和，也就是 A() 的兩個 k級子式

4、的組合.因此 f () 是 B() 的 k 級子式的公因式，從而 f() | g() .對于列變換，可以完全一樣地討論.總之，如果 A() 經一次初等變換變成 B() ，那么f() | g() .但由于初等變換是可逆的， B() 也可以經一次初等變換變成 A() .由上面的討論，同樣應有g() | f() .于是 f() = g() .當 A() 的全部 k 級子式為零時，B() 的全部k 級子式也就為零；反之亦然.因此， A() 與 B() 既有相同的各級行列式因子，又有相同的秩.證畢二、標準形的唯一性1. 標準形的行列式因子設標準形為其中 d1() , d2() , , dr() 是首項系

5、數為 1 的多項式，且 di () | di+1 () ( i = 1, 2, , r-1 ) .不難證明,在這種形式的矩陣中，如果一個 k 級子式包含的行與列的標號不完全相同，那么這個 k 級子式一定為零.因此，為了計算 k 級行列式因子，只要看由i1 , i2 , , ik 行與 i1 , i2 , , ik 列 (1 i1i2ik r)組成的 k 級子式就行了，而這個k 級子式等于顯然，這種 k 級子式的最大公因式就是2. 標準形的唯一性定理 4 - 矩陣的標準形是唯一的.證明設 (1) 是 A() 的標準形.由于A() 與 (1) 等價，它們有相同的秩與相同的行列式因子，因此， A()

6、 的秩就是標準形的主對角線上非零元素的個數 r ;A() 的 k 級行列式因子就是于是(3)這說明 A() 的標準形 (1) 的主對角線上的元素是被A() 的行列式因子所唯一確定的，所以 A() 的標準形是唯一的.證畢三、不變因子1. 定義定義 6 標準形的主對角線上非零元素d1() , d2() , , dr()稱為 - 矩陣 A() 的不變因子.2. 性質定理 5 兩個 - 矩陣等價的充分必要條件是 它們有相同的行列式因子，或者，它們有相同的不變因子.證明給出了 - 矩陣的行列式因子與不變因子之間的關系.這個關系式說明行列式因子與不變因子是相互確定的.因此，說兩個矩陣有相同的各級行列式因子

7、，就等于說它們有相同的各級不變因子.必要性已由證明.充分性是很明顯的.因為若 - 矩陣A()與B() 有相同的不變因子，則 A() 與 B() 和同一個標準形等價，因而它們也等價.證畢四、 - 矩陣可逆的條件由可以看出，在 - 矩陣的行列式因子之間，有關系Dk () | Dk+1 () ( k = 1, 2, , r-1 ) . (4)在計算 - 矩陣的行列式因子時，常常是先計算最高級的行列式因子.這樣，由 (4) 我們就大致有了低級行列式因子的范圍了.作為一個例子，我們來看可逆矩陣的標準形.設 A() 為一個 n n 可逆矩陣，由知| A() | = d ,其中 d 是一非零常數.這就是說，

8、Dn () = 1 .于是由 (4) 可知， Dk () = 1 ( k = 1, 2, , n )，從而dk () = 1 ( k = 1, 2, , n ) .因此，可逆矩陣的標準形是單位矩陣 E .反過來 ,與單位矩陣等價的矩陣一定是可逆的，因為它的行列式是一個非零數.這就是說，矩陣可逆的充分必要條件是它與單位矩陣等價.設矩陣 A() 與 B() 等價，則由矩陣等價的充分必要條件知，存在一系列初等矩陣 P1, P2, , Pl,Q1, Q2, , Qt , 使A() = P1P2 Pl B() Q1Q2 Qt . 特別地，當 B() = E 時，就得到定理 6 矩陣 A() 是可逆的充分

9、必要條件是它可以表成一些初等矩陣的乘積.由此又得到矩陣等價的另一條件推論 兩個 s n 的 - 矩陣 A() 與 B() 等價的充分必要條件是，有一個 s s 可逆矩陣 P() 與 一個 n n 可逆矩陣 Q() , 使B() = P() A() Q() .五、 舉例例 試求下列矩陣的不變因子:本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返

10、回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回按鈕.本節(jié)內容已結束 !若想結束本堂課, 請單擊返回