1、基于初始值和背景值改進的GM( 1,1)模型優化與應用摘要:針對在現實生活中，經典G=( 1,1)模型預測精度不穩定，且以往的優化方法大部分具有片面性的缺點，文 章對經典GM( 1,1)模型背景值與初始值進行改進，提出了一種組合優化方法:根據動態尋優原則，將背景值設為變 量，其參數以及時間響應式由MRE取最小值時確定;同時,采用差分方程取代以f(1) ( 1)為固定點的靜態方程。將 初始值和背景值看作變量，以系統地減少模型誤差。結合國內石油年消費量數據，分別應用經典和改進后的 GM( 1，1)模型進行計算和誤差對比,驗證了改進后的模型精度要顯著優于經典模型。關鍵詞：灰色預測;GM( 1,1)模

2、型;差分方程;動態尋優Optimization and Application of GM( 1,1) Model Based onInitial Value and Background ValueAbstract: In real life, the prediction accuracy of classical GM( 1 ,1) model is unstable , and most of the previous optimization methods are one-sided. In this paper, the background and initial values

3、 of classical GM( 1 ,1) model are improved, and a combined optimization method is proposed. According to the principle of dynamic optimization, the background value is set as a variable, and its parameters and time response formula are determined by the minimum value of MRE. At the same time, the di

4、fference equation is used to replace the static equation with f() ( 1) as the fixed point. Initial and background values are taken as variables to systematically reduce model errors. Combining with the domestic annual oil consumption data, the classical GM( 1 ,1) model and the improved GM( 1，1 ) mod

5、el are used to calculate and compare the errors，which proves that the improved model is significantly better than the classical model in accuracy.Key words： grey prediction; GM( 1 ,1) model; difference equation; dynamic optimization0引言灰色預測是灰色系統理論的主要內容之一， GM( 1,1)模型作為灰色預測理論的核心和基 礎，在很多領域都得到了廣泛的應用。然而在

6、實際應用中，經典GM( 1,1)模型會出現預測精度 不穩定、甚至出現偏差的情況。由于經典 GM( 1,1)模型誤差來源主要集中于初始值的選取 以及背景值的構造，為此學者們從不同角度對 GM( 1,1)模型的改進進行了研究，并在初始值、背 景值方面取得了一定的成果。在初始值優化方面，考慮到新信息在建模中應 當發揮關鍵作用，羅佑新直接以f(0)()作為灰 色模型初始條件，雖然可以在一定程度上減少誤 差，但缺乏嚴格的理論依據；黨耀國分別以 f( 1 ()作為灰色模型初始條件，彌補了以往學者 研究的缺陷,但同樣沒有嚴格的理論證明；Wang等 針對白化方程為非齊次指數函數對模型初始值進 行優化，進而構造

7、新的背景值表達式減少模型誤 差，提高模型預測精度，優化方法適用范圍 較窄。在對背景值優化方面，經典模型對于背景值 5(8)( D)的構造并沒有嚴格的理論依據，故學者們 從不同角度對背景值進行改進，大致可分為從幾何 意義以及數列特征兩個方面進行優化。從積分的 幾何意義出發，蔣詩泉等利用分段低次插值，結 合復化梯形公式計算各區間積分之和，以減少因在 :D - 1，1 區間直接計算整個梯形面積造成的誤 差;而江藝羨則利用黎曼積分，以不規則梯形面 積取代傳統梯形面積構造法，對傳統GM( 1，1)模 型背景值進行優化。從序列數值特點出發，彭振斌 等囪將數據序列抽象為非齊次指數函數構造背景 值，構建GM(

8、 1，1)模型；Ck 則在原始序列間距不 一致情況下對背景值進行改進，以擴展經典模型的 適用性和精確性。此外，也有學者基于不同角度提 出了 5(1)( D)的數學表達式也在一定程度上 提高了預測精度。而在模型參數估計方面，孟偉 等回采用粒子群優化算法,Lee等皿采用遺傳算法 等對經典模型進行優化都取得了較好的預測效果。可以看出,在對背景值優化方面，現有研究主 要是對緊鄰均值構造方法進行改進，且均提出了一 定的改進方法，但大部分學者都是對模型某一方面 的優化，雖然可以在一定程度上提高精度，但不能 系統地減少模型誤差；同時在初始值選取方面，由 最小二乘法原理可知，擬合曲線并不一定通過點 (1 ,F

9、( 1 ( 1)雖然有部分學者提出改進方法分別 以F(1)()為固定點，但在模型涉及多變量的情況 下,這種方法的效果還有待檢驗。1經典GM( 1,1)模型誤差分析根據GM( 1, 1)模型基本形式F(0) ( D) + ,5( 1) ( D) = A的白化方程，即I(-) +1) (-) = A( 1)d-對式(1)在般-1 ,們上求積分可得f( )( D) + a I f( ) (-) d- = A ( 2)D-1可得5()(D)= If()(-)d-,D= 2,3,!,re( 3)D-1經典模型的背景值是梯形的面積，而其實際值 應該是曲線f( 1)(-)在區間D-1,D上與-軸圍成 的曲邊

10、梯形的面積I F( )( -) d-，如圖1所示，兩D-1個面積之差為經典模型背景值計算公式的誤差 來源。圖1 GM( 1,1)模型背景值誤差來源經典模型對背景值的計算公式為z( 1) ( D) =0. 5( f( 1) ( D) + f(1)( D -1) ,D =2,3,)當一次累加生成序列變化較為平緩，且當時間 間隔較小時，采取以上方法計算是合適的;但當一 階累加生成序列波動較大時，采取以上方法則會造 成較大的誤差。從數列生成特征來看，經典模型人 為地規定舊信息和新信息同等重要，這并不符合實 際。本文將背景值視為變量，即5( 1 ( D)= (皈(1)( D) + ( 1 - ) 5(

11、1) ( D -1)，由 MRE 取到最 小值時再確定背景值參數值以及時間響應式具體 形式，可以顯著降低人為因素造成的誤差，提高預 測精度。同時，在對背景值進行優化的基礎上,也對初 始值進行優化。灰色GM( 1,1)模型作為指數預測 模型，本質是以f(，1)為固定點的靜態方程。相 較于動態方程，靜態方程并不具有基準選值無關 性,步長無關性，內在一致性等特征,擬合效果通常 要比動態方程更差一些，應用范圍也沒有動態方程 廣闊。利用一階線性差分方程,用一個變動的 已知時刻去預測將來的未知時刻的值，對傳統數值 解法進行改進，可提高擬合精度。綜上，文章首先對經典GM( 1,1)模型的解法 進行改進，利用

12、一階線性差分方程對模型參數進行 求解;其次將模型初始值和背景值均設為變量，以 MRE最小原則、動態尋優方式確定對應的+、&以 及時間響應式，并利用改進后的模型結合中國國內 石油年消費量數據進行預測。2灰色GM( 1,1)模型的改進2. 1傳統GM( 1,1)模型定義1囪設非負原始序列X( 0) = ( F( 0)( 1) ,F( 0)( 2 ), 0)()稱_(1)為_(0)的一次累加生成(1-AGO)序列：_(8) = ( F( 8)( 1 ),)( 2)Df(1)( D)二! f() (.) ,D 二 1,2,，！，).=iGM( 1,1)模型的原始形式為 TOC o 1-5 h z f(

13、) ( D) + a%1) ( D)二 A( 4)定義2詢 X( () ,X()如定義1所示，令(1)(1)(1)(1)P ( 5 (匕) ,5 (刀,5 ( ) )其中,5( 1)( k) -y( %(叮 k) + %(1)( k-1) ,k =2,3,則GM( 1,1)模型的基本形式為%(0) ( D) + a5( 1) ( D)=b( 5)其白化方程為+ a%(1(-)=b( 6)定理117設參數列a = ( a,b) T，且b -5( 1) ( 2)-5( )( 3)11-%(0) ( 2)-%(0) (3)1,Y -5( 1)()1-%(0)()- TOC o 1-5 h z 則GM

14、( 1,1)模型(1)的最小二乘估計參數列滿足 a ( BtB) -1 BtY,GM( 1,1)模型(1)的時間響應序 列為F(1)(D) = (%(0) (1) -1 -b/a) e-a(D-1) + b/a,k =2,3,，,)( 7)其還原值為F( 0)( k) F( 1) ( k) - F( 1) ( k-1)( 8)%(0)( k) = ( %(0)( 1) - b/a) ( e-a(k-1) - e-a(k-2) ) ( 9) 其中 k =2,3 , ,)#從(9)式可以看出，GM( 1,1)模型的預測精度 取決于固定點的選取和參數a,b的值，而a,b的值 又取決于背景值的構造。將

15、初始值和背景值進行 組合優化可顯著提高模型精度#2. 2灰色G#( 1,1)模型的改進2. 2. 1 初步改進方法(1)對非負序列 _(0) - (%(0) ( 1) ,%(0) ( 2 ), %(0)()進行一次累加得到_(1，即k%(1) ( k) = ! %(0) (.) ,k = 1,2，).=1-%(1) (1)1 -%(1)( 2)-%(1) ( 2)1%(1)( 3) ,y .-%(1) ( ) - 1)1-%(1)()-(btb)其中,b-1 bty將a,b計算結果帶入(7)式，并根據(5)和(6) 式得到擬合序列。_ 1 - a/2_1 + a/2b-1 + _ 1 - a/

16、2_1 + a/2b-1 + a/2 -在方法(1)基礎上對模型的背景值進行改進, 使平均相對誤差取到最小值。其他條件不變，將 (10)式改寫為5( 1) (k)(履(k) + (1 -) %(1) (k -1) ,k =2,3,)權重滿足0#1 # 由 %(0) ( k) %(1) ( k) -%(1)(k -1) ,k =2,3，,)可得：( %(1) ( k) _%(1) ( k _ 1) + ( %(1) ( k) + (1 _ ) %( d ( k _ 1) 一 b其一階線性差分方程形式為:%(1)( k) a - a +1 %(M( k -1)b+ aa +1b+ aa +1( 1

17、2)則a,b可以由下式估計得到:-aa - a + 1 -(BtB) -1 btyaa + 1b- aa + 1-%()( 1)1 -r %(1)( 2)-%(1) (2)1%(1)( 3)其中,B ,y-.。-%(1) ( ) - 1)1 - %(1)()-設上式計算結果為(G ,&) T，解方程組可得:a = ( C1 - 1) /( a - aC1 - 1)( 13)b = ( - 6) / ( a - aC1 - 1)( 14)利用MRE表達式可估算a在區間0,1變化 時_(0)的擬合精度。對重復賦值,每次增加一個 大于零的微小量a,直到a =1。在實際運算中， 取a =0. 01時，

18、誤差值在小數點后四位左右才有 差異，故取a =0. 01可以滿足精度要求。GM( 1,1)模型的基本形式為0( k) + ,5( 1)( k)=b,其中，決 1) / k)一 0 =(疽 1)( k)4 疽 1) ( k _ 1 ) ) k _ 2 3 n (1 0)5( n.) U .J (%( n.)+ %( n. J. ),匕,lv (J. U)帶入(8GM( 1,1)模型的基本形式為0( k) + ,5( 1)( k)=b,其中，決 1) / k)一 0 =(疽 1)( k)4 疽 1) ( k _ 1 ) ) k _ 2 3 n (1 0)5( n.) U .J (%( n.)+ %

19、( n. J. ),匕,lv (J. U)帶入(8)式可得：(MRE),并找出擬合序列X(0)與真實序列間的平均相對誤差(MRE)最小時對應的d，以此確定最優的擬合方程進行預測。MRE計算公式如下:%(1) ( k)1 - a /2( 1):.%1 + a /2(k-1) +b1 + a/2MTI =(11)! ( D)k=2%(0) ( D) - (0) D)%(0)( D)則a,b可以由下式估計得到:2. 2. 3綜合改進方法(3)在方法(2)基礎上對模型的初始值進行改進,f(8) ( D + 1) = ( f(8) ( +) - b/a) e 項k_m + 1) + b/a 其中，+可依

20、次選用m =8，2 ,)#將(83)和 (84)帶入下式F(0) ( k) = F(8) ( k) -F(8) ( k - 1) ，k = 2,3 , ,)( 15)可得擬合序列_(0)：F(0) ( k) = ( f(8) ( m) +)C8 -8k - m8 - c8k - m - 88 - c8(e -!8-8 - e_-!8-8_)( 16)對重復賦值，每次增加一個大于零的微小 量直到=1 #根據不同m、a值分別計算平均 相對誤差(MRE)，并找出擬合序列_(0) )與真實序 列間的平均相對誤差(MRE)最小時對應的和 m,以此確定最優的擬合方程進行預測。MRE計算公式如下:8 )8M

21、RE=!出 k) = I)-8 名)-1F( 0)( kF( 0)( k) -F(0) k)-f(0) ( k) - ( f(8) ( m)MRE I)-1!8 -8F( 0)k - m8 - c8)(e - !8-8k - m -88 - c8-e - *8-8)(k)8 0537=3450. 8 0537=3450. 6913F( 8)擬合8 0537=3450. 6913a =0. 0537/( -1. 0537-1)b = -340. 6913( -1. 0537-1)不妨可先設=0,然后令其在區間0,1變化且 =0. 01,利用matlab可得到MRE隨變化圖2。圖2方法(2)條件下

22、MRE隨a變化圖3算例我國目前是世界第一大石油進口和消費國。 由于我國目前處于工業化階段的中后期,能耗較大 的汽車、家電等產品在經濟中比重較高；同時，隨著 我國經濟水平的快速發展，國內對于石油需求大幅 提升，石油消費持續較快增長。然而，我國國內石 油產量當前還滿足不了巨大需求，使得在面臨國內 外市場供需失衡、市場供給不足時,難以短時間內 保障油品供應,不斷增長的需求只能通過加大進口 來彌補。石油作為我國重要的能源,不僅為生活和 生產提供強力的支撐，也關系到社會的安全與穩 定。對我國石油年消費量進行預測,不僅有利于維 持國內石油供需平衡，也可以為國家重大政策的制 定提供依據。從國家統計局網站獲取

23、20062017年中國國 內石油年消費量，以20062015年數據為定參序 列數據,20162017年數據為模擬序列預測對比 數據，即系0) = ( 322,346,364,388,438,453,476,488,518,543)20162017年數據分別為578,590(單位:百 萬噸)。首先用未加改進的GM( 1,1)模型進行計算。 對原始序列進行一階累加，可得_(8) = ( 322,668,1032,1420,1858 , 2311,2787,3275,3793,4336)帶入,=(BtB ) 8 BtY 可得 a = -0. 055 ,b = 326. 9622，帶入時間響應式F(8

24、) ( k) = ( f(0) ( 1) - b/a) e-a(8) + b/a,k = 2,3,)F(8)( k) =6264. 959e0055(8)-5942. 96,k = 2,3根據(8)式可得擬合序列并計算MRE應用初步改進方法(8)進行計算，將原始數據 帶入可得_ 1 - a/2 -1 + a/2b-1 + a/2 -解方程組可得 a = - 0. 0523, b = 331. 784,(k) =6667.4635e00523(k-8) -6345.4635,k = 2,3,no 根據(8)式可得擬合序列并計算MRE 數據和預測數據見表8。將原始數據帶入方法(2)中，_ aa -

25、 a + 1 aa + 1b-aa + 1可得(87)(88)當=0.52時MRE取到最小值，將=0.52 帶入到(17)和(18)式可得 a = -0. 052, A =331.44, F(8)( D =6667.4635e52(D-1) -6345. 4635,D =2,3,根據(8)式可得擬合序列并計算MRE#經典 模型、改進方法(1)和方法(2)擬合數據和預測數 據見表1。表1中國國內石油年消費量預測(百萬噸)未改進模型改進方法(1)改進方法(2)序號 年份 實際數據擬合數據相對誤差擬合數據相對誤差擬合數據相對誤差12006322-22007346354 340 03357 900 0

26、4357.510 0332008364374 380 03377. 110 04376.680 0342009388395 550 02397 350 02396.880 0252010438417 920 05418 680 05418 160 0562011453441 560 03441 150 03440.580 0372012476466 530 02464 830 02464.210 0282013488492 920 01489 780 01489.100 0192014518520 800 01516 070 01515.320 01102015543550 250 02543

27、 780 01542.960 01預測數據相對誤差預測數據相對誤差預測數據相對誤差112016578581 370 01572 960 01572.070 01122017590614 260 04603 720 02602.740 02擬合平均相對誤差-0 032-0 025-0 023預測平均相對誤差-0 034-0 021-0 015平均相對誤差-0 033-0 023-0 019圖3 MRE隨+和變化圖在計算方法(2)的基礎上，將原始數據帶入綜 合改進方法(3)中，-a a + 1 -a + 1_ 1. 0537 -A= 340.6913.-a + 1-將(C ,!2) T帶入MRE表

28、達式中。不妨可先設 =0,然后令其在區間0,1變化且=0. 01,同 時令+依次取1,2 ,),利用matlab可得到MRE 隨+和變化的圖3。根據MRE最小原則可得D =0. 7、+ =3 ,將最 優值帶入 F1) ( D + 1) = ( F1) ( +) - b/a) 0 a( D + + 1) + b/a,F(。( D + 1) =7377. 4625e0 052(D2) 6345. 4635,D =2, 3,，)。再根據(8)式可得擬合序列并計算MRE。未 改進模型與改進方法(3)擬合數據與相對誤差、平 均相對誤差見表2。從表2可以看出,綜合改進模型無論是模擬精 度還是預測精度均高于

29、未加優化的模型以及僅對 初始值或者背景值進行優化的模型。其中,預測精 度的提升尤其顯著，經典模型誤差為0. 033，而改 進后模型僅為0. 016,改進后的模型取得了良好的 預測效果。當當=0. 7時MRE取得最小值,這與背景值通 常按照數值積分的梯形公式構造,即5(8)( D =0. 5 (f( 8)( D) + f( 8)( D - 1) ) ,k = 2不同，說明 背景值由累加數列緊鄰均值生成存在較大誤差，通 過自動尋優方法確定最優權重可使得5( 8) ( k)的 構造更加合理。同時，當+ = 3時MRE取得最小值。在以往 的研究中，有些學者直接令F(8)( +) = F(8)(),然 表2而通過本例的計算，當+ = 80和+ = 8時，以 F(8) ()為固定點的平均誤差甚至高于以F8) (8) 為固定點時的誤差。綜合來看，無論是以F(8)( 8) 為固定點,還是以F(8)()為固定點都缺乏嚴格的 理論依據，文章提出的方法可較好處理這一問題。將三種改進方法和經典模型進行綜合比較，可 得到表3、圖4:序號年份實際數據未改進模型改進方法(3)擬合數據相對誤差擬合數據相對誤差82006322-22007346354. 340. 03347. 970.