1、2022-2022 年人教 B 版數學選修2-1 講義：第 1 章+1.1+1.1.2+量詞及答案學 習 目 標1.1.2量詞核 心 素 養1.懂得全稱量詞與存在量詞的含義重 點 2懂得并把握全稱命題和存在性命題的 概念重點 3.能判定全稱命題和存在性命題的真假并把握其判定方法難點、易混點 1全稱量詞與全稱命題1.通過學習全稱命題和存在性命題的有 關概念,培育同學的數學抽象素養2通過對兩類命題真假判定及利用命題 的真假性求參數值 范疇,提升同學的邏 輯推理、數學運算素養 .全稱量詞“ 全部” “ 對任意一個” “ 對一切” “ 對每一個” “ 任給”符號表示 .全稱命題 含有全稱量詞的命題形式

2、“ 對 M 中的全部 x,px” ,可簡記為“. xM,px”2.存在量詞與存在性命題存在量詞“ 有一個” “ 有些” “ 至少有一個”. xM,qx”符號表示.存在性命題含有存在量詞的命題形式“ 存在集合 M 中的元素 x,qx” ,可簡記為“摸索 ：全稱命題與存在性命題有什么區分？ 提示1全稱命題中的全稱量詞說明給定范疇內全部對象都具有某一性質,無一例外 ,強調 “ 整體、全部 ” 2存在性命題中的存在量詞就說明給定范疇內的對象有例外,強調 “ 個別 、部分” - 1 - / 9 2022-2022 年人教 B 版數學選修2-1 講義：第 1 章+1.1+1.1.2+量詞及答案1以下不是全

3、稱量詞的是 A任意一個 B全部的C每一個 D許多D 很明顯 A,B,C 中的量詞均是全稱量詞 ,D 中的量詞不是全稱量詞 2以下命題為存在性命題的是 A偶函數的圖象關于 y軸對稱B正四棱柱都是平行六面體C不相交的兩條直線是平行直線D存在實數大于或等于 3 答案 D 3存在性命題“. xR,|x|20” 是 _命題 填“ 真” 或“ 假 假 由于 |x|0, 所以|x|2 2,故不存在 xR, 使|x|20. 4用量詞符號表述以下全稱命題：1任意一個實數乘以 1 都等于它的相反數；2對任意實數 x,都有 x 3x 2；3對任意角 ,都有 sin 2cos 21. 解 1. xR,x1 x.2.

4、xR, x 3x 2.3. | 是任意角 ,sin 2cos 21. 全稱命題與存在性命題的判定【例 1】判定以下命題是全稱命題仍是存在性命題1有一個實數 ,tan 無意義；2任何一條直線都有斜率；3全部圓的圓心到其切線的距離都等于半徑；4圓內接四邊形的對角互補；5指數函數都是單調函數；- 2 - / 9 2022-2022 年人教 B 版數學選修2-1 講義：第 1 章+1.1+1.1.2+量詞及答案6 ABC 的內角中有小于 60的角 思路探究 先判定量詞類型 ,再判定命題類型 解 1含有存在量詞 “ 有一個 ” ,是存在性命題 2含有全稱量詞 “ 任何一條 ” , 是全稱命題 3含有全稱

5、量詞 ,所以該命題是全稱命題 4“ 圓內接四邊形的對角互補” 的實質是 “ 全部的圓內接四邊形 ,其對角都互補” , 所以該命題是全稱命題 5其實是指 “ 全部的指數函數都是單調函數 命題是全稱命題 ” 中省略了 “ 全部的 ” , 所以該6命題可以改寫為 “ ABC 的內角中有一個角小于 60” , 因此是存在性命題判定一個語句是全稱命題仍是存在性命題可分三個步驟：1 第一判定語句是否為命題,如不是命題,就當然不是全稱命題或存在性命題.2 如是命題,再分析命題中所含的量詞,含有全稱量詞的命題是全稱命題,含有存在量詞的命題是存在性命題 .3 當命題中不含量詞時,要留意懂得命題含義的實質 . 1

6、判定以下語句是全稱命題仍是存在性命題：1凸多邊形的外角和等于 360；2有的向量方向不定；3對任意角 ,都有 sin 2cos 21；4有一個函數,既是奇函數又是偶函數 解1可以改寫為 “ 全部的凸多邊形的外角和都等于360 ” , 故為全稱命題- 3 - / 9 2022-2022 年人教 B 版數學選修2-1 講義：第 1 章+1.1+1.1.2+量詞及答案2含有存在量詞 “ 有的 ” , 故是存在性命題 3含有全稱量詞 “ 任意 ” , 故是全稱命題 4含有存在量詞 “ 有一個 ” , 故為存在性命題 全稱命題與存在性命題的真假判 斷【例 2】判定以下命題的真假：1在平面直角坐標系中,任

7、意有序實數對x,y都對應一點 P；2存在一個函數,既是偶函數又是奇函數；3每一條線段的長度都能用正有理數來表示；4存在一個實數 x,使得等式 x 2x80 成立；5. xR,x 23x20；6. xR,x 23x20. 思路探究 結合全稱命題與存在性命題的含義及相關數學學問判定 解 1真命題 2真命題 ,如函數 fx0,既是偶函數又是奇函數 3假命題 ,如邊長為 1 的正方形 ,其對角線的長度為 2,就不能用正有理數表示4假命題 ,方程 x 2x80 的判別式 310 即可求出實數 a 的取值范疇 此題也可分別參數 a 求解 解 法一： 由于 fx對應拋物線開口向上 ,且在 y 軸上截 距為

8、2,就滿意要求時函數的大致圖象如圖即實數 a 的取值范疇是 1,法二 ：要使 . x1,fx0 恒成立 , 只要使 fxmin0 即可 2 2 fx xa 2a 42,當a 21,即 a2 時,fxminf11a2a1.由 a10,得 a1.當a 21,即 a2 時,- 6 - / 9 2022-2022 年人教 B 版數學選修2-1 講義：第 1 章+1.1+1.1.2+量詞及答案2 fxminf a 2a 420 無解 綜上 ,實數 a 的取值范疇是 1,法三 ：對于 . x1 有 fx0 恒成立等價于對于 . x1,x 2ax20,即 ax2 x恒成立 ,設 gx x2 x,即轉化為 a

9、gxmax.我們可利用單調性定義判定g1 121,a1.gx x2 x在 1,上是減函數 ,gxmax綜上 ,實數 a 的取值范疇是 1,1變換條件 如將本例中的“x 1” 改為“x 1” ,其他條件不變,求實數 a 的取值范疇 解結合本例圖象可知a 2 1,f 1 a10,解得 a 1.即實數 a 的取值范疇是 , 12變換條件 如將本例中的“fxx 2 ax 2” 改為“fxax 2x2” ,其他條件不變,求實數 a 的取值范疇 解 1當 a0 時,不滿意對一切 x1 都有 fx0,2當 a0 時,要使 . x1, fx0 恒成立 ,須1 2a1,解得 a1.f 1 a10,- 7 - /

10、 9 2022-2022 年人教 B 版數學選修2-1 講義：第 1 章+1.1+1.1.2+量詞及答案即實數 a 的取值范疇是 1,1 含參數的全稱命題為真時,常轉化為不等式的恒成立問題來處理,最終通過構造函數轉化為求函數的最值問題 .2 含參數的存在性命題為真時,常轉化為方程或不等式有解問題來處理,最終借助根的判別式或函數等相關學問獲得解決 . 1摸索辨析1在全稱命題和存在性命題中,量詞可以省略 2“ 對任意 xR,x 220” 是全稱命題 3“ . x0N,4x03” 是存在性命題 提示 1在存在性命題中 ,量詞不行以省略； 在有些全稱命題中 ,量詞可以省略 23 2以下四個命題既是存在性命題又是真命題的是A銳角三角形的內角是銳角或鈍角B至少有一個實數 x,使 x 20 C兩個無理數的和必是無理數D存在一個負數 x,使1 x2 B A 中銳角三角形的內角都是銳角,所以是假命題； B 中 x0 時,x 20,所以 B 既是存在性命題又是真命題；C 中由于 330,所以 C 是假命題；D 中對于任一個負數 x,都有1 x0 恒成立 ,故是真命題；B 中命題是全稱命題 ,當 x1 時,x1 20,故是假命題；C 中命題是存在性命題 ,當 x1 時,lg x0,故是真命題；D 中命題是存在性命