1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置3請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

2、要求的。1某校在高一年級進行了數學競賽（總分100分），下表為高一一班40名同學的數學競賽成績：555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學生的數學競賽成績，運行相應的程序，輸出，的值，則（ ）A6B8C10D122已知底面為邊長為的正方形，側棱長為的直四棱柱中，是上底面上的動點.給出以下四個結論中，正確的個數是（ ）與點距離為的點形成一條曲線，則該曲線的長度是；若面，則與面所成角的正切值取值范圍是；若，則在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最

3、大值為.ABCD3已知等差數列中，則（）A10B16C20D244設分別是雙線的左、右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點（位于軸右側），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）ABCD5若（），則（ ）A0或2B0C1或2D16在中，點滿足，則等于（ ）A10B9C8D77用數學歸納法證明1+2+3+n2=n4Ak2+1Ck2+18若函數，在區間上任取三個實數，均存在以，為邊長的三角形，則實數的取值范圍是（ ）ABCD9已知復數z=2i1-i，則A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限10已知函數在上有兩個零點，則的取值范圍是（ ）ABCD11若復數，其中為

4、虛數單位，則下列結論正確的是（ ）A的虛部為BC的共軛復數為D為純虛數12若的二項式展開式中二項式系數的和為32，則正整數的值為（ ）A7B6C5D4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13以，為圓心的兩圓均過，與軸正半軸分別交于，且滿足，則點的軌跡方程為_14某校名學生參加軍事冬令營活動，活動期間各自扮演一名角色進行分組游戲，角色按級別從小到大共種，分別為士兵、排長、連長、營長、團長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式，可以人一組或者人一組.如果人一組，則必須角色相同；如果人一組，則人角色相同或者人為級別連續的個不同角色.已知這名學生扮演的角色有名士兵和名司令，其余角色各

5、人，現在新加入名學生，將這名學生分成組進行游戲，則新加入的學生可以扮演的角色的種數為_.15如圖,在梯形中，分別是的中點，若，則的值為_.16在三棱錐中，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當三棱錐的體積最大值為時，三棱錐的外接球的表面積為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分） 選修4 5：不等式選講 已知都是正實數，且，求證: 18（12分）某芯片公司為制定下一年的研發投入計劃，需了解年研發資金投入量x（單位：億元）對年銷售額y（單位：億元）的影響.該公司對歷史數據進行對比分析，建立了兩個函數模型:y=+x2，y=ex+t，其中現該公司收集了近12

6、年的年研發資金投入量xi和年銷售額yi的數據，i=1,2,12，并對這些數據作了初步處理，得到了右側的散點圖及一些統計量的值令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814（1）設ui和yi的相關系數為r1，xi和（2）（i）根據（1）的選擇及表中數據，建立y關于x的回歸方程（系數精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額y需達到90億元，預測下一年的研發資金投入量x是多少億元？ 附：相關系數r=i=1n(xi-x 參考數據：308=477，909.4868，e19（12分）以直角坐標系的原點為極坐標系的極點，軸的正半軸為極軸

7、已知曲線的極坐標方程為，是上一動點，點的軌跡為（1）求曲線的極坐標方程，并化為直角坐標方程；（2）若點，直線的參數方程（為參數），直線與曲線的交點為，當取最小值時，求直線的普通方程20（12分）已知數列滿足,，數列滿足.（）求證數列是等比數列；（）求數列的前項和.21（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是中點，且，.求證：平面；求點到平面的距離.22（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，以橢圓C左頂點T為圓心作圓，設圓T與橢圓C交于點M與點N.（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值，并求此時圓T的方程；（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸

8、交于點R，S，O為坐標原點，求證：為定值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】根據程序框圖判斷出的意義，由此求得的值，進而求得的值.【詳解】由題意可得的取值為成績大于等于90的人數，的取值為成績大于等于60且小于90的人數，故，所以.故選：D【點睛】本小題考查利用程序框圖計算統計量等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力和數學應用意識.2C【解析】與點距離為的點形成以為圓心，半徑為的圓弧，利用弧長公式，可得結論；當在（或時，與面所成角（或的正切值為最小，當在時，與面所成角的正切值為最大，可得正切值取值范圍是

9、；設，則，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影長，即可求出六個面上的正投影長度之和【詳解】如圖：錯誤， 因為 ，與點距離為的點形成以為圓心，半徑為的圓弧，長度為； 正確，因為面面，所以點必須在面對角線上運動，當在（或）時，與面所成角（或）的正切值為最小（為下底面面對角線的交點），當在時，與面所成角的正切值為最大，所以正切值取值范圍是；正確，設，則，即，在前后、左右、上下面上的正投影長分別為，所以六個面上的正投影長度之，當且僅當在時取等號.故選：.【點睛】本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點，綜合性強，屬于難題3C【解析】根據等差數列性質得到，再計算得到答案.【詳

10、解】已知等差數列中，故答案選C【點睛】本題考查了等差數列的性質，是數列的?？碱}型.4B【解析】由于四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.【詳解】如圖，因為四邊形為菱形，所以為等邊三角形，兩漸近線的斜率分別為和.故選：B【點睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數形結合的思想，屬于基礎題.5A【解析】利用復數的模的運算列方程，解方程求得的值.【詳解】由于（），所以，解得或.故選：A【點睛】本小題主要考查復數模的運算，屬于基礎題.6D【解析】利用已知條件，表示出向量 ,然后求解向量的數量積【詳解】在中，點滿足，可得 則=【點睛】本題考查了向量的數量積運算，關

11、鍵是利用基向量表示所求向量7C【解析】首先分析題目求用數學歸納法證明1+1+3+n1=n4【詳解】當n=k時，等式左端=1+1+k1，當n=k+1時，等式左端=1+1+k1+k1+1+k1+1+（k+1）1，增加了項（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+（k+1）1故選：C【點睛】本題主要考查數學歸納法，屬于中檔題./8D【解析】利用導數求得在區間上的最大值和最小，根據三角形兩邊的和大于第三邊列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域為，所以在上遞減，在上遞增，在處取得極小值也即是最小值，所以在區間上的最大值為.要使在區間上任取三個實數，均存在以，為邊長的三角形，則需恒成立，且，也即，

12、也即當、時，成立，即，且，解得.所以的取值范圍是.故選：D【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的最值，考查恒成立問題的求解，屬于中檔題.9C【解析】分析：根據復數的運算，求得復數z，再利用復數的表示，即可得到復數對應的點，得到答案詳解：由題意，復數z=2i1-i所以復數z在復平面內對應的點的坐標為(-1,-1)，位于復平面內的第三象限，故選C點睛：本題主要考查了復數的四則運算及復數的表示，其中根據復數的四則運算求解復數z是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力10C【解析】對函數求導，對a分類討論，分別求得函數的單調性及極值，結合端點處的函數值進行判斷求解.【詳解】 ，.當時，在上單調遞增，不

13、合題意.當時，在上單調遞減，也不合題意.當時，則時，在上單調遞減，時，在上單調遞增，又，所以在上有兩個零點，只需即可，解得.綜上，的取值范圍是.故選C.【點睛】本題考查了利用導數解決函數零點的問題，考查了函數的單調性及極值問題，屬于中檔題11D【解析】將復數整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結果.【詳解】的虛部為，錯誤；，錯誤；，錯誤；，為純虛數，正確本題正確選項：【點睛】本題考查復數的模長、實部與虛部、共軛復數、復數的分類的知識，屬于基礎題.12C【解析】由二項式系數性質，的展開式中所有二項式系數和為計算【詳解】的二項展開式中二項式系數和為，故選：C【點睛】本題考查二項式系數的性質，掌握

14、二項式系數性質是解題關鍵二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】根據圓的性質可知在線段的垂直平分線上，由此得到，同理可得，由對數運算法則可知，從而化簡得到，由此確定軌跡方程.【詳解】，和的中點坐標為，且在線段的垂直平分線上，即，同理可得：，點的軌跡方程為故答案為：【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解問題，關鍵是能夠利用圓的性質和對數運算法則構造出滿足的方程，由此得到結果.14【解析】對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論，分析各種情況下個學生所扮演的角色的分組，綜合可得出結論.【詳解】依題意，名學生分成組，則一定是個人組和個人組.若新加入的學生是士兵，則可以將這個人分組如下；

15、名士兵；士兵、排長、連長各名；營長、團長、旅長各名；師長、軍長、司令各名；名司令.所以新加入的學生可以是士兵，由對稱性可知也可以是司令；若新加入的學生是排長，則可以將這個人分組如下：名士兵；連長、營長、團長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令；名排長.所以新加入的學生可以是排長，由對稱性可知也可以是軍長；若新加入的學生是連長，則可以將這個人分組如下：名士兵；士兵、排長、連長各名；連長、營長、團長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令.所以新加入的學生可以是連長，由對稱性可知也可以是師長；若新加入的學生是營長，則可以將這個人分組如下：名士兵；排長、連長、營長各名；營長、團長、旅長各名；師長、軍長、司令

16、各名；名司令.所以新加入的學生可以是營長，由對稱性可知也可以是旅長；若新加入的學生是團長，則可以將這個人分組如下：名士兵；排長、連長、營長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令；名團長.所以新加入的學生可以是團長.綜上所述，新加入學生可以扮演種角色.故答案為：.【點睛】本題考查分類計數原理的應用，解答的關鍵就是對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論，屬于中等題.15【解析】建系，設設，由可得，進一步得到的坐標，再利用數量積的坐標運算即可得到答案.【詳解】以A為坐標原點，AD為x軸建立如圖所示的直角坐標系，設，則，所以，由，得，即，又，所以，故,所以.故答案為：2【點睛】本題考查利用坐標法求向量的數

17、量積，考查學生的運算求解能力，是一道中檔題.16【解析】根據題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設出的長,即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據球的幾何性質,利用球心距,半徑,底面半徑之間的關系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示：過點作面,垂足為,過點作交于點,連接.則為二面角的平面角的補角,即有.易證面,而三角形為等邊三角形, 為的中點.設, .故三棱錐的體積為當且僅當時,即.三點共線.設三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過點作于,四邊形為矩形.則,在中,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：【點睛】本

18、題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運用,基本不等式的應用,以及球的幾何性質的應用,意在考查學生的直觀想象能力,數學運算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17見解析【解析】試題分析：把不等式的左邊寫成形式，利用柯西不等式即證試題解析：證明：，又，考點：柯西不等式18（1）模型y=ex+t的擬合程度更好；（2）（i）v=0.02x+3.84【解析】（1）由相關系數求出兩個系數，比較大小可得；（2）（i）先建立U額R0關于x的線性回歸方程，從而得出y（ii）把y=90代入（i）中的回歸方程可得x值【詳解】本小題主要考查回歸

19、分析等基礎知識,考查數據處理能力、運算求解能力、抽象概括能力及應用意識,考查統計與概率思想、分類與整合思想,考查數學抽象、數學運算、數學建模、數據分析等核心素養,體現基礎性、綜合性與應用性解：（1）r1r2則r1r（2）（i）先建立U額R0由y=ex+t，得lny=t+x由于=i=1t=所以U額R0關于x所以lny=0.02x+3.84（ii）下一年銷售額y需達到90億元，即y=90，代入y=e0.02x+3.84又e4.499890，所以所以x4.4998-3.84所以預測下一年的研發資金投入量約是32.99億元【點睛】本小題主要考查拋物線的定義、拋物線的標準方程、直線與拋物線的位置關系、導

20、數幾何意義等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想等，考查數學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養，體現基礎性、綜合性與應用性19（1），；（2）.【解析】（1）設點極坐標分別為,，由可得,整理即可得到極坐標方程,進而求得直角坐標方程；（2）設點對應的參數分別為，則，將直線的參數方程代入的直角坐標方程中,再利用韋達定理可得，則，求得取最小值時符合的條件,進而求得直線的普通方程.【詳解】（1）設點極坐標分別為，因為,則，所以曲線的極坐標方程為，兩邊同乘,得，所以的直角坐標方程為,即.（2）設點對應的參數分別為，則,，將直線的參數方程（參數），代入的直角坐標方程中，整理得.由韋達定理得，所以，當且僅當時，等號成立，則，所以當取得最小值時，直線的普通方程為.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標方程的轉化,考查利用直線的參數方程研究直線與圓的位置關系20（）見證明；（）【解析】（）利用等比數列的定義結合得出數列是等比數列（）數列是“等比-等差”的類型，利用分組求