1、概率論與數理統計復習大綱第一章 隨機事件與概率基本概念隨機試驗E-指試驗可在相同條件下重復進行，試驗的結果具有多種可能性（每次試驗有且僅有一個結果出現，且事先知道試驗可能出現的一切結果，但不能預知每次試驗的確切結果。樣本點w -隨機試驗E的每一個可能出現的結果樣本空間W-隨機試驗E的樣本點的全體隨機事件-由樣本空間中的若干個樣本點組成的集合，即隨機事件是樣本空間的一個子集。必然事件-每次試驗中必定發生的事件。 不可能事件-每次試驗中一定不發生的事件。事件之間的關系包含AB相等A=B對立事件，也稱A的逆事件互斥事件AB=也稱不相容事件A，B相互獨立 P(AB)=P(A)P(B)例1事件A，B互為

2、對立事件等價于（D）A、A，B互不相容 B、A，B相互獨立 C、AB D、A，B構成對樣本空間的一個剖分例2設P(A)=0，B為任一事件，則（ C ）A、A= B、AB C、A與B相互獨立 D、A與B互不相容事件之間的運算事件的交AB或AB例1設事件A、B滿足A eq o(B,) =，由此推導不出 (D)A、AB B、 eq o(A,) eq o(B,) C、AB=B D、AB=B例2若事件B與A滿足 B A=B，則一定有 (B)A、A= B、AB= C、A eq o(B,) = D、B= eq o(A,) 事件的并AB事件的差A-B 注意： A-B = A eq o(sdo1(B),sup1

3、() = A-AB = (AB)-BA1,A2,An構成W的一個完備事件組(或分斥)指A1,A2,An兩兩互不相容，且 eq o(sup1(),sdo4(i=1),sup10(n)Ai=W運算法則交換律AB=BA AB=BA結合律(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)對偶律 eq o(sdo1(AB),sup1() = eq o(sdo1(A),sup1() eq o(sdo1(B),sup1() eq o(sdo1(AB),sup1() = eq o(sdo1(A),sup1() eq o(sdo1(B),sup1()

4、文氏圖 事件與集合論的對應關系表記號概率論集合論W樣本空間，必然事件全集不可能事件空集w基本事件元素A事件全集中的一個子集 eq o(sdo1(A),sup1()A的對立事件A的補集AB事件A發生導致事件B發生A是B的子集A=B事件A與事件B相等A與B相等AB事件A與事件B至少有一個發生A與B的并集AB事件A與事件B同時發生A與B的交集A-B事件A發生但事件B不發生A與B的差集AB=事件A與事件B互不相容（互斥）A與B沒有相同的元素古典概型古典概型的前提是W=w1, w2, w3, wn, n為有限正整數，且每個樣本點wi出現的可能性相等。例1設3個球任意投到四個杯中去，問杯中球的個數最多為1

5、個的事件A1，最多為2個的事件A2的概率。解：每個球有4種放入法，3個球共有43種放入法，所以|W|=43=64。(1)當杯中球的個數最多為1個時，相當于四個杯中取3個杯子，每個杯子恰有一個球，所以|A1|= C eq o(sdo3(4),sup5(3)3！=24；則P(A1)=24/64 =3/8. (2) 當杯中球的個數最多為2個時，相當于四個杯中有1個杯子恰有2個球(C eq o(sdo3(4),sup5(1)C eq o(sdo3(3),sup5(2)，另有一個杯子恰有1個球(C eq o(sdo3(3),sup5(1)C eq o(sdo3(1),sup5(1)，所以|A2|= C

6、eq o(sdo3(4),sup5(1)C eq o(sdo3(3),sup5(2)C eq o(sdo3(3),sup5(1)C eq o(sdo3(1),sup5(1)=36；則P(A2)=36/64 =9/16 例2從1,2,9，這九個數中任取三個數，求：(1)三數之和為10的概率p1；(2)三數之積為21的倍數的概率p2。解：p1= eq f(4, C eq o(sdo3(9),sup5(3) = eq f(1,21) , p2= eq f(C eq o(sdo3(3),sup5(1)C eq o(sdo3(5),sup5(1)+C eq o(sdo3(3),sup5(2), C eq

7、 o(sdo3(9),sup5(3) = eq f(3,14) P(A)= eq f(A包含樣本總個數,樣本點總數) = eq f(|A|,|W|) 幾何概型前提是如果在某一區域W任取一點，而所取的點落在W中任意兩個度量相等的子區域的可能性是一樣的。若AW，則P(A)= eq f(A的度量,W的度量)例1把長度為a的棒任意折成三段，求它們可以構成一個三角形的概率。解：設折得的三段長度分別為x,y和a-x-y，那么，樣本空間，S=(x,y)|0 xa,0ya,0a-x-ya。而隨機事件A：”三段構成三角形”相應的區域G eq blc(aal(a-x-yx+y,xa-x-y+y,ya-x-y+x)

8、 解得 0 x eq f(a,2) , 0y eq f(a,2) , eq f(a,2)x+ya 。即G=(x,y)| 0 x eq f(a,2) , 0y eq f(a,2) , eq f(a,2)x+y0) P(A|B)表示事件B發生的條件下，事件A發生的概率。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)0, P(B)0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)0)全概率公式：P(B)= eq isu(i=1,n, )P(B|Ai)P(Ai) 其中A1,A2,An構成W的一個分斥。貝葉斯公式：P(Ak|B)= eq f

9、(P(B|Ak)P(Ak),P(B) = eq f(P(B|Ak)P(Ak), eq isu(i=1,n, )P(B|Ai)P(Ai)應用題例1設兩兩相互獨立的三個事件A, B和C滿足條件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)0，則事件A與B獨立 P(B|A)=P(B)2. 事件A與事件B獨立事件A與事件 eq o(sdo1(B),sup1()獨立事件 eq o(sdo1(A),sup1()與事件B獨立事件 eq o(sdo1(A),sup1()與事件 eq o(sdo1(B),sup1()獨立事件A1,A2,An相互獨立-指任意k個事件Ai1,Ai2,Aik滿足P(Ai1Ai2Aik)=P

10、( Ai1)P(Ai2)P(Aik)，其中k=2,3,n。可靠性元件的可靠性P(A)=r系統的可靠性： 串聯方式 P(A1A2An)=rn并聯方式 P(A1A2An)=1-(1-r)n , 貝努里概型指在相同條件下進行n次試驗；每次試驗的結果有且僅有兩種A與 eq o(sdo1(A),sup1()；各次試驗是相互獨立；每次試驗的結果發生的概率相同P(A)=p, P( eq o(sdo1(A),sup1()=1-p。二項概率-在n重獨立試驗中，事件A恰好發生k次的概率為b(k;n,p)，則b(k;n,p)= C eq o(sdo3(n),sup5(k)pk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,

11、n)。第二章 隨機變量與概率分布隨機變量的分布函數分布函數定義：F(x)=Pxx, -x+分布函數(x)實質上表示隨機事件Pxx發生的概率。分布函數F(x)的性質 (1)0F(x)1;(2) eq o(sup4(lim),sdo4(x-) F(x)=0, eq o(sup4(lim),sdo4(x+) F(x)=1(3)單調非減，當x1x2時，F(x1)F(x2)(4)右連續 eq o(sup4(lim),sdo4(xx0+) F(x)=F(x0)一些概率可用分布函數來表示Paxb=F(b)-F(a),Px=a=F(a)-F(a-0), Pxa=1-F(a), Pxa=1-F(a-0), 例1

12、.設隨機變量x的分布函數為 F(x)= eq blc(aal(0 x0, sinx 0 xp/2,1 xp/2) , 則 Pxp/4 = ( ) (選C，因為Pxp/4 =F(p/4)=sinp/4)A、0 B、1/2 C、 eq r(2) /2 D、1例2.設隨機變量x1和x2的分布函數分別為F1(x)和F2(x)，為使F(x)=aF1(x) - bF2(x)是某隨機變量的分布函數，則在下列給定的各組數值中應取 ( ) A、a=3/5,b=-2/5 B、a=3/5,b=2/5 C、a=3/5,b=-3/5 D、a=2/5,b=2/5(選A，因為F(+)=1= aF1(+) - bF2(+)=

13、a-b )例3.連續型隨機變量 x 的分布函數為 F(x) = A + B arctanx, -x求：(1) 常數A,B； (2) x 落入（-1，1）的概率。解：因為F(+)=1, F(-)=0，所以A + Bp/2=1，A - Bp/2=0，解得 A=1/2, B=1/p . 即F(x) = eq f(1,2) + eq f(1,p) arctanx .x 落入（-1，1）的概率為P-1x1=F(1)-F(-1) = eq f(1,2) + eq f(1,p) arctan1 ( eq f(1,2) + eq f(1,p) arctan(-1)= eq f(1,4) + eq f(1,4)

14、 = eq f(1,2) 離散型隨機變量定義：隨機變量只能取有限個或可數個孤立的值離散型隨機變量的概率分布簡稱為分布列： eq bbc(aalcon1( X x1 x2 x3 . xn . ,概率 p1 p2 p3 . pn .) 其中每一個 pi0 且 eq isu(i=1,pi) =1離散型隨機變量的分布函數是非降的階梯函數。離散型隨機變量常見分布：1)兩點分布X(0,1)；X的取值只有0或1，其概率為PX=0=p, PX=1=1-p2)二項分布XB(n,p)；分布律為 b(k;n,p)= PX=k= C eq o(sdo3(n),sup5(k)pk(1-p)n-k (k=0,1,2,3,

15、n) 其中 0p13)泊松分布XP(l)；分布律為 PX=k= eq f(lk,k!) e-l (k=0,1,2,3,) 。4)幾何分布：XGe(p)；分布列為 PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) 。在伯努利試驗序列中，記每次試驗中事件A發生的概率為p，如果X為事件A首次出現時的試驗次數，則X的可能取值為1,2,稱X服從幾何分布。5)超幾何分布：X h(n,N,M)；分布列為 PX=k= eq f(C eq o(sdo3(M),sup5(k)C eq o(sdo3(N-M),sup5(n-k),C eq o(sdo3(N),sup5(n) (k=0,1,2,3,r, 其中

16、r=minM,n) 。 設有N個產品，其中有M個不合格品，若從中不放回地隨機抽取n個，則其中含有的不合格品個數X服從超幾何分布。離散型例題例1設隨機變量x的分布列為Px=k= eq f(C,2k) ，k=1,2,，則常數C= ( )A、1/4 B、1/2 C、1 D、(因為 eq isu(k=1, )Px=k=1, 即 eq f(c/2,1-1/2) =1, 所以c=1 )例2某射手有5發子彈，射一次命中的概率為0.9，如果命中了就停止射擊，否則一直射到子彈用僅。求耗用子彈數x的分布列。解：x的分布列為x 1 2 3 4 5概率p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001例3設

17、離散型隨機變量x的概率分布為x 0 1 2p 0.3 0.5 0.2其分布函數為F(x)，則F(3)= ( )A、0 B、0.3 C、0.8 D、(選D，因為F(3)=p(0)+p(1)+p(2)=1)連續性隨機變量定義：-隨機變量可能取的值連續地充滿一個范圍, 如果對于隨機變量x的分布函數F(x)，存在非負可積函數p(x)，使得對于任意實數x，有 F(x)= eq o(sdo5(-),sup11(x)p(u)du， 則稱x為連續型隨機變量，其中p(x)為的概率密度函數.密度函數必須滿足條件：(1) p(x)0, -x+(2) eq o(sdo5(-),sup11(+)p(x)dx=F(+)=

18、1連續型型隨機變量的性質：1.分布函數是連續函數；2 F(x)=p(x);3 Px=a=0, 所以Paxb= Paxb= Paxb= Paxb= eq o(sdo5(a),sup11(b)p(x)dx 4 Pxxx+Dx p(x)Dx常見連續型型隨機變量的分布：1)均勻分布xUa,b；密度函數 p(x)= eq blc(aal( f(1,b-a) axb, 0 其他) 分布函數F(x)= eq blc(aal( 0 xb) 2)指數分布xexp(l)；密度函數 p(x)= eq blc(aal( le-lx x0, 0 x0) 分布函數F(x)= eq blc(aal(1-e-lx x0, 0

19、 x0) 3)正態分布xN(m,s2)；密度函數p(x)= eq f(1,sr(2p)e eq sup3(-f(t-m)2,2s2) (-x+) 分布函數F(x)= eq f(1,sr(2p)eq o(sdo5(-),sup11(x)e eq sup3(-f(t-m)2,2s2) dt標準正態分布N(0,1)，它的分布函數F(x)可查表得到，一般F(x)=F( eq f(x-m,s)。正態分布的密度函數的曲線是鐘形對稱曲線，對稱軸為直線x=m，y=0是它的水平漸近線。連續型例題例1設隨機變量X服從參數為1的泊松分布，則PX=EX2= .解：因為X 服從參數為1的泊松分布，所以 EX2=DX+

20、(EX)2=1+12=2， 于是 PX=EX2=PX=2= eq f(1,2)e 1 例2設一設備開機后無故障工作的時間X服從指數分布，平均無故障工作的時間EX為5小時。設備定時開機，出現故障時自動關機，而在無故障的情況下工作2小時便關機。試求該設備每次開機無故障的時間Y的分布函數 F(y)。解: XE(l), 因為EX=1/l=5 l=1/5, 每次開機無故障的時間Y=minX,2,易見當y0 時，F(y)=0；當y2時，F(y)=1；當0y2時，F(y)=PYy=P minX,2y=PXy=1-e-y/5。所以Y的分布函數 F(y)= eq blc(aal( 0 若y0,1-e-y/5 若

21、0y2, 1 若y2) 隨機變量的函數的概率分布1離散型的求法設離散型隨機變量X的分布律為： eq bbc(aalcon1(X x1 x2 xk ,P p1 p2 pk ) ,則X的函數Y=g(X)的分布律為： eq bbc(aalcon1(Y g(x1) g(x2) g(xk) ,P p1 p2 pk ), 當g(xj)有相同情況時，概率為相應之和。2連續型的公式法：設X為連續型隨機變量，其密度函數為fX(x)，設g(x)是一嚴格單調的可導函數，其值域a,b，且g(x)0，記x=h(y)為y=g(x)的反函數，則Y=g(X)的密度函數為fY(y)= eq blc(aal(fX(h(y)|h(

22、y)| ayb, 0 其它) 3連續型的直接變換法(分布函數法)：FY(y)=PYy= Pg(x)y= PXS，其中S=x|g(x)y，然后再把FY(y)對y求導，即得fY(y)fY(y)= eq blc(aal(dFY(y)/dy 當FY(y)在y處可導時, 0 當FY(y)在y處不可導時) 隨機變量的函數的概率分布的例題例1設X的分布律為： eq bbc(aalcon1(X -1 0 1 2,P 0.2 0.3 0.1 0.4)，求Y=(X-1)2的分布律。解：先由X的值確定Y的值，得到 eq bbc(aalcon1(X -1 0 1 2,Y 4 1 0 1)，將Y的值相同的X的概率合在一

23、起，得到Y的分布律 eq bbc(aalcon1(Y 4 1 0 ,P 0.2 0.7 0.1)。例2設隨機變量X的分布函數為FX(x)，求隨機變量Y=3X+2的分布函數FY(y).解：FY(y)=PYy= P3X+2y= PX eq f(y-2,3)= FX( eq f(y-2,3) 例3設隨機變量X的密度函數為fX(x)= eq blc(aal(f(3,2)x2 -1x1, 0 其它) ,求隨機變量Y=3X+2的密度函數fY(y).解：用公式法：設y=g(x)=3x+2, y=g(x)的反函數為x=h(y)= eq f(y-2,3) , -1 eq f(y-2,3)1 -1y5, |h(y

24、)|= eq f(1,3)則Y=g(X)的密度函數為fY(y)= eq blc(aal(fX(h(y)|h(y)| ayb, 0 其它) = eq blc(aal(f(3,2)( eq f(y-2,3)2 eq f(1,3) -1y5, 0 其它) = eq blc(aal(f(1,18)(y-2)2 -1y5, 0 其它) 例4設X在區間0,2上服從均勻分布，試求Y=X3的概率密度。解：因XU0,2，所以 fX(x)= eq blc(aal(1/2 0 x2, 0 其它) 。 用分布函數法分段討論：當y0時, FY(y)=PYy= PX3y= 0，當0y8時, FY(y)=PYy= PX3y

25、= PX eq r(3,y)=eq o(sdo5(0),sup11( eq r(3,y) eq f(1,2) dx，fY(y)= FY(y)= eq f(1,2) eq f(1,3) (y) eq sup5(-f(2,3) = eq f(1, 6 eq r(3,y2) ,當y8時, FY(y)=PYy= PX3y= PX eq r(3,y)=eq o(sdo5(0),sup11(2) eq f(1,2) dx =1，fY(y)= FY(y)= 0. fY(y)= eq blc(aal( eq f(1, 6 eq r(3,y2) 0y8, 0 其它) 第三章 多維隨機變量及其概率分布二維隨機變量

26、二維隨機向量(x,h)的聯合分布函數指F(x,y)=Pxx,hy0F(x,y)1 ; F(-,+)= F(x,-)= F(-,y)=0; F(+,+Px1xx2,y1hy2=F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+F(x1,y1)二維隨機向量(x,h)的邊緣分布函數Fx(x)= Pxx=F(x,+), Fh(y)= Phy=F(+,y)二維離散隨機變量二維離散型隨機變量及其概率分布 Px=xi,h=yj=pij , 其中 eq isu(i=1, , ) eq isu(j=1, , )pij=1 且 pij0 可用一個分布列表或分布列矩陣 (pij) 來表示x的邊緣分布列為 P

27、x=xi= eq isu(j=1, , )pij = pi*h的邊緣分布列為 Ph=yj= eq isu(i=1, , )pij = p*j例1設二維隨機向量（x,h）的聯合分布律為hx1211/61/321/4a則常數a= （ ）A、1/6 B、1/4 C、1/3 D、答案： eq isu(i=1, , ) eq isu(j=1, , )pij=1 所以 a=1/4 , 選B. 二維連續隨機變量二維連續型隨機向量(x,h)的分布函數F(x,y)= eq o(sdo5(-),sup11(x)eq o(sdo5(-),sup11(y)p(u,v)dudv p(x,y) 稱為隨機向量(x,h)的聯

28、合密度函數p(x,y)0, eq o(sdo5(-),sup11(+)eq o(sdo5(-),sup11(+)p(x,y)dxdy=1 , eq f(2F(x,y),xy)=p(x,y)利用密度函數求概率 P(x,h)D= eq o(sdo6(D),sup0()p(x,y)dxdy二維連續型隨機向量(x,h)的邊緣分布, px(x)，ph(y) 稱為邊緣密度函數px(x)= eq o(sdo5(-),sup11(+)p(x,y)dy ph(y)= eq o(sdo5(-),sup11(+)p(x,y)dx條件分布離散型：在條件Y=yj下隨機變量X的條件概率分布為PX=xi|Y=yj= eq

29、f(PX=xi，Y=yj,PY=yj) = eq f(pij,p*j) , i=1,2,連續型：在條件Y=y下隨機變量X的條件分布函數FX|Y(x|y)與條件概率密度函數fX|Y(x|y)分別為：FX|Y(x|y)= eq iin(-,x, f(f(u,y),fY(y) du) fX|Y(x|y) = eq f(f(x,y),fY(y)例1：設隨機變量X在區間 (0,1)上服從均勻分布，在X=x (0 x1)的條件下，隨機變量Y在區間(0,x)上服從均勻分布，求：隨機變量X和Y的聯合概率密度；解：X的概率密度為 fX(x)= eq blc(aal(1 0 x1,0 其他) ，在X=x (0 x

30、1)的條件下，Y的條件概率密度為fY|X(y|x)= eq blc(aal(1/x 0yx,0 其他) 當 0yx1時，隨機變量X和Y的聯合概率密度為 f(x,y)=fX(x)fY|X(y|x) = 1/x在其它點 (x,y)處，有 f(x,y) =0，即X和Y的聯合概率密度為f(x,y) = eq blc(aal(1/x 0yx1,0 其他) 例2：設隨機變量X與Y相互獨立，X概率分布為PX=i=1/3 (i=-1, 0 1)，概率密度為fY(y)= eq blc(aal(1 0y1,0 其它) ，記Z=X+Y， 求PZ1/2 | X=0。解：(1) PZ eq f(1,2)|X=0= PX

31、+Y eq f(1,2)|X=0= PY eq f(1,2)=eq o(sdo5(0),sup11(1/2)1dy= eq f(1,2). 二元正態分布二元正態分布N(m1,m2,s12,s22,r)的密度函數p(x,y)= eq f(1,2ps1s2r(1-r2) exp- eq f(1,2(1-r2) eq f(x-m1)2,s12) - eq f(2r(x-m1)(y-m2),s1s2) + eq f(y-m2)2,s22)二元正態分布N(m1,m2,s12,s22,r)的邊緣密度分布仍是正態分布 xN(m1,s12) , hN(m2,s22)邊緣概率密度為 fX(x)= eq f(1,

32、s1r(2p)e eq sup3(-f(x-m1)2,2s12) , fY(y)= eq f(1,s2r(2p)e eq sup3(-f(y-m2)2,2s22) 二元均勻分布(X,Y)在區域D上服從均勻分布設D是xOy面上的有界區域，其面積為A。如果二維隨機變量(X,Y)具有概率密度 f(x,y)= eq blc(aal(f(1,A) (x,y)D,0 其他) ，則稱(X,Y)在區域D上服從均勻分布。例1:設 (X,Y) 服從區域D：(x, y)：axb, cyd上的均勻分布，求（1）(X,Y) 的聯合概率密度p(x, y)； （2）X, Y 的邊際概率密度 pX(x) , pY(y) ;解

33、：(1) f(x,y)= eq blc(aal( f(1,(b-a)(d-c) axb cyd, 0 其他) ;(2) pX(x)= eq o(sdo5(-),sup11(+)p(x,y)dy = eq blc(aal( f(1,b-a) axb, 0 其他) , pY(y)= eq o(sdo5(-),sup11(+)p(x,y)dx= eq blc(aal( f(1,d-c) cyd, 0 其他) 例1設二維隨機變量(X,Y)的分布函數F(x,y)=A(B+arctan eq f(x,2)(C+arctan eq f(y,3)。試求：(1)常數A,B,C；(2) (X,Y)的概率密度。解：

34、由分布函數性質，得到F(+,+)=A(B+ eq f(p,2)(C+ eq f(p,2), F(x,-)=A(B+arctan eq f(x,2)(C- eq f(p,2)=0, F(-,y)=A(B- eq f(p,2)(C+arctan eq f(y,3)=0, 解得 A= eq f(1,p2), B=C= eq f(p,2) . 即F(x,y)= eq f(1,p2)( eq f(p,2)+arctan eq f(x,2)( eq f(p,2)+arctan eq f(y,3)。(2) f(x,y) = eq f(2F(x,y),xy) = eq f(6,p2(x2+9)(y2+4) .

35、 例2: 設隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區間0,3上的均勻分布，求PmaxX,Y1。.解：PmaxX,Y1=PX1且Y1，因為X與Y相互獨立，所以PX1且Y1= PX1PY1= eq f(1,3) eq f(1,3)= eq f(1,9) 。（這里PX1=eq o(sdo5(0),sup11(1) eq f(1,3)dx= eq f(1,3)） 例3:設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y) = eq blc(aal(1， 0 x1，0y2x,0， 其它) 求：(1) (X,Y) 的邊緣概率密度fX(x), fY(y)；(2) Z=2X-Y的概率密度 fZ(z) 。解：(1) fX

36、(x)= eq o(sdo5(-),sup11(+)f(x,y)dy eq o(sdo1(=),sup8(0 x1) eq o(sdo5(1),sup11(2x)1dy= 2x, 所以邊緣概率密度fX(x)= eq blc(aal(2x 0 x1,0 其它) fY(y)= eq o(sdo5(-),sup11(+)f(x,y)dx eq o(sdo1(=),sup8(0y2) eq o(sdo5(y/2),sup11(1)1dx= 1- eq f(1,2)y, 所以邊緣概率密度fY(y)= eq blc(aal(1-y/2 0y2,0 其它) (2) FZ(z)=P2x-yz= eq o(sd

37、o10(2x-yz),sup0()f(x,y)dxdy eq o(sdo1(=),sup8(0z/21) 1- eq o(sdo10(D1),sup0()1dxdy=1-eq o(sdo5(z/2),sup11(1)dxeq o(sdo5(0),sup11(2x-z)1dy =1-eq o(sdo5(z/2),sup11(1)(2x-z)dx= z - eq f(z2,4)得到FZ(z)= eq blc(aal(0 z0,z-z2/4 0z2,1 z2) ，所以Z的概率密度 fZ(z)=FZ(z)= eq blc(aal(1-z/2 0z2,0 其它) 例4設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為

38、 f(x,y)= eq blc(aal(x2+cxy 0 x1.0y2, 0 其他) 求(1)常數C; (2)PX+Y1;(3)聯合分布函數F(x,y).解：(1)由的概率密度性質得到1=eq o(sdo5(-),sup11(+)eq o(sdo5(-),sup11(+)f(x,y)dxdy=eq o(sdo5(0),sup11(1)eq o(sdo5(0),sup11(2)(x2+cxy)dxdy= eq f(2,3)+c c= eq f(1,3) ;(2)PX+Y1= eq o(sdo10(x+y1),sup0( )f(x,y)dxdy= eq o(sdo6(D),sup0() f(x,y

39、)dxdy=eq o(sdo5(0),sup11(1)dxeq o(sdo5(1-x),sup11(2)(x2+ eq f(xy,3)dy=eq o(sdo5(0),sup11(1)( eq f(5,6)x3+ eq f(4,3)x2+ eq f(1,2)x)dx = eq f(65,72)(3) 當x0或y0時，F(x,y)= eq o(sdo5(-),sup11(x)eq o(sdo5(-),sup11(y)p(u,v)dudv=0;當0 x1, 0y2時，F(x,y)= eq o(sdo5(-),sup11(x)eq o(sdo5(-),sup11(y)p(u,v)dudv=eq o(s

40、do5(0),sup11(x)eq o(sdo5(0),sup11(y)(u2+ eq f(uv,3)dudv= eq f(x3y,3)+ eq f(x2y2,12);當0 x1, y2時，F(x,y)= eq o(sdo5(-),sup11(x)eq o(sdo5(-),sup11(y)p(u,v)dudv=eq o(sdo5(0),sup11(x)eq o(sdo5(0),sup11(2)(u2+ eq f(uv,3)dudv= eq f(2x3,3)+ eq f(x2,3); 當x1, 0y2時，F(x,y)= eq o(sdo5(-),sup11(x)eq o(sdo5(-),sup1

41、1(y)p(u,v)dudv=eq o(sdo5(0),sup11(1)eq o(sdo5(0),sup11(y)(u2+ eq f(uv,3)dudv= eq f(y,3)+ eq f(y2,12);當x1, y2時，F(x,y)= eq o(sdo5(-),sup11(x)eq o(sdo5(-),sup11(y)p(u,v)dudv=1綜上所述F(x,y)= eq blc(aal( 0 x0或y0, eq f(x3y,3)+ eq f(x2y2,12) 0 x1及0y2, eq f(2x3,3)+ eq f(x2,3) 0 x1及y2, eq f(y,3)+ eq f(y2,12) x1

42、及 0y2, 1 x1及y2) 獨立性若F(x,y)=Fx(x)Fh(y)，則稱隨機變量x與h相互獨立。幾個充要條件：連續型隨機變量x與h相互獨立 p(x,y)=px(x)ph(y) 離散型隨機變量x與h相互獨立 pij=pipj 二元正態分布N(m1,s12,m2,s22,r) 隨機變量x與h相互獨立r=0。X與Y相互獨立f(X)與g(Y)也相互獨立。例：袋中有2只白球，3只黑球,現進行無放回地摸球，定義：x = eq blc(aal( 1 第一次摸出白球, 0 第一次摸出黑球) h= eq blc(aal( 1 第二次摸出白球, 0 第二次摸出黑球) 求:(1)（x，h）的聯合分布；（2）

43、x，h 的邊際分布；（3）x，h 是否相互獨立？解:(x,h)的聯合分布與邊際分布為x h01px03/103/106/1013/101/104/10ph6/104/10因為p(0,0)=3/10px(0)ph(0)=9/25所以x與h不獨立。 例2：設A, B是二隨機事件；隨機變量 X= eq blc(aal(1 若A出現,-1 若A不出現) Y= eq blc(aal(1 若B出現,-1 若B不出現) 試證明隨機變量X和Y不相關的充分必要條件是A與B相互獨立。例3設(X,Y)的概率密度為，f(x,y)= eq blc(aal(8xy 0 x1及0yx, 0 其他) , 求：關于X及關于Y的

44、邊緣概率密度，并判斷X與Y是否相互獨立。解：關于X的邊緣概率密度fX(x)= eq o(sdo5(-),sup11(+)f(x,y)dy, 當0 x1時，fX(x)= eq o(sdo5(0),sup11(x)8xydy=4x3, 當x1時，fX(x)=0; 所以 fX(x)= eq blc(aal(4x3 0 x1, 0 其他) 。同理當0y1時，fY(y)= eq o(sdo5(y),sup11(1)8xydx=4y(1-y2), 其它情況fY(y)=0, 所以關于Y的邊緣概率密度fY(y)= eq blc(aal(4y(1-y2) 0 x1, 0 其他) . 因為當0 x1, 0y1時，

45、f(x,y) fX(x)fY(y)，所以X與Y不獨立。兩個隨機變量的函數的分布幾條結論：1. XP(l1), YP(l2), 若X與Y相互獨立，則X+YP(l1+l2);2. XN(m1,s12), Y N(m2,s22), X與Y相互獨立，則X+Y N(m1+m2,s12+s22);3.(卷積公式)設(X,Y)是二維連續型隨機變量，其概率密度為f(x,y)，關于X,Y的邊緣概率密度分別為fX(x), fY(y)，設X與Y相互獨立，則Z=X+Y的概率密度為 fZ(z)= eq o(sdo5(-),sup11(+)fX(x)fY(z-x)dx=eq o(sdo5(-),sup11(+)f(x,

46、z-x)dx 或fZ(z)= eq o(sdo5(-),sup11(+)fX(z-y)fY(y)dy=eq o(sdo5(-),sup11(+)f(z-y, y)dy.例1:已知的聯合概率分布為 eq bbc(aalcon1(X|Y 0 1 2, 0 1/4 1/10 3/10, 1 3/20 3/20 1/20), 求(1)X+Y的概率分布；(2)XY的概率分布。解：令Z1=X+Y，則Z1的加法表為 eq bbc(aalcon1(X+Y 0 1 2, 0 0 1 2, 1 1 2 3),令Z2=XY，則Z2的乘法表為 eq bbc(aalcon1(XY 0 1 2, 0 0 0 0, 1 0

47、 1 2),(1) Z1的分布律為 eq bbc(aalcon1(Z1 0 1 2 3,P 1/4 3/20+1/10 3/20+3/10 1/20), 即 eq bbc(aalcon1(Z1 0 1 2 3,P 1/4 5/20 9/20 1/20)(2) Z2的分布律為 eq bbc(aalcon1(Z1 0 1 2,P 1/4+3/20+1/10+3/10 3/20 1/20), 即 eq bbc(aalcon1(Z1 0 1 2,P 4/5 3/20 1/20) 例2:設隨機變量X,Y相互獨立，且都服從0,1上的均勻分布，求X+Y的概率密度。解：XU0,1, YU0,1, 所以Z=X+

48、Y在有效區間0,2上取值。利用卷積公式得到fZ(z)= eq o(sdo5(-),sup11(+)fX(x)fY(z-x)dx。 積分變量的有效區域為 0 x1, 0z-x1 0 xz, z-1x1.當0z1時，fZ(z)= eq o(sdo5(0),sup11(z)11dx=z; 當1z2時，fZ(z)= eq o(sdo5(z-1),sup11(1)11dx=2-z;當的其余取值時，fZ(z)=0。所以Z的概率密度fZ(z)= eq blc(aal( z 0z1,2-z 10ll均勻分布Ua,bp(x)= eq blc(aal( f(1,b-a) axb, 0 其他) eq f(a+b,2

49、) eq f(b-a)2,12) 幾何分布XGe(p)分布列為 PX=k= (1-p)k-1p (k=0,1,2,3,) eq f(1,p) eq f(1-p,p2)超幾何分布X h(n,N,M)PX=k= eq f(C eq o(sdo3(M),sup5(k)C eq o(sdo3(N-M),sup5(n-k),C eq o(sdo3(N),sup5(n) k=0,1,2,3, minM,n eq f(nM,N) eq f(nM(N-M)(N-n),N2(N-1)指數分布exp(l)p(x)= eq blc(aal( le-lx x0, 0 x0) eq f(1,l) eq f(1,l2)

50、正態分布N(m,s2)p(x)= eq f(1,sr(2p)e eq sup3(-f(x-m)2,2s2) (-x+)ms2二維正態分布N(m1,s12,m2,s22,r)p(x,y)= eq f(1,2ps1s2r(1-r2) exp- eq f(1,2(1-r2) eq f(x-m1)2,s12) - eq f(2r(x-m1)(y-m2),s1s2) + eq f(y-m2)2,s22)Ex=m1Eh=m2Dx=s12Dh=s22第五章 大數定律及中心極限定理切比雪夫不等式切比雪夫不等式：P|x-Ex|e eq f(Dx,e2) , P|x-Ex|e 1 - eq f(Dx,e2)例1：

51、設隨機變量x1, x2, x3，獨立同分布，且xi服從參數為l的指數分布，i=1,2,3，試根據切比雪夫不等式證明：P0 x1+x2+x36/l2/3 .證：xiexp(l), ExI=1/l; 令X=x1+x2+x3 ,則EX=E(x1+x2+x3)=3/l，DX=D(x1+x2+x3)=3/l2.P0 x1+x2+x36/l= P0X6/l= P-3/lX-3/l3/l= P|X-3/l|3/l1 - eq f(DX,e2) = 1- eq f(3/l2,(3/l)2) = 1- eq f(3,9) = eq f(2,3) 例2：已知隨機變量X的期望E(X)=100，方差D(X)=10，估

52、計X落在(80,120)內的概率。解：P80X120= P-20X-10020= P|X-E(X)|20 1 - eq f(DX,202) = 1 - eq f(10,400) = 0.975. 大數定律切比雪夫大數定理：設隨機變量X1,X2,Xn相互獨立，分別具有數學期望與方差，且方差一致有上界，則對任意給定正數e，恒有 eq o(sup4(lim),sdo4(n) P| eq f(1,n) eq isu(i=1,n,xi) eq f(1,n) eq isu(i=1,n,Exi) | e= 1。伯努利大數定理：設nA是在n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率，則

53、對任意給定正數e，恒有 eq o(sup4(lim),sdo4(n) P| eq f(nA,n) - p|e= 1 (或 eq o(sup4(lim),sdo4(n) P| eq f(mn,n) - p| e= 0)辛欽大數定理：設隨機變量X1,X2,Xn,相互獨立，服從同一分布，且具有數學期望EXk=m，則對任意給定正數e，恒有 eq o(sup4(lim),sdo4(n) P| eq f(1,n) eq isu(i=1,n,xi) m | e= 1中心極限定理棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯(Laplace)定理：設隨機變量Yn (n=1,2,3,)服從參數為n, p的二項分布，即Yn

54、B(n,p)，則對任意實數x，恒有 eq o(sup4(lim),sdo4(n) P eq f(Yn-np,r(npq)x= F(x) = eq o(sdo5(-),sup11(x) eq f(1,r(2p)e eq sup3(-f(t2,2) dt eq o(sdo5(a),sup11(b) eq f(1,r(2p)e eq sup3(-f(t2,2) dt這一定理說明，服從二項分布B(n,p)的隨機變量Yn作標準化后的隨機變量 eq f(Yn-np,r(npq)的極限分布是標準正態分布N(0,1)。中心極限定理(林德貝格-勒維)：設隨機變量X1,X2,Xn,相互獨立，服從同一分布，且具有數

55、學期望EXk=m，和方差D(Xk)=s20，隨機變量Yn=( eq isu(k=1,n,xk)-nm)/ eq r(n)s 的分布函數為 Fn(x)，則對任意實數x，恒有 eq o(sup4(lim),sdo4(n)Fn(x)= eq o(sup4(lim),sdo4(n)PYnx= F(x) = eq o(sdo5(-),sup11(x) eq f(1,r(2p)e eq sup3(-f(t2,2) dt這一定理說明， eq isu(k=1,n,xk)的標準化隨機變量Yn=( eq isu(k=1,n,xk)-nm)/ eq r(n)s 的極限分布是標準正態分布N(0,1)。中心極限定理的用例1：某計算機系統由120個終端，每個終端在1小時內平均有3分鐘使用打印機，假