1、第四章 剛 體 力 學4.1 剛體運動學4.1.1 剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體 . 4.1.2 剛體的基本運動形式：（1）平動：若剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同，或者說剛體內(nèi)任意兩點間的連線在各時刻總是平行. 剛體平動 質(zhì)點運動（2）轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動、定點轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動: 轉(zhuǎn)軸在所選參考系中固定不動的轉(zhuǎn)動 剛體的一般運動質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+轉(zhuǎn)動平面參考方向4.1.3 描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量特征：剛體中所有的質(zhì)點具有相同的角位移、角速度、角加速度 角位移 角速度 角加速度圖4-3線速度和角速度之間的矢量關(guān)系P*O力 作用在剛體上點 P , 且在轉(zhuǎn)動平面內(nèi) 對轉(zhuǎn)軸 Z

2、 的力矩 4.2.1 力矩 4.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律O若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi) 合力矩等于各分力矩的矢量和竿子長些還是短些較安全？非專業(yè)訓練，請勿模仿4.2.2 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理質(zhì)元P 對Z 軸的角動量為 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量(剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量)剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體對某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 J 等于剛體內(nèi)每個質(zhì)點的質(zhì)量與這個質(zhì)點到該轉(zhuǎn)軸垂直距離平方乘積之和。 4.2.3 轉(zhuǎn)動慣量的計算1 剛體由分離質(zhì)點組成： 2 組成剛體的質(zhì)點為連續(xù)分布： 為質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸之間的垂直距離例1 計算質(zhì)量為m，長為l 的細棒繞一端的轉(zhuǎn)動慣量。oxz解：dxdmxOOOCO平行軸定理 質(zhì)量為 的剛體，如果對其質(zhì)

3、心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 ，則對任一與該軸平行，相距為 的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量在圓環(huán)上任取質(zhì)量為dm 的線元解： 試求一質(zhì)量為m，半徑為R的均質(zhì)細圓環(huán)對通過其中心且垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。例2 例3 一質(zhì)量為 、半徑為 的均勻圓盤，求通過盤中心 O 并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量 .ORO圓環(huán)質(zhì)量圓環(huán)對軸的轉(zhuǎn)動慣量在某一時間段內(nèi)，作用在剛體上的沖量矩等于剛體的角動量增量。由質(zhì)點系的角動量定理，可得剛體對定軸的角動量定理：4.2.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 或 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩成正比 ，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比 . 轉(zhuǎn)動定律竿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？非專業(yè)訓練，請

4、勿模仿力矩對剛體所作的功： 4.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能力 在元路程ds上的元功角位移dq，元路程ds，元位移4.3.1 力矩作功 mi第i個質(zhì)元的動能： 4.3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能整個剛體的轉(zhuǎn)動動能：4.3.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 4.3.4 剛體的重力勢能例 一質(zhì)量為m0 ，半徑R的圓盤，盤上繞由細繩，一端掛有質(zhì)量為m的物體。問物體由靜止下落高度h時，其速度為多大？mgmm0m解：解得FT 例 留聲機的轉(zhuǎn)盤繞通過盤心垂直盤面的軸以角速率 作勻速轉(zhuǎn)動放上唱片后，唱片將在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動設(shè)唱片的半徑為R，質(zhì)量為m，它與轉(zhuǎn)盤間的摩擦系數(shù)為 ，求：(1)唱片與轉(zhuǎn)盤間的摩擦力矩；

5、 (2)唱片達到角速度 時需要多長時間；(3)在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤的驅(qū)動力矩做了多少功？Rrdrdlo解 (1) 取面積元ds = drdl，該面元所受的摩擦力為此力對點o的力矩為在寬為dr的圓環(huán)上，唱片所受的摩擦力矩為 (3) 由 可得在 0 到 t 的時間內(nèi)，轉(zhuǎn)過的角度為 (2) 由轉(zhuǎn)動定律求 ，(唱片J=mR2/2)驅(qū)動力矩做的功為由 可求得4.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律討論： 剛體所受的合外力矩等于零時，剛體的角動量保持守恒。圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機械能不守恒 .角動量守恒；動量不守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)動量守恒；角動量守恒；機械能不守恒 .圓錐擺系統(tǒng)動量不守恒；角動量守

6、恒；機械能守恒 .討 論子彈擊入沙袋細繩質(zhì)量不計例 一長為l，質(zhì)量為m0的桿可繞支點O自由轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為m，速度為v的子彈射入距支點為a的棒內(nèi)。若棒偏轉(zhuǎn)角為30。問子彈的初速度為多少。解：角動量守恒：機械能守恒：oalv30例 長為 l 的均質(zhì)細直桿OA，一端懸于O點鉛直下垂，如圖所示。一單擺也懸于O點，擺線長也為l，擺球質(zhì)量為m。現(xiàn)將單擺拉到水平位置后由靜止釋放，擺球在 A 處與直桿作完全彈性碰撞后恰好靜止。試求： 細直桿的質(zhì)量m0； 碰撞后細直桿擺動的最大角度。（忽略一切阻力）解： 按角動量守恒定律 系統(tǒng)的動能守恒解得系統(tǒng)的機械能守恒，有例 . 如圖，質(zhì)量為 M 半徑為 R 的轉(zhuǎn)臺初始角速

7、度為 0 ,有一質(zhì)量為m 的人站在轉(zhuǎn)臺的中心,若他相對于轉(zhuǎn)臺以恒定的速度 u 沿半徑向邊緣走去,求人走了t 時間后,轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)過的角度。（豎直軸所受摩擦阻力矩不計）解：人與轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)對軸角動量守恒設(shè) t 時刻人走到距轉(zhuǎn)臺中心 r = ut 處，轉(zhuǎn)臺的角速度為 . 角動量守恒定律在工程技術(shù)上的應用 陀螺儀與導航支架S外環(huán)陀螺G內(nèi)環(huán)陀螺儀：能夠繞其對稱軸高速 旋轉(zhuǎn)的厚重的對稱剛體。陀螺儀的特點：具有軸對稱性和繞對稱軸有較大的轉(zhuǎn)動慣量。 陀螺儀的定向特性：由于不受外力矩作用，陀螺角動量的大小和方向都保持不變；無論怎樣改變框架的方向，都不能使陀螺儀轉(zhuǎn)軸在空間的取向發(fā)生變化。 直升機螺旋槳的設(shè)置尾槳的設(shè)置：直

8、升機發(fā)動后機身要在旋翼旋轉(zhuǎn)相反方向旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生一個向下的角動量。為了不讓機身作這樣的反向旋轉(zhuǎn)，在機身尾部安裝一個尾槳，尾槳的旋轉(zhuǎn)在水平面內(nèi)產(chǎn)生了一個推力，以平衡單旋翼所產(chǎn)生的機身扭轉(zhuǎn)作用。對轉(zhuǎn)螺旋槳的設(shè)置：雙旋翼直升機則無需尾槳，它在直立軸上安裝了一對對轉(zhuǎn)螺旋槳，即在同軸心的內(nèi)外兩軸上安裝了一對轉(zhuǎn)向相反的螺旋槳。工作時它們轉(zhuǎn)向相反，保持系統(tǒng)的總角動量仍然為零。 進動現(xiàn)象現(xiàn)象：陀螺儀在外力矩的作用下，在繞其對稱軸高速轉(zhuǎn)動的同時，橫桿也會在水平面內(nèi)繞豎直軸緩慢地轉(zhuǎn)動。進動：高速轉(zhuǎn)動物體的自轉(zhuǎn)軸繞另一軸線的旋轉(zhuǎn)運動形式。 進動效應的理論分析陀螺儀所受外力矩M與總角動量L（近似等于自轉(zhuǎn)角動量）垂直，即

9、，其角動量的增量dL的方向與M方向相同，也即 ，則L的大小保持不變，只是其方向發(fā)生變化。4.5 進 動設(shè)dt時間內(nèi)與該自轉(zhuǎn)軸相應的角位移為dq 進動規(guī)律的定量描述由角動量定理，有角動量增量的大小為則比較式(1)和式(2)，得 (1) (2) 而進動角速度 炮彈飛行姿態(tài)的控制：炮彈在飛行時，空氣阻力對炮彈質(zhì)心的力矩會使炮彈在空中翻轉(zhuǎn)；若在炮筒內(nèi)壁上刻出了螺旋線（稱之為來復線），當炮彈由于發(fā)射藥的爆炸所產(chǎn)生的強大推力推出炮筒時，炮彈還同時繞自己的對稱軸高速旋轉(zhuǎn)。由于這種自轉(zhuǎn)作用，它在飛行過程中受到的空氣阻力將不能使它翻轉(zhuǎn)，而只能使它繞著質(zhì)心前進的方向進動。 進動特性的技術(shù)應用進動效應的有害作用：高

10、速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸方向的變化與進動效應是相伴隨的。原子中電子的進動：電子同時參與繞核的運動和它本身的自旋。翻轉(zhuǎn)外力外力進動2. 陀螺進動產(chǎn)生的原因：重力對 0 點的力矩為 ，的方向：的方向與 一致Ldr 使 改變方向故陀螺的自轉(zhuǎn)軸改變方向，繞一豎直軸進動可以證明根據(jù)角動量定理：剛體的平面運動 剛體上各點均在平面內(nèi)運動，且這些平面均與一固定平面平行的運動。剛體的一般運動可看作：Oz y x在0 xy系中A的位置矢量：圓柱體的無滑滾動：圓柱體與支承面接觸點相對于支承面的瞬時速度為零圓柱體無滑滾動條件剛體平面運動的基本動力學方程Oz y x0 xy系慣性參考系：作用于剛體的外力對質(zhì)心軸的合力矩等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體繞該軸角加速度的乘積剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理剛體平面運動動能動能等于質(zhì)心平動動能與繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動動能之和例 . 一個質(zhì)量為m半徑為 R 的均勻圓柱體，從傾角為 的斜面上由靜止開始無滑動地滾下，求質(zhì)心的加速度。cR解法一：研究對象：圓柱體建立坐標、受力分析：如圖運動方程：平動：轉(zhuǎn)動：聯(lián)立，求得：將