1、導(dǎo)數(shù)中恒成立問題(最值問題)恒成立問題是高考函數(shù)題中的重點(diǎn)問題， 也是高中數(shù)學(xué)非常重要的一個模塊， 不管是小題，還 是大題，常常以壓軸題的形式出現(xiàn)。知識儲備(我個人喜歡將參數(shù)放左邊，函數(shù)放右邊)先來簡單的(也是最本質(zhì)的)如分離變量后，a f(x)包成立，則有a f(x)maxaf(x)恒成立,則有a f(x)min(若是存在性問題，那么最大變最小，最小變最大).對于單變量的恒成立問題0包成立，那么只需f(x)min 0如：化簡后我們分析得到，對 x a,b , f(x)x a,b ,使得 f (x) 0,那么只需 f(x)max 0.對于雙變量的恒成立問題如：化簡后我們分析得到，對x1，x2a

2、,b , f(xi) g(x2),那么只需f(x)min g(x)max如：化簡后我們分析得到，對x1a,b ,x2c,d使f(x1) g(x2)，那么只需f(x)ming( x) min如：化簡后我們分析得到,xia,b , x2c,d 使 f(xi) gd),那么只需 f(x)max g(x)min還有一些情況了，這里不一一列舉，總之一句話(雙變量的存在性與包成立問題，都是先處理 一個變量，再處理另一個變量)3.對于帶絕對值的包成立問題，我們往往先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，去掉絕對值，再轉(zhuǎn)變成恒 成立問題(2014.03錫常鎮(zhèn)一模那題特別典型)今天呢，我會花很多時間來講解一道二次函數(shù)，因?yàn)槎魏瘮?shù)

3、是最本質(zhì)的，(甚至我提出這樣一個觀點(diǎn)，所有導(dǎo)數(shù)的題目95%3根結(jié)底就是帶參數(shù)二次函數(shù)在已知定義域上根的討論，3%!ax b與ax3 b這種形式根的討論，2%!觀察法得到零點(diǎn)，零點(diǎn)通常是1,e之類)，所以如果 e我們真正弄清楚了二次函數(shù)，那么對于千變?nèi)f化的導(dǎo)數(shù)題，我們還會畏懼嗎。那么我們先從一道練習(xí)題說起一.二次函數(shù)型(通常方法是討論對稱軸，根據(jù)圖像求最值)例題1.已知f (x)，2、2 2ax a 1定義域?yàn)镽 ,求a的取值圍思考：引入定義域(非R)參數(shù)在二次項(xiàng)，就需考慮是否為0引入局次(3次，4次，lnx, ex等等)x引入a2, a3等項(xiàng)(導(dǎo)致不能分離變量)方法：1.一次函數(shù)，二次函數(shù)直接

4、根據(jù)圖像討論最值 （二次函數(shù)也可以分離變量）.對于高次或者特殊函數(shù)，一般分離變量求最值（分離變量后對函數(shù)求導(dǎo)，確定導(dǎo)函 數(shù)的正負(fù)情況，確定單調(diào)性，從而確定在已知定義域上的最值）.對于不能分離變量的，只能直接求導(dǎo)，對參數(shù)討論，從而確定單調(diào)性，確定最值變式:已知f(x)axb ,若對任意的x （m,n）,均有f （x） 0 ,求a的取值圍已知f(x)2 ax2x 5,若對任意的x （ 3,2）,均有f（x） 0,求a的取值圍已知f(x)2 ax2(a1 2 31）x 5 ,若對任意的x(3,2),均有 f(x)0,求a的取值圍已知f(x)3 ax2(a1）x 5 ,若對任意的x(3,2),均有 f

5、(x)0求a的取值圍已知f(x)3 ax2(a29）x 5 ,若對任意的x(3,2),均有 f(x)0求a的取值圍例題2.（改編）已知函數(shù)f x ax8a 4, a 2x 1在1,3上的最大值為M a ,最小值為m a ,又已知函數(shù)g a M a m a ,g a的最小值（1）求g a的表達(dá)式；（2）指出g a的單調(diào)區(qū)間，并求出答案：根據(jù)對a是否為0以及對稱軸的討論，易知M (a)9a 5,a9a,、.11 m(a) 1 一，一 a 3a 1,a,所以易知1g（a）9a1 c 12, aa 31 Ja 28a 4, a 1所以g（a）在（1 、，、一、， ，1,一）單調(diào)遞減，在（,22）單調(diào)遞

6、增，所以當(dāng)11x 3時，f（x）有取小值己點(diǎn)評：本題考察的主要是二次函數(shù)帶參數(shù)在已知定義域上的最值問題的討論變式：1.對稱軸不動（定義域不動定義域動（含參數(shù)）2.對稱軸動（含參），定義域不動（考試最喜歡考）.對稱軸動（含參），定義域動（含參） 但是參數(shù)還是同一個參數(shù) 方法：找出對稱軸 與定義域邊界及定義域中值的臨界點(diǎn)討論即可.對稱軸動（含參），定義域動（含參）參數(shù)不一樣，那么或許可以看看題目中參數(shù)的圍，是否可以直接根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)不一樣，參數(shù)也沒圍，那么真不能做了1(13)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)止點(diǎn)A(a, a), P是函數(shù)y(x0)圖象上一動點(diǎn).若點(diǎn) xP, A之間的最短距離為272,

7、則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為.1解：設(shè) P Xo, Xo 0 xo2則PA2Xoa21aXo2Xo211211 2a Xo+ +2a = Xo+ -2a Xo+ XoXoXoXo2a2 2人1令 Xot t 2Xo則 PA2=f(t)=t2 2at 2a2 2 t 2對稱軸 t aa 2時,a 2時，2PA2minf 22a2 4a 22PA2minf(a)a2 2 822a2 4a 28a2 2a 1 , a 3 (舍去)a 尺, a50 (舍去)點(diǎn)評：本題綜合性較高，考查了帶參數(shù)的二次函數(shù)在已知定義域上的最值問題(高一下學(xué)期必須學(xué)會)，同時考查了換元思想，分類討論的思想是一道非常漂亮的題目

8、 二.三次函數(shù)及特殊函數(shù)型(通常是求導(dǎo)后對二次函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行討論，從而求最值)先來幾個比較特殊的題目，平時稍微長點(diǎn)心眼，多記記，就記住了.一 ,. ., ._ 一 .一 . .(原創(chuàng))已知函數(shù)f(x) 0且xf(x) f(x) 0,對所有滿足條件的函數(shù)f(x),始終有f(2) (a 2a 3) f (1)成立，求a的取值圍答案：由題可知x 0時，0 f(0) 0與題目f (x) 0矛盾，所以顯然有x 0 TOC o 1-5 h z 所以由條件易知 工兇單調(diào)遞增，由題可知 但 a3 2a 3 f (1)始終成立,即 X22受 a3 2a 3何成立，因?yàn)椤皢握{(diào)遞增，又 起是滿足條件的所有函數(shù)，f

9、(1)2xx1所以3E的最小值總大于1,所以有a3 2a 3 1,知a的圍是a 上行或上后 a 1 f(1)2221點(diǎn)評：對于某些題中既有f(x)又有f (X)的這種題型，我們不妨去聯(lián)想它的原函數(shù).(原創(chuàng))已知函數(shù)f(x) 10g2(1 x) x2 ax;若對于任意a 1,3 ,總存在x 1 1 ,使 22得不等式f(x。)m成立，則m的取值圍是答案：分析知10g 2(1+x)單增，又分析知x2 ax在x 1時取最大值，所以f(x()的最大值為f (1),1所以有m f(1)恒成立，分離變事易知m -2. f(x)=x3+ax2 a2x m(a 0)若對任意 a 3,6 , f (x) 1 在

10、 x2,2 上恒成立，求 m 圍解答：先看成是a的二次函數(shù)，對稱軸為-1,1 ,所以最大值不是在3處就是在6處，所以232,x 3x 9x m 1有32又t x2,2包成立，易知m 87x 6x 36x m 1點(diǎn)評：對于一些雙變量的函數(shù)最值問題，我們難以處理時，往往可以去看看本身的定義域，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性，確定最值.對滿足|p| 2所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2 px 1 p 2x何成立的x的取值圍解答：看成是p的一次函數(shù)點(diǎn)評：對哪個參數(shù)包成立，就看成是哪個參數(shù)的函數(shù)m2x 1.已知0對x 4恒成立，求m的取值圍mx 1解答：法1:看成乘積小于0包成立，轉(zhuǎn)變成二次函數(shù)包成立法2:必須有一正一

11、負(fù)包成立2變式： 0對m 4恒成立，求x的取值圍mx 1解答：如果看成是m的函數(shù)，乘積后就變成關(guān)于 m的三次函數(shù)，所以我們可以轉(zhuǎn)變思維，轉(zhuǎn) 變成兩個式子同正或同負(fù).若對于滿足1 t 3的一切實(shí)數(shù)t,不等式x2 (t2 t 3)x t2(t 3) 0恒成立，則x的取值圍為.解答：分解因式易知(x t2) x (t 3) 0 所以必須有同正或同負(fù)包成立點(diǎn)評：通過這幾個題目的對比，所以我們發(fā)現(xiàn)雖然我們常說對哪個參數(shù)包成立就看成是哪個參數(shù)的函數(shù)，但是有時候也需要轉(zhuǎn)變思維，不能太死板3x x 7.已知f(x) J 3a 4,若對任意的x 1,3 , f(x) 0恒成立，求a的取值圍類題：(10.).將邊

12、長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形的面積梯形，記s (梯形的周長)g(x)的取小值為g(3一) - - ln(3a) 1,解得：a 一。故所求a 。，則S的最小值是點(diǎn)評：二次比二次型的值域問題，一定要熟練掌握，先分離常數(shù)，轉(zhuǎn)變成一次比二次，設(shè)一次為t,轉(zhuǎn)變成關(guān)于t的對勾函數(shù)，解決值域另外一次比一次型的其實(shí)只是對稱中心改變而已，可以直接畫圖，建議跟學(xué)生講明白. f (x) 水產(chǎn) n的最大值是9 ,最小值是1,求m與n的值x 1解答：整理成關(guān)于x的二次函數(shù)，由題意知二次函數(shù)一定有解，所以有 0恒成立，轉(zhuǎn)變成關(guān)于y的一個二次函數(shù)包成立，易知5和9是它的兩個根，容易把

13、 m,n求出來點(diǎn)評：此題比較特殊，只要講過，那么以后碰到這類題，就不再那么無從下手了. (08)已知 f(x) ax3a3 333點(diǎn)評：當(dāng)遇到包成立問題，有參數(shù)時，或許可以看看定義域，先適當(dāng)?shù)膲嚎s一下圍，或許可以 避免一些不必要的討論 3x 1 對于 x 1,1 總有 f(x) 0成立，則 a=解：f(x) 3ax2 3法1:分離變量，求最值法2:直接求導(dǎo).若不等式|ax3 lnx1對任意x (0,1都成立，則實(shí)數(shù)a取值圍是.1 3ax3 1斛析：顯然 x 1 時，有 |a| 1,a 1,or,a 1。令 g(x) ax ln x, g (x) 3ax2 - 當(dāng)a1 時，對任意 x (0,1,

14、 g (x)3 axx0, g(x)在(0,1上遞減,g(x)min g(1) a 1,此時g(x) a,), | g(x)|的最小值為0,不適合題意。當(dāng)a 1時，對任意x (0,1, g (x)%一1 1 e2一 e2 0 x /x- 3a.設(shè)常數(shù) a 0,函數(shù) f(x) x ln2 x 2a In x 1 (x (0,).(I)令g(x) xf (x) (x 0),求g(x)的最小值,并比較g(x)的最小值與零的大小; (II )求證：當(dāng) x 1 時，恒有 x ln2 x 2aln x 1 .解(I) ; f (x) x (In x)(ln x) 2a In x 1 , x (0, TOC

15、 o 1-5 h z 112a. f (x) 1 ln x (ln x) ,1xx xg (x) xf (x) x 2ln x 2a , x (0,)2x2g(x) 1 ，令g(x) 0,得 x 2, x x易知f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,)單調(diào)遞增g(x)在x 2處取得極小值g(2) 2 2ln 2 2a,即g(x)的最小值為g(2) 2 2ln 2 2a .)21n x 2ax xg(2) 2(1 ln 2) 2a,v ln 2 1 , 1 ln2 0 ,又 a 0 ,g(2) 0 .證明(n)由(i)知，g(x)的最小值是正數(shù)，對一切 x (0,)，恒有 g(x) xf (x

16、) 0 , 從而當(dāng)x 0時，恒有f (x) 0 ,故f(x)在(0, 8)上是增函數(shù). 當(dāng) x 1 時，f (x)f(1),f(1) 1 ln21 2aln1 1 0f (x) 0,即 x 1 ln2 x 2a ln x 0 , x ln2 x 2a ln x 1 故當(dāng)x 1時，恒有x ln2 x 2aln x 1 .點(diǎn)評：此題又是有那么一點(diǎn)點(diǎn)特殊，當(dāng)我們難以處理導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況時， 我們或許可以想想 是什么導(dǎo)致了我們難以處理，是否可以通過判斷 xf(x)的正負(fù)來確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，但是本題 由于題目一步步的提示你怎么做，所以就缺少了應(yīng)有的美感12. f(x) x2 1,對 x -, 3解答：化

17、簡易得(4 4m2) mx2 2x 32x,f () 4m2f(x) f (x 1) 4 f (m)恒成立，求 m的取值圍 m點(diǎn)評：分離變量時不一定要分離成單個變量，要知道整體分離也是一樣的，不能太死板當(dāng)然此題也可以轉(zhuǎn)變成二次函數(shù)帶參數(shù)在已知定義域上的最值討論f(x) x a, g(x) 2 x 4a , F (x)上(x) g(x)若 F(x) 2 J7 包成立，求 a 的圍 x4 xa解答：F(x) 4a(1 1)x 2x a 4法一：易知這題為：系數(shù)之積為正，肯定是對勾函數(shù)，系數(shù)之積為負(fù)，直接單調(diào)所以只需對a的臨界點(diǎn)進(jìn)行討論即可法二：求導(dǎo)，轉(zhuǎn)變成二次函數(shù)根的討論2x7 一 .1 11 1

18、f (x) 2 , g(x) x 3ax ,右對 x1 一，一，總存在 x21,一,使得x182 22 2g(x2) f(x1)成立，求正整數(shù)a的最小值解答：分析題目易知f (x)值域?yàn)間(x)值域的子集，轉(zhuǎn)變成求g(x)的最值g(x) 3x2 3a15.函數(shù) f(x) xIn x,不等式f(x) 2bw0在x (0,)上有解，數(shù)b的取值圍1 ln xx In x 1解析：f (x) 1 2, 即 f (x) 2,xx點(diǎn)評：此題需要使用觀察法，容易發(fā)現(xiàn)1是零點(diǎn)，然后討論單調(diào)性類題：(、宿遷市2013屆高三期末)已知函數(shù)f(x) ax x2 xln a(a 0,a 1).(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)

19、(0, f(0)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間；(3)若存在xx2 1,1,使得|f(x1)f(x2) e 1(e是自然對數(shù)的底數(shù))，數(shù)a的取值圍.解答：f(x) axlna 2x ln a容易發(fā)現(xiàn)0是零點(diǎn)，然后對a圍，x圍討論點(diǎn)評：通過這兩題我們發(fā)現(xiàn)，有時候難以處理導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況時，我們需要使用觀察法去尋找它的零點(diǎn)，從而進(jìn)行討論，看是否能確定單調(diào)性(零點(diǎn)通常是1,eJ)等等e.已知函數(shù)f(x) x2 2a cosk In x(k N , a 0),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;解析：由已知得x0且f(x) 2x ( 1)k型.x當(dāng)k是奇數(shù)時，f(x) 0,則f(x)在(0,)上是增

20、函數(shù)；當(dāng)k是偶數(shù)時，則f1(x) 2x型2(x a)(x -a).已知函數(shù)g(x) 1 ln x在1 , +oo)上為增函數(shù)，且 (0,) , f(x) mx U lnx ，怵Rxx(1)若f(x) g(x)在1 , +oo)上為單調(diào)函數(shù)，求 m的取值圍；(2)設(shè)h(x)空，若在1 , e上至少存在一個小,使f(%) g(%) h(%)成立，求m的取值圍. x2mmx 2x m TOC o 1-5 h z 解析：(1) f(x) g(x) mx 21nx. f (x) g(x) 2 .xx f(x) g(x)在其定義域?yàn)閱握{(diào)函數(shù), mx2 2x m 0 或者 mx2 2x mW0在1 , +

21、00)恒成立.，* 一 22xmx 2x m 0 等價于 m(1 x ) 2x 即 m 2 ，1 x2xx2 121，x x2Txmxx 2x mW0 等價于 m(1 x2) 2x ,即 m w _2x 在1 , +oo)恒成立,1 x一 2x而 F e (0, 1 , m 0 .x 1 TOC o 1-5 h z 綜上，m的取值圍是，0 |J 1，.(2)構(gòu)造 F (x) f (x) g(x) h(x) , F (x) mx m 2ln x 空.xx當(dāng)m w 0時，x 1,e , mx m 0 , 2ln x空 0 , mx2m 0,所以(F (x) 0 在 x 1,e包成立.故F(x)在1

22、,e上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)max F(e) me m 4 , 只要me m 4 0 ,解得m 一包eee 1故m的取值圍是(上，).e 118. (2014.03 錫常鎮(zhèn)一調(diào))已知函數(shù)f (x) mx aln x m, g(x) x ,其中 m a均為實(shí)數(shù).e(1)求g(x)的極值;x2) , f (X2)f (Xi)，包成立，求a的最小值; g(x2)g(x1)(2)設(shè)m 1,a 0 ,若對任意的 x1, x2 3,4 (x(3)設(shè)a 2 ,若對任意給定的X0 (0,e,在區(qū)間(0,e上總存在t/K t?),使得f(t1) ft) g(%) 成立，求m的取值圍.X 1X解析：g(x) exex

23、 吟:1令g(x) 0易得x 1(e )e所以9(刈在(，1)上單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減 所以當(dāng)x 1時，g(x)有極大值，極大值為1無極小值1、，、m 1,a 0時，易證f(x)單增，單減 g(x)i i .不妨設(shè)Xi X2 所以有f(x2) f(x1) 恒成立g(X2) g(xi)一ii . . i .即f(x2) f(xi) 恒成立由題易知必須有f (x) 單減g(x2)g(xi)g(x)求導(dǎo)整理得a x ex1 J在3,4包成立易證右邊這個函數(shù)單調(diào)減x所以有a 3 2e23(3)易知 x00,e 時，0 g(x0) 1f (x) mx 2ln x m(0 x e)j2f (x)

24、m - x由題可知f (x) g(x0)在0,e上有兩根m 0時，f(x)單調(diào)不合題意m 0時，由f(x) 0易得x -所以函數(shù)在0,- 單減，在 -,e單增mmm畫出f(x)簡圖如下由題要有兩個跟f(e) 1于是我們有f(-) m2 e -m3 m 0容易得到 e 1f(-) 0 m19.設(shè)函數(shù)f(x)一一 .一一， 21所以顯然有f(-) mf(1) 0綜上所述,x2 bln(x 1),其中 b0.1(I)當(dāng)b 1時，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；2求函數(shù)f (x)的極值點(diǎn)；證明對任意的正整數(shù)n,不等式ln(1 1) 4 4都成立. n n n解:(I)函數(shù)f (x) x2 bln(x 1)的定義域?yàn)?,. f (x)2x2x2 2x bx 1 TOC o 1-5 h z .o11令g(x) 2x 2x b,則g(x)在 -,上遞增，在 1,- 上遞減，,、，1、1,g(x)ming(-)-b.22112,當(dāng) b -時，g(x)min - b 0 , g(x) 2x 2x b 0在 1,上包成立.f (x