1、板塊四 .平面對量的應用典例分析題型一：向量綜合【例 1】 設 a , b , c 是任意的非零平面對量,且相互不共線,就： a b c c a b 0 a b a b2 2 b c a c a b 不與 c 垂直 3 a 2 3 a 2 9 a 4 b 中,真命題是（）A B C D【例 2】 設向量 a, 滿意： | a | 3, | b | 4,a b 0以 a, ,a b 的模為邊長構成三角形,就它的邊與半徑為 1的圓的公共點個數最多為（）A 3 B 4 C 5 D 6【例 3】 已知 A 1 3,B 3 7,C 6 0,D 8 , 1,求證： AB CD 已知a 3,2,b4 4求

2、2a3 b , cosa , bab,求 x 、 y 的值 已知axy1 2xy ,bxy , x2y2,如 23【例 4】 關于平面對量a, , 有以下三個命題：如 a b=a c,就 bc 如a1,k,b 2 6, ab,就k3非零向量 a 和 b 滿意 abab ,就 a 與 ab 的夾角為 60 其中假命題的序號為（寫出全部真命題的序號）【例 5】 如圖,以原點和A5 2為頂點作等腰直角OAB ,使B90,求點 B 和向量 AB的坐標1 【例 6】 設 A a, ,B 2, ,C 4, 為坐標平面上三點,O 為坐標原點,如 OA與 OB在 OC 方向上的投影相同,就 a 與 b 滿意的

3、關系式為（）A 4 a 5 b 3 B 5 a 4 b 3 C 4 a 5 b 14 D 5 a 4 b 14【例 7】 已知 P x y ,A 1,0,向量 PA 與 m 1,1 共線 . （1）求 y 關于 x 的函數；（2）是否在直線 y 2 x 和直線 y 3 x 上分別存在一點 B C ,使得滿意 BPC 為銳角時 x 取值集合為 x x 7 或 x 7？如存在,求出這樣的 B C 的坐標；如不存在,說明理由 . 【例 8】 已知向量 a b 滿意 | a | | b | 1,且 | a kb | 3 | ka b ,其中 k 0 . （1）試用 k 表示 a b ,并求出 a b

4、的最大值及此時 a與 b 的夾角 的值；（2）當 a b取得最大值時,求實數,使 | a b 的值最小,并對這一結果作出幾何說明 . 【例 9】 已知點 O（0,0）,A（1,2）,B（4,5）及 OP OA t AB OP OA AB求： 1 t 為何值時, P 在 x 軸上？ P 在 y 軸上？ P在其次象限？t 值；如不能,2 四邊形 OABP 能否成為平行四邊形？如能,求出相應的請說明理由 . 2 【例 10】已知 A、B、C 是直線 l 上的不同的三點,O 是外一點,向量OA OB OC 滿意OA3x21OBln23 yOC0,記yf x .求函數yf x 的解析2式；【例 11】已

5、知Pa a1 0m0 1, ,mR,Qb b1 1n 1 1, ,nR是兩個向量集合,就PQ（）C 1 0D 0,1A 1 1B 1 1題型二：與三角函數綜合【例 12】已知向量 a 2cos ,2sin , , , b 0, 1,就向量 a 與 b 的2夾角為（）A3 BCD2 2 2【例 13】已知 a b c, 為 ABC 的三個內角 A B C, , 的對邊,向量 m 3,1,n cos A,sin A 如 m n, 且 a c o s B b c o s A c si n C, 就 角B【例 14】已知向量 a cos,sin ,b cos,sin ,且 a b ,那么 a b與 a

6、 b 的夾角的大小是 _【例 15】已知向量acos3x,sin3x,bcosx,sinx,且x, . x 的值 . 22222求 a b 及 ab ；ab 的最大值,并求使函數取得最大值時求函數f x a b3 【例 16】如a =cos,sin,b=cos,sin,且k a + b3ak b ,其中k0（1）用 k 表示 a b ；（2）求當k1時, a與 b 所成角0 的大小【例 17】已 知向量m =cos,sin和n =2sin,cos, 2 ,且m + n8 2 5,求 cos2的值c =,0,0,8【例 18】設a =1cos,sin,b =1cos,sin,a 與 c 的夾角為

7、1, b 與 c 的夾角為2（ 1）用表示x1；（2）如1,2,求6sin4的值a（xRaR, a【例 19】已知 O 為坐標原點,OA2cos2x, ,OB1 3sin 2為常數）,如 yOA OB ,f x xR的（1）求 y 關于 x 的函數解析式f x ；（2）如x0 2時,f x 的最大值為 2,求 a 的值,并指出函數單調區間4 【例 20】在銳角ABC中,已知 2cosA2cosB32cosAB ,求角 C 的度數【例 21】設0,2,向量acos,sin,b1 2,32證明：向量 ab 與 ab 垂直； 當 2aba2 b 時,求角【例 22】已知點A2 , 0,B0 , 2,

8、Ccos, sin,且 0 如OAOC7,求 OB 與 OC 的夾角；0 , 4,C3cos, 3sin如 ACBC ,求 tan的值【例 23】已知 A、 B 、 C 的坐標分別為A 4 , 0,B如, 0且 ACBC ,求角的值；8,且x. 如AC BC0,求2sin2sin2的值1tan【例 24】已知向量acosx ,sinx , b2,2,如a b542試求出 cosx和 tanx的值； 求sin 2 1 tan 1 tan x的值 . 445 【例 25】設向量 a 3sin x,cos x,b cos x,cos x,記 f x a b 求函數 f x 的最小正周期； 畫 出 函

9、 數 f x 在 區 間 ,11 的 簡 圖 , 并 指 出 該 函 數 的 圖 象 可 由12 12y sin x x R 的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？如 x ,函數 g x f x m 的最小值為 2,試求出函數 g x 的最大6 3值并指出 x 取何值時,函數 g x 取得最大值【例 26】已知向量 a cos 3 x , sin 3 x,b cos x , sin x,且 x 0 , ,2 2 2 2 2求 a b 及 ab ；3 2,求的值cos3 x, sin3 x,其中如fxa b2ab 的最小值是【例 27】設 平面上 P 、 Q 兩點的坐標分別是cosx, sinx

10、2,222x0 ,2求 PQ 的表達式；記f x PQ24PQR,求函數f x 的最小值6 【例 28】a b c 為ABC 的內角 A、B、C 的對邊,mcosC,sinC,ncosC 2,sinC,222且 m 與 n 的夾角為3,求 C；m2,0與【例 29】在ABC中, a, b, c 分別為角A 、 B、 C 的對邊；如向量nsinB,1cosB的夾角為3,求角 B 的大小、Ccos,sin,2,3.【例 30】已知 A、B、C 三點的坐標分別為A 3,0、B0,32（1）如 |AC| |BC ,求角的值；（2）如ACBC1,求2sin2sin2的值；1tan【例 31】已 知 ：

11、A 、 B 、 C是ABC 的 內 角 ,a b c 分 別 是 其 對 邊 長 , 向 量m3,cosA1,ncos2A,1, mn .求角 A 的大小；7 【例 32】在 ABC 中,已知角 A為銳角,向量2sin A sin Am 2 2 2,tan A,sin 2 A sin 2 A 22 2 2n cos 2 1,sin 2 ,f A m n 2 2向量 m n 時,求 A；求 f A 的最大值如 A B 7 ,f A 1,BC 2,求 ABC 的三個內角和 AC 邊的長12【例 33】如圖,在平面直角坐標系 xOy 中,點 A 在 x 軸正半軸上,直線 AB 的傾斜角為3 ,4OB

12、2,設AOB,3 42用表示點 B 的坐標及 OA ；如tan4,求 OA OB 的值3yBOAx題型三：平面對量在平面幾何【例 34】在直角坐標系 xOy 中,已知點A（0,1）和點 B（3,4）,如點 C 在AOB的一平分線上,且|OC|2,就 OC_. 8 【例 35】在平行四邊形 ABCD 中, AC 與 BD 交于點 O , E 是線段 OD 的中點, AE 的延長線與 CD 交于點 F 如 AC a , BD b ,就 AF =（）A DE FOB CA1a 1b B2a 1b4 2 3 3C1a 1b D1a 2b2 4 3 3【例 36】如 O 是 ABC 內一點,OA OB

13、OC 0,就 O 是 ABC 的（）內心 B外心 C垂心 D重心AOBECD【例 37】如點 O 是ABC 的外心,且 OA OB CO 0,就內角 C 的大小為 _ 【例 38】在 ABC 中, O 為中線 AM 上的一個動點,如 AM=2 ,就 OA OB OC 的最小值為ABC 的重心,MA. b ,用a b 表示AB AC BC 【例 39】已知點 M 是a MBAF EMBDC9 【例 40】在 ABC 中,已知向量 AB 與 AC 滿意 |AB|AC|BC0且|ABAC|1 2,ABACAB| |AC就 ABC 為（）AOB 內,且AOC30o,設A三邊均不相等的三角形B直角三角形

14、C等腰非等邊三角形D等邊三角形【例 41】已知OA1,OB3,OA OB0,點 C 在OCmOAnOBm nR ,就m n等于（）3A1 3B3 C3D3【例 42】 O 是 平 面 內 一 定 點 , A , B , C 是 平 面 上 不 共 線 的 三 個 點 , 動 點 P 滿 足OPOAABAC,0,就 P 的軌跡肯定通過ABC 的 ABACA外心B內心C重心D垂心 求證 ACBD. 【例 43】已知：如下列圖,ABCD 是菱形, AC 和 BD 是它的兩條對角線【例 44】證明：三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍【例 45】四邊形 ABCD 中,AB6,1,BC ,

15、 x y CD 2, 3（1）如 BC / / DA ,試求 x 與 y 滿意的關系式；（2）滿意（ 1）的同時又有 AC BD ,求 ,x y 的值及四邊形 ABCD 的面積；10 【例 46】求證：已知點 G 是ABC 的重心, 過 G 作直線與 AB 、AC 兩邊分別交于 M 、 N兩點,且設AMxAB , ANyAC ,就1 x13yAMNGB C【例 47】非 正ABC 的 外 接 圓 的 圓 心 為 O , 兩 條 邊 上 的 高 的 交 點 為 H ,OH m OA OB OC,求實數m的值【例 48】如 圖,設 G 為 OAB 的重心,過 G 的直線與 OA OB 分別交于 P

16、 和 Q ,已OPhOA, OQkOB ,OAB 與OPQ 的面積分別為S 和 T 求證：1 h13；4 S9T1Sk2OPGQAMB題型四 : 平面對量的實際應用（含物理中的應用）【例 49】假如一架向東飛行200km,再向南飛行300km,記飛機飛行的路程為s,位移為 a,就s|a| BDs 與|a|不能比大小【例 50】一個 30o的斜面上放有一個質量為1kg 的球,如要保持球在斜面上靜止不動,應沿斜面方向給球多大_力;如表示球的重力的向量為p,球對斜面的壓力為 ,就球的重力沿斜面方向的分力 不動的推力 f = f=_保持球在斜面上靜止【例 51】點 P 在平面上作勻速直線運動,速度向量

17、v =（ 4,3）（即點 P的運動方向與v 相同,且每秒移動的距離為 |v |個單位 .設開頭時點 P 的坐標為（ 10, 10）,就 5 秒后點 P 的坐標為 A（ 2, 4）B （10,5）C （ 30,25）D （5, 10）【例 52】設炮彈被以初速 v0 和仰角 拋出（空氣阻力忽視不計）.起初速度 v0 的大小一定時,發射角 多大時,炮彈飛行的距離最遠 . 【例 53】某人騎車速度 v a ,方憧憬東,此時感到風從正北方吹來,如將速度加快一倍,就感到風從東北方向吹來,求風速與風向 . PBAC【例 54】在靜水中劃船的速度是每分鐘40,水流的速度是每分鐘20,假如船從岸邊出發,徑直沿

18、垂直與水流的航線到達對岸,那么船行進的方向應當指向何處？【例 55】已知三個力F 13,4,F 22,5,F 3 , x y的合力F 1F 2F 30,求F；F F的夾角是直角,且已知它們的合力F 與F的夾角為3,【例 56】已 知兩個力F10N ,求F F 的大小；12 【例 57】一條河的兩岸平行,河寬 d 400 m,一小船從 A 處動身航行到對岸,小船速度為 v 1 3 m 秒 ,水流速度為 v 2 2 m 秒 ；1當 v v之間的夾角 為多少時,小船才能到達正對岸 B 處,此時位移的大小,方向怎樣？時間是多少？2 當v v之間的夾角為多少時,小船航行的時間最短？此時位移的大小方向怎樣

19、？時間是多少？【例 58】如圖,甲船以每小時302 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行, 當甲船位于 A 處時, 乙船位于甲船的北偏西 105 的方向 B 處,此時兩船相距 20海里當甲船航行 20分鐘到達 A 處時,乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 B 處,此時兩船相距 10 2 海里,問乙船每小時航行多少海里 . 題型五：與解析幾何結合【例 59】如 圖,拋物線y12 x 上有兩點A x 1,y 1、B x 2,y 2,且OAOB0,又2OM0,2,如 a 與 b 的夾角為 60 ,就求證： AMAB；如MA2MB ,求 AB 所在直線方程【例 60】已知向量a2co

20、s,2sin,b3cos,3sin直 線 2xc o sy 2s i n1與 圓xcos2ysin21的 位 置 關 系 是（）D相離B 相交且過圓心C相切A相交但不過圓心13 【例 61】已知M4,0,N1,0,如動點P x y 滿意MNMP6|NP ,求動點P 的軌跡方程. 【例 62】已知兩點M 1,0,N1,0,且點 P 使MPMN PM PN NMNP 成公差小于0 的等差數列 .（1）點 P 的軌跡是什么曲線？（2）如點 P 的坐標為x 0,y0,記為PM 與 PN 的夾角,求 tan. 1,B 是直線 l 上的動點,AOB 的【例 63】如圖,給出定點A a ,0a0和直線l:x

21、平分線交 AB 于點 C ,求點 C 的軌跡方程 . y B C lO A x y24pxp0上 非 原 點 O 的 兩 個 動 點 , 已 知【例 64】如 圖 , 設 點A B 為 拋 物 線O AO B, OMAB ,求點 M 的軌跡方程,并說明它表示什么曲線？yO A xM B 14 【例 65】已知射線 OA、OB 的方程分別為 y 3 x x 0,y 3 x x 0,動點 M、3 3N 分別在 OA 、OB 上滑動,且 MN 4 3；（1）如 MP PN ,求 P 點的軌跡 C 的方程；（2）已知 F 1 4 2,0,F 2 4 2,0,請問在曲線 C 上是否存在動點 P 滿意條件

22、PF 1 PF 2 0,如存在,求出 P 點的坐標,如不存在,請說明理由；【例 66】在平面直角坐標系中,O 為坐標原點,已知點 M 1, 3,N 5,1,如點 C 滿意2OC tOM 1 t ON t R,點 C 的軌跡與拋物線 y 4 x 交于 A、B 兩點；（1）求點 C 的軌跡方程；（2）求證： OA OB ；（3）在 x 軸正半軸上是否存在肯定點 P m ,0,使得過點 P 的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的 2 倍,如存在,求出 m 的值；如不存在,請說明理由 . 15 【例 67】已知定點F1,0,動點 P 在 y 軸上運動,過點P 作 PM 交 x 軸于點 M ,并延長MP 到點 N ,且PMPF0,PMPN（）求點 N 的軌跡；（）直線 l 與 N 的軌跡交于 A、B兩點,如OA OB4,且 4 6AB4 30,求直線 l 的斜率 k 的取值范疇【例 68】a , x y2,b , x y2,ab8,（）求 M,x y 的軌跡 C；A,B 兩點, OPOAOB ,是否存在直過點（ 0,3）作直線 l 與曲線交于線 l 使 OAPB 為矩形【例 69】已知 a =（x,0）, b =（1,y）,（ a +3 b）（ a 3 b）（I） 求點（x,y）的軌跡 C 的方程；（II） 如直線 l： y=kx+m m0與曲線 C 交于 A、B 兩點, D（