1、對數(shù)函數(shù)下的 N次冪凸函數(shù)與Jensen型不等式摘要: 結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)中的對數(shù)函數(shù)來給出N次冪凸函數(shù)的定義和判斷N次冪凸函數(shù)的幾個定理，建立關(guān)于N次冪凸函數(shù)的Jensen型不等式關(guān)鍵詞: 對數(shù)函數(shù)；凸函數(shù)；N次冪凸函數(shù)；Jensen型不等式引 言凸函數(shù)的重要性及其應(yīng)用價值已為大家所熟知，尤其在不等式研究中，凸函數(shù)所發(fā)揮的作用是無可替代的本文對照凸函數(shù)和平方凸函數(shù)的概念提出N次冪凸函數(shù)的概念，給出了關(guān)于N次冪凸函數(shù)的六個性質(zhì)，并且建立了關(guān)于N次冪凸函數(shù)的Jensen型不等式，進一步拓展了凸函數(shù)的研究領(lǐng)域，擴大了凸函數(shù)的應(yīng)用價值，使凸函數(shù)在不等式研究中發(fā)揮更加廣泛的作用中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)模型中學(xué)數(shù)學(xué)中

2、有一個典型的函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)，從對數(shù)函數(shù)的圖像來講，當(dāng)當(dāng)時，其在定義域上的圖像呈現(xiàn)向上凸的形狀；時，其在定義域上的圖像呈現(xiàn)向下凸的形狀，符合這種圖像特征的函數(shù)我們稱之為凸函數(shù)a10a1圖象 y y=logaxO (1,0) x y y=logax O (1,0) x定 義設(shè)在區(qū)間上有定義，如果對任意，有則稱在區(qū)間上是下凸函數(shù)；如果上式不等號反向，則稱在區(qū)間上是上凸函數(shù)具 體 模 型：若函數(shù)，對于任意的，當(dāng)時，函數(shù)滿足，我們稱函數(shù)在上為下凸函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)滿足，我們稱函數(shù)在上為上凸函數(shù).拓 展 定 義 設(shè)在區(qū)間上有定義，如果對任意，有則稱在區(qū)間上是下凸函數(shù)；如果上式不等號反向，則稱在區(qū)間上是上凸

3、函數(shù)預(yù)備知識在引入新概念之前，我們再給出一個常用概念平方凸函數(shù)我們知道，通過算術(shù)平均值、幾何平均值、調(diào)和平均值可以分別用來定義凸函數(shù)、幾何凸函數(shù)、調(diào)和凸函數(shù)的概念，運用這一規(guī)律，我們利用凸函數(shù)與平方凸函數(shù)的概念模式，再結(jié)合N次冪平均值，進一步建立了N次冪凸函數(shù)的概念定 義 設(shè)是定義在區(qū)間上的正值函數(shù)，如果對任意，有則稱在區(qū)間上是平方下凸函數(shù)；如果上式不等號反向，則稱在區(qū)間上是平方上凸函數(shù)定 義 設(shè)是定義在區(qū)間上的正值函數(shù)，如果對任意，有則稱在區(qū)間上是次冪下凸函數(shù)；如果上式不等號反向，則稱在區(qū)間上是次冪上凸函數(shù)次冪凸函數(shù)性質(zhì)我們已經(jīng)給出了N次冪凸函數(shù)的概念，這里我們針對凸函數(shù)的特點，給出一個引理

4、，來進一步研究N次冪凸函數(shù)，其反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、倒數(shù)函數(shù)、和函數(shù)的凸性，以及凸函數(shù)與N次冪凸函數(shù)的關(guān)系，并且給出了利用導(dǎo)數(shù)來判斷N次冪凸函數(shù)的一種方法引 理若是區(qū)間（）上的正值下凸（上凸）函數(shù)，則為上的次冪下凸（上凸）函數(shù)證明任取，因為是區(qū)間上的下凸函數(shù)，所以又于是根據(jù)定義，為上的次冪下凸函數(shù)定 理 設(shè)區(qū)間，若為上嚴(yán)格增加的次冪下（上）凸函數(shù)，則反函數(shù)為上嚴(yán)格增加的次冪上（下）凸函數(shù).若為上嚴(yán)格減少的次冪下（上）凸函數(shù)，則反函數(shù)為上嚴(yán)格減少的次冪下（上）凸函數(shù).證明這里僅證定理1（）的前一種情況，其他同理可證因為在上為嚴(yán)格遞增函數(shù)，所以反函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)任取，則存在使 ，因為為上是次冪下凸

5、函數(shù)，所以對任意，有 即 （）且 ， 又的反函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，于是（）式化為即 根據(jù)定義以及在上是嚴(yán)格增函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增加的次冪上凸函數(shù)定 理 設(shè)是定義在區(qū)間上的正值函數(shù)，區(qū)間，區(qū)間若為上嚴(yán)格增加的次冪下（上）凸函數(shù)，為上的次冪下（上）凸函數(shù)，則為上的次冪下（上）凸函數(shù)若為上嚴(yán)格減少的次冪下（上）凸函數(shù)，為上的次冪上（下）凸函數(shù)，則為上的次冪下（上）凸函數(shù)證明這里僅證定理2（）的前一種情況，其他同理可證任取，因為為上的次冪下凸函數(shù)，則且 ， 又為上嚴(yán)格增加的次冪下凸函數(shù)，于是且 故 根據(jù)定義，為上的次冪下凸函數(shù)定 理 3設(shè)是定義在區(qū)間上的正值函數(shù)，若是區(qū)間上的次冪上凸函數(shù)，則

6、在區(qū)間上是次冪下凸函數(shù)證明任取，因為是區(qū)間上的次冪上凸函數(shù)，所以又由Cauchy不等式，可得于是即根據(jù)定義，在區(qū)間上是次冪下凸函數(shù)定 理 4設(shè)是定義在區(qū)間上的正值函數(shù)，若是區(qū)間上的次冪上凸函數(shù)，則在區(qū)間上是次冪上凸函數(shù)證明任取，因為是區(qū)間上的次冪上凸函數(shù)，所以運用inkowski不等式，得于是 根據(jù)定義，在區(qū)間上是次冪上凸函數(shù)定 理 5 設(shè)是定義在區(qū)間上的正值函數(shù)，若在區(qū)間上是嚴(yán)格減少的下凸函數(shù)，則在區(qū)間上是次冪下凸函數(shù)證明 任取，因為在上是下凸函數(shù)，所以對任意，有運用加權(quán)平均冪不等式，得于是又在上是減函數(shù)，且于是 因此根據(jù)定義，在區(qū)間上是次冪下凸函數(shù)定 理 設(shè)是定義在區(qū)間上的正值函數(shù)，在上存

7、在二階導(dǎo)數(shù).若對于任意,則為區(qū)間上的次冪下凸函數(shù).若對于任意,則為區(qū)間上的次冪上凸函數(shù).證明這里僅證定理6（），定理6（2）同理可證.不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，由定理（）的條件可知，所以在上是下凸函數(shù)，根據(jù)引理，在區(qū)間上是次冪下凸函數(shù).Jensen型不等式Jensen不等式是關(guān)于凸函數(shù)的一個著名不等式，本文給出了定義3中N次冪凸函數(shù)的一般情形，建立了關(guān)于N次冪凸函數(shù)的Jensen型不等式，進一步擴大了Jensen不等式的研究領(lǐng)域，使Jensen不等式在不等式的研究中的應(yīng)用更加廣泛定 理7 設(shè)為區(qū)間上的次冪下凸函數(shù)，且，則若為區(qū)間上的次冪上凸函數(shù)，則上述不等式的不等號反向證明（數(shù)學(xué)歸納法）（）當(dāng)時，由次

8、冪下凸函數(shù)的定義知，對于任意，且，有不等式成立（）假設(shè)時，有不等式成立 其中 ， 且 .（）當(dāng)時，成立 其中 ， 且 .綜合以上（）（）（）可知，定理成立小 結(jié)本文結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)中的對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，利用凸函數(shù)與平方凸函數(shù)的概念模式，結(jié)合N次冪平均值，建立了N次冪凸函數(shù)的概念，給出了關(guān)于N次冪凸函數(shù)的六個性質(zhì)，主要是N次冪凸函數(shù)其反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、倒數(shù)函數(shù)、和函數(shù)的凸性，以及凸函數(shù)與N次冪凸函數(shù)的關(guān)系，并且給出了利用導(dǎo)數(shù)來判斷N次冪凸函數(shù)的一種方法最后，我們給出了定義3中N次冪凸函數(shù)的一般情形，建立了關(guān)于N次冪凸函數(shù)的Jensen型不等式，進一步擴大了Jensen不等式的研究領(lǐng)域，使Jensen不等式在不等式研究中的應(yīng)用更加廣泛參 考 文 獻華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析 M . 北京: 高等教育出版社,1991.197.吳善和. 平方凸函數(shù)與琴生型不等式 J . 自然科學(xué) . 2005, 26 (1) : 16.匡繼昌. 常用不等式 M . 濟南: 山東科學(xué)技術(shù)出版社 , 2004.89.李文榮,