1、對于一步轉移概率矩陣收斂快慢問題的解答一、問題描述一步轉移概率矩陣收斂有快慢之分，請給出判斷矩陣收斂快慢的解決方案。二、問題解答假設初始狀態為X,一步轉移概率矩陣為P,則根據馬爾可夫過程理論可知：當nN（N為一個足夠大的常數）時,XPn=Y其中Y是一個穩定行向量。由例1.7得：假設X為初始狀態，一步轉移概率矩陣為P,則n01.0000000r0.33330.33330.333300AP=A*00.33330.33330.33330000.33330.33330.33330001.00000=(0.09090.27270.27270.27270.0909)其中n=38.r01.000000n0.

2、33330.33330.333300P=00.33330.33330.33330000.33330.33330.33330001.000000.09090.27270.27270.27270.09090.09090.27270.27270.27270.09090.09090.27270.27270.27270.09090.09090.27270.27270.27270.09090.09090.27270.27270.27270.0909其中n=38。同樣由例1.12得：假設X為初始狀態，一步轉移概率矩陣為P,則0.50000.500000_nr1.0000000AP=A*00.33330.66

3、6700.500000.50000=(0.66670.333300)其中n=25.而0.50000.500000_npn=.1.000000000.33330.666700.500000.500000.66670.3333000.66670.3333000.66660.33330.000000.66660.33330.00000其中n=25。經過一系列驗證，可以得出：結果的穩定性與初始狀態X無關，只與一步轉移概率矩陣P有關。并且矩陣收斂后，行和為1，每列上的值為相同值。而最終概率分布結果也是矩陣收斂后的一行。以下對最終概率分布結果也是矩陣收斂后的一行作簡要的證明：設初始概率分布X=(plp2p

4、3pn)，則p1+p2+pn=1.收斂后的一步轉移概率矩陣Pn=ala2a3.anala2a3.已門ala2a3.bn其中a1+a2+an=1.易得最終概率分布Y=XPn-(p1+p2+pn)a1(p1+p2+pn)a2(p1+p2+pn)an=a1a2an得證。在研究上面一類矩陣的同時，也對另一類矩陣進行了研究，如下：1.0000n00000100001000001000010000010000100000100001該矩陣不會收斂為每一列為同一個值。2.696000.01000.01000.01000.oioo-n0.20000.20000.20000.20000.20000.01000.

5、96000.01000.01000.0100u.20000.20000.20000.20000.20000.01000.01000.96000.01000.0100=u.20000.20000.20000.20000.20000.01000.01000.01000.96000.01000.20000.20000.20000.20000.20000.01000.01000.01000.01000.960020000.20000.20000.20000.2000，其中n=189.3.0.01000.01000.96000.01000.oio(Tn0,20000.20000.20000.20000.

6、20000.01000.96000.01000.01000.0100IJ.20000.20000.20000.20000.2000Q01000.01000.01000.01000.9600=120000.20000.20000.20000.20000.96000.01000.01000.01000.0100LL20000.20000.20000.20000.20000.01000.01000.01000.96000.0100120000.20000.20000.20000.2000，其中n=189.經過一系列的測試，得出這類矩陣也可以收斂，只不過收斂速度比較慢。而單位陣等一些矩陣，暫且總稱為類

7、單位陣（每一列上都有1出現），它們不存在收斂的性質，是以上測試矩陣的極限狀態。由以上兩個結論得出以下猜想：每一列比較均勻的矩陣收斂的速度較快；與類單位陣類似的矩陣收斂的速度較慢。而兩種極限情況分別是：列相同矩陣已經是收斂結果，類單位陣不會收斂。從概率意義上來說，兩種極限情況是可以解釋的。令s2=(s12+s22+sn2)/n，顯然s2=0.列相同矩陣表達的含義是：不同的當前狀態到下一步每一狀態概率都是相同的，所以下一次每個狀態都達到了穩定。類單位陣表達的含義是：當前不同狀態到下一步要么不改變狀態要么必定轉移到某一固定狀態。也就是說，下一步狀態轉移的概率是1或0，也就不存在概率的研究意義。根據以

8、上的猜想，提出了兩種刻畫矩陣收斂速度的方法。方法一：方差法(王文杰提出)由列相同矩陣出發，刻畫某一矩陣與列相同矩陣的相似程度，從而判斷出矩陣的收斂快慢。假設矩陣P=alla12alna21a22a2nanlan2ann，令v1,v2vn為每一列的平均值。則可計算出：第1列的方差：S12二(a11-v1)2+(a21-v1)2+(an1-v1)2/n第2列的方差：S22=(a12-v122+(a22-v2)2+(an2-v2)2/n第n列的方差：sn2=(a1n-vn)2+(a22-vn)2+(ann-vn)2/nS2就是方差法用來刻畫一步轉移概率矩陣收斂快慢的量。當s2=0時，取最小值，此時一

9、步轉移概率矩陣每一列都相同，是矩陣收斂最快的極限。當s2=(n-1)/n2時，取最大值，矩陣為類單位陣,是矩陣收斂最慢的極限。所以，n階一步一轉移概率矩陣的S2值越小，矩陣收斂越快，反之，矩陣收斂越慢。以下是收斂速度與S2的關系示意圖:Pl=01.00000000.33330.33330.33330000.33330.33330.33330000.33330.33330.33330001.00000L矩陣收斂指數11_J110F用之前的5階矩陣進行驗證：S2(P1)=0.07022，而當n=38時矩陣收斂。0.96000.01000.01000.01000.0100_P2=0.01000.96

10、000.01000.01000.01000.01000.01000.96000.01000.01000.01000.01000.01000.96000.01000.01000.01000.01000.01000.9600S2(P2)=0.14440,而當n=189時矩陣收斂。1000001000P3=001000001000001S2(P3)=(5-1)/(n*n)=0.16000,該矩陣不會收斂。由以上三個矩陣可以得出S2(P1)S2(P2)P2p3。經過其他矩陣的驗證，該方法可以刻畫矩陣收斂的快慢。下面證明該方法的正確性。證明：方差是用來描述一系列數值的差異程度的量。各個數值相差越大，方差

11、越大；各個數值相差越小，方差越小。當各個數值相同時方差為0。而矩陣中，每一列方差可以刻畫該列數值的相差程度。當某列方差為0時，表示該列值相等。而總的方差是各方差之和的均值，所以方差法可以刻畫整個矩陣每一列的差異程度，即方差法可以刻畫一個矩陣與列相等矩陣的相似程度。方法二：行列式值法(周文為提出)由類單位陣出發，刻畫某一矩陣與類單位陣的相似程度，從而判斷出矩陣的收斂快慢。假設一步轉移概率矩陣為P,用det(P)就可以刻畫矩陣收斂的快慢。當矩陣的行列式的絕對值為1時，矩陣為類單位陣，不會收斂，是收斂最慢的極限。當矩陣行列式為0時，是收斂最快的極限。所以，矩陣行列式值越接近1，越與類單位陣類似，穩定

12、速率越慢。矩陣的行列式值越接近0，收斂越快。以下是收斂速度與det(P)的關系示意圖：用之前的5階矩陣進行驗證：01.0000000Pl=0.33330.33330.33330000.33330.33330.33330000.33330.33330.33330001.00000det(P1)=0.0370,而當n=38時矩陣收斂。0.96000.01000.01000.01000.0100_P2=0.01000.96000.01000.01000.01000.01000.01000.96000.01000.01000.01000.01000.01000.96000.01000.01000.01

13、000.01000.01000.9600det(P2)=0.8145，而當n=189時矩陣收斂。1000001000P3=001000001000001det(P3)=1.0000,該矩陣不會收斂。而穩定后的行列式的值為0。由以上矩陣可以得出0det(P1)det(P2)P2p3。經過其他矩陣的驗證，該方法可以刻畫矩陣收斂的快慢。下面證明該方法可以刻畫矩陣與類單位陣的相似程度。證明：a.對于2階矩陣P2=a11a12a21a22得det(P)=a11*det(c(11)+a12*det(c(12)=a11*a22-a12*a21其中c(ij)=(-1)j*m(ij)，m(ij)是aij的余子式

14、。即兩個對角線上的積作差。對于與類單位陣形似的矩陣可能出現a11*a22-1、a12*a21-0或者a11*a22-0、a12*a21-1兩種情況，所以|det(P2)卜1。所以，與類單位陣形似二階矩陣可以表示為較大兩項積與其他較小項積的運算，對于二階矩陣該運算為減法。由于，與類單位陣形似二階矩陣其他項很小，所以|det(P2)|約為較大兩項之積。b.假設n階與類單位陣形似矩陣Pn,|det(Pn)|約為某些值比較大的項的乘積。則對于n+1階與類單位陣形似矩陣P(n+1),|det(P(n+1)|二a11*det(c(11)+a12*det(c(12)+a1n*det(c(1n)其中c(ij)為n階n階與類單位陣形似矩陣Pn，即det(c(ij)約等于某些值比較大的項的乘積。在矩陣P(n+1)中，選取其中a1j最大者alm，其余第一行項接近0，得|det(P(n+1)|-a1m*det(c(1m)，即|det(P(n+1)|