1、2017 年北京市海淀區(qū) 考數(shù)學(xué)二模試卷（理 科）（解析版）2017年北京市海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分. TOC o 1-5 h z .若集合 A= -2, 0, 1, B=x|x0, M APB=（）A. -2 B. 1 C. -2, 1 D. -2, 0, 1.二項(xiàng)式&工尸的展開式的第二項(xiàng)是（）ISA. 6x4B. - 6x4 C. 12x4D. T2x4.已知實(shí)數(shù)x, y滿足,讓則2x+y的最小值為（）IA. 11 B. 3 C. 4 D. 2.圓x2+y2 - 2y=0與曲線y=| x| - 1的公共點(diǎn)個數(shù)為（）A. 4 B. 3 C. 2

2、D. 0.已知an為無窮等比數(shù)列，且公比q1,記Sn為時的前n項(xiàng)和，則下面結(jié)論正確的是（）A. a3a2B. a1+a20C. %2）是遞增數(shù)列D. Sn存在最小值.已知f （x）是R上的奇函數(shù)，則“1+x2=0”是“f（x1）+f （x2）=0”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C,充分必要條件 D.既不充分也不必要條件.現(xiàn)有編號為、的三個三棱錐（底面水平放置），俯視圖分別為圖1、圖2、圖3,則至少存在一個側(cè)面與此底面互相垂直的三棱錐的所有編號是（ ）A .B .C . D.已知兩個半徑不等的圓盤疊放在一起(有一軸穿過它們的圓心)，兩圓盤上 分別有互相垂直的兩條直徑將其分為四個區(qū)

3、域，小圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為xi, X2, X3, X4,大圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為 yi, y2, y3, y4,如圖所示.將小圓盤逆時針旋轉(zhuǎn)i (i=1, 2, 3, 4)次，每次轉(zhuǎn)動90,記Ti (i=1 , 2, 3,4)為轉(zhuǎn)動i次后各區(qū)域內(nèi)兩數(shù)乘積之和，例如 Ti=xiy2+x2y3+x3y4+x4yi.若 xi+X2+X3+X40, yi+y2+y3+y40,則以下結(jié)論正確的是（Ti, T2, T3, T4中至少有一個為正數(shù)Ti, T2, T3, T4中至少有一個為負(fù)數(shù)Ti, T2, T3, T4中至多有一個為正數(shù)Ti, T2, T3, T4中至多有一個為負(fù)數(shù)二、填空題共6小題，

4、每小題5分，共30分.在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)到直線 p cos 9的距離為.已知復(fù)數(shù) 一冒，則|z尸.在 ABC 中，A=2B , 2a=3b,貝U cosB=.已知函數(shù) f (x) =y-2x,則 f/)f (1)(填 4”或之)；f (x)在區(qū)間，士)上存在零點(diǎn)，則正整數(shù)n= . n n+1.在四邊形ABCD中，AB=2.若蘇=(貳十而)，則獲+前=.22.已知橢圓G:工51的兩個焦點(diǎn)分別為Fi和F2,短軸的兩b b/1個端點(diǎn)分別為B1和B2,點(diǎn)P在橢圓G上，且滿足| PB1|+| PB2| 二| PF1|+| PF2| .當(dāng)b變化時,給出下列三個命題：點(diǎn)P的軌跡關(guān)于y軸對稱；存在b使得橢圓G

5、上滿足條件的點(diǎn)P僅有兩個；|OP|的最小值為2,其中，所有正確命題的序號是.三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.37T37T. 已知函數(shù) f (x) =sin2xcos r -cos2xsirrr-.(I )求f (x)的最小正周期和對稱軸的方程；(H)求f (x)在區(qū)間0,上的最小值.為了響應(yīng)教育部頒布的關(guān)于推進(jìn)中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見，某校計(jì)劃 開設(shè)八門研學(xué)旅行課程，并對全校學(xué)生的選擇意向進(jìn)行調(diào)查(調(diào)查要求全員參 與，每個學(xué)生必須從八門課程中選出唯一一門課程).本次調(diào)查結(jié)果整理成條 形圖如下.圖中，已知課程 A, B, C, D, E為人文類課程，課程F,

6、G, H為 自然科學(xué)類課程.為進(jìn)一步研究學(xué)生選課意向，結(jié)合圖表，采取分層抽樣方法 從全校抽取1%的學(xué)生作為研究樣本組(以下簡稱 組M ) .(I )在組MT中，選擇人文類課程和自然科學(xué)類課程的人數(shù)各有多少？(n )為參加某地舉辦的自然科學(xué)營活動，從 組M所有選擇自然科學(xué)類課程的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)前往，其中選擇課程F或課程H的同學(xué)參加本次活 動，費(fèi)用為每人1500元，選擇課程G的同學(xué)參加，費(fèi)用為每人2000元.(i )設(shè)隨機(jī)變量X表示選出的4名同學(xué)中選擇課程G的人數(shù)，求隨機(jī)變量X 的分布列；(ii)設(shè)隨機(jī)變量Y表示選出的4名同學(xué)參加科學(xué)營的費(fèi)用總和，求隨機(jī)變量Y的期望.如圖，三棱錐P-ABC

7、,側(cè)棱PA=2,底面三角形ABC為正三角形，邊長為2,頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影為 D,有ADLDB,且DB=1 .(I )求證：AC /平面PDB;(H)求二面角P-AB-C的余弦值；(m)線段PC上是否存在點(diǎn)E使得PC,平面ABE,如果存在，求巖的值；如果不存在，請說明理由.18.已知動點(diǎn)M到點(diǎn)N (1, 0)和直線1:x=- 1的距離相等.(I )求動點(diǎn)M的軌跡E的方程；(H )已知不與1垂直的直線1與曲線E有唯一公共點(diǎn)A,且與直線1的交點(diǎn)為P,以AP為直徑作圓C.判斷點(diǎn)N和圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.已知函數(shù) f (x) =eax-x.(I )若曲線y=f (x)在(0, f (0

8、)處的切線1與直線x+2y+3=0垂直，求a 的值；(H )當(dāng)a* 1時，求證：存在實(shí)數(shù)xo使f (x0) 1.對于無窮數(shù)列an,記T=x|x=aj-a, ik),必有 刖+1 - ak+1=t ”，則稱數(shù)歹!J an 具有性質(zhì)P (t) .(I)若數(shù)列an滿足/二h 3判斷數(shù)列an是否具有性質(zhì)P (2) ?是否具有性質(zhì)P (4) ?(H)求證：“T是有限集”是 數(shù)列an具有性質(zhì)P (0) ”的必要不充分條件；(m)已知an是各項(xiàng)為正整數(shù)的數(shù)列，且an既具有性質(zhì)P (2),又具有性質(zhì)P (5),求證：存在整數(shù)N,使得aN, aN+1, 8n+2,，aN+k,是等差數(shù)列.2017年北京市海淀區(qū)高

9、考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選 出符合題目要求的一項(xiàng).若集合 A= -2, 0, 1, B=x|x0, M APB=（）A. -2 B. 1 C. -2, 1 D. -2, 0, 1【考點(diǎn)】1E:交集及其運(yùn)算.【分析】利用交集定義直接求解.【解答】解：二.集合 A=-2, 0, 1, B=x|x0,.AnB= -2, 1.故選：C.二項(xiàng)式（k一尸的展開式的第二項(xiàng)是（）A. 6x4B. - 6x4 C. 12x4D. - 12x4【考點(diǎn)】DB:二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).【分析】利用通項(xiàng)公式即可得出.【解答】解：二項(xiàng)式（冗一”的展開式的第二項(xiàng)=

10、；x=q）= 段乂4.故選：D.已知實(shí)數(shù)x, y滿足，工+L30則2x+y的最小值為（）A. 11 B. 3 C. 4 D. 2【考點(diǎn)】7C:簡單線性規(guī)劃.【分析】畫出可行域，設(shè)z=2x+y,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義其最小值.【解答】解：由已知得到平面區(qū)域如圖：設(shè) z=2x+y,貝 y=-2x+z,由它在y軸的截距最小，得到z最小，由圖可知當(dāng)直線過A (0, 3)時，z最小，所以最小值為3;.圓x2+y2-2y=0與曲線y=|x| - 1的公共點(diǎn)個數(shù)為()A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【考點(diǎn)】J9:直線與圓的位置關(guān)系.【分析】求出圓心到直線的距離，即可得出結(jié)論.【解答】解：圓x2+y2

11、2y=0,可得x2+ (y-1) 2=1,圓心為(0, 1)1,2 L圓心(0, 1)到直線y=xT的距離d=y=/21, 2圓心(0, 1)到直線y= - x - 1的距離毛力=歷1,圓x2+y2-2y=0與曲線y=| x| - 1的公共點(diǎn)個數(shù)為0,故選D.5.已知an為無窮等比數(shù)列，且公比q1,記Sn為時的前n項(xiàng)和，則下面結(jié) 論正確的是()A. a3a2B. ai+a20C. 是遞增數(shù)列D- Sn存在最小值【考點(diǎn)】88:等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.【分析】 在A中，當(dāng)ai0時，a3a2；在B中，當(dāng)ai 0時，ai+a20;在C中，是遞增數(shù)列；在D中，當(dāng)aii,記Sn為an的前n項(xiàng)和， 知：在A中，

12、當(dāng)ai 0時，a3 a2,故A錯誤；在B中，當(dāng)ai0時，ai+a20,故B錯誤；在C中，%?=(%)旅2,是遞增數(shù)列，故C正確；在D中，當(dāng)ai0時，Sn不存在最小值，故D錯誤.故選：C.已知f (x)是R上的奇函數(shù)，則 +X2=0”是“f(xi) +f (x2)=0”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】2L:必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.【解答】解：二函數(shù)f (x)是奇函數(shù)，.,若 xi+x2=0,貝U X1= - X2,則 f（X1）=f （ X2）= f（X2

13、）,即f（X1）+f（X2）=0成立，即充分性成立，若f（X）=0,滿足f（X）是奇函數(shù)，當(dāng)X1=X2=2時，滿足 f（Xl） =f（X2）=0,此時滿足 f（Xl） +f（X2）=0,但X1+X2=4W0,即必要性不成立，故1+X2=0”是“f（X1） +f（X2）=0”的充分不必要條件，故選：A.現(xiàn)有編號為、的三個三棱錐（底面水平放置），俯視圖分別為圖1、圖2、圖3,則至少存在一個側(cè)面與此底面互相垂直的三棱錐的所有編號是( )圖1圖2圖3A.B . C. D.【考點(diǎn)】L7:簡單空間圖形的三視圖.【分析】根據(jù)題意，畫出編號為、的三棱錐的直觀圖，判斷是否存在側(cè)面與底面互相垂直的情況即可.【解答

14、】解：編號為的三棱錐，其直觀圖可能是，其側(cè)棱VC，底面ABC, 側(cè)面VAC，底面ABC,滿足條件;編號為的三棱錐，其直觀圖可能是其側(cè)面PBC，平面ABC,滿足條件；編號為的三棱錐，其直觀圖可能為,其中不存在側(cè)面與底面互相垂直的情況.綜上，滿足題意的序號是.故選：B.已知兩個半徑不等的圓盤疊放在一起（有一軸穿過它們的圓心），兩圓盤上分別有互相垂直的兩條直徑將其分為四個區(qū)域，小圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為xi, X2, X3, X4,大圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為 yi, y2, y3, y4,如圖所示.將 小圓盤逆時針旋轉(zhuǎn)i (i=1, 2, 3, 4)次，每次轉(zhuǎn)動90,記Ti (i=1 , 2, 3,

15、 4)為轉(zhuǎn)動i次后各區(qū)域內(nèi)兩數(shù)乘積之和，例如Ti=xiy2+X2y3+X3y4+X4yi.若Xi+X2+X3+X40, yi+y2+y3+y40 即可得至U Ti,T2, T3, T4中至少有一個為正數(shù).【解答】解：由題意可知：(Xi+X2+X3+X4)(yi+y2+y3+y4)0,貝U (Xi+X2+X3+X4) (yi+y2+y3+y4)=Xiyi+Xiy2+Xi y3 +Xi y4+X2yi +X 2y2+X 2y3+X2y4+X3y i+X3y2 +X3y3+X4y4+X4yi +X4y2+X4y3+X4y4,=Ti+T2+T3+T40.Ti, T2, T3, T4中至少有一個為正數(shù)，

16、故選A.、填空題共6小題，每小題5分，共30分.在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)到直線 p cos 9 =1距離為 1 .【考點(diǎn)】Q4:簡單曲線的極坐標(biāo)方程.【分析】先求出直線的直角坐標(biāo)方程，求出極點(diǎn)的直角坐標(biāo)，即可求得極點(diǎn)到直線p cos 8 =1距離.【解答】解：直線pcos8=x=1,極點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0, 0）,故極點(diǎn)到直線p cos 0 =1距離為1 ,故答案為1.已知復(fù)數(shù)工，則| z尸血 .【考點(diǎn)】A5:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共腕復(fù)數(shù)的定義、模的計(jì)算公式即可得出.【解答】解：復(fù)數(shù)二/二？；）二 -i 1,貝u |z| H） 2.故答案為：.二3.在 ABC 中，A=

17、2B, 2a=3b, M cosB二 0 .【考點(diǎn)】HR:余弦定理；HP:正弦定理.【分析】利用正弦定理化簡2a=3b,將A=2B代入，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)sinB不為0,確定出cosB的值即可.【解答】解：由正弦定理化簡2a=3b得：2sinA=3sinB,把 A=2B 代入得：2sin2B=3sinB,即 4sinBcosB=3sinB,sinBW0, .4cosB=3,即 cosB=, 4故答案為:12.已知函數(shù)f (x) =-2x,則蜴) f (1)(填+或之)；f (x)在區(qū)間(區(qū)二，梟)上存在零點(diǎn)，則正整數(shù)n= 2 . n n+1【考點(diǎn)】55:二分法的定義.【分析】根

18、據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理即可求出【解答】解：易知函數(shù)f (x) 域?yàn)闇p函數(shù)， K則 f (y) f (1),- f (1) =1 -2=- 1, f (土)=2-720, f (1) f 心 ,2二二， I .二 * 二 _/ 耳13.在四邊形 ABCD 中，AB=2.若 DA=y (CA+CB),則研，DC= 2 .【考點(diǎn)】9R:平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】根據(jù)條件畫出圖形，并取 AB中點(diǎn)E,連接CE,從而得出四邊形ADCE為平行四邊形，進(jìn)而得出 前與正，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出 靛天的化【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)E,連接CE,則:CE%(CA+CB);,匚；工

19、；四邊形ADCE是平行四邊形;:DC=AEq心，且AB=2;* -1 &* 2AB-DCAD =214.已知橢圓G：1（。6返）的兩個焦點(diǎn)分別為Fi和F2,短軸的兩匕b個端點(diǎn)分別為Bi和B2,點(diǎn)P在橢圓G上，且滿足| PBi|+| PB2| 二| PFi|+| PF2| .當(dāng)b變化時,給出下列三個命題：點(diǎn)P的軌跡關(guān)于y軸對稱；存在b使得橢圓G上滿足條件的點(diǎn)P僅有兩個；| OP|的最小值為2,其中，所有正確命題的序號是.【考點(diǎn)】K4:橢圓的簡單性質(zhì).r 22【分析】運(yùn)用橢圓的定義可得P也在橢圓二17=1上，分別畫出兩個橢圓的6 | 6-小圖形，即可判斷正確；通過b的變化，可得不正確；由圖象可得當(dāng)

20、 P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對值相等時，|OP|的值取得最小，即可判斷.【解答】解：橢圓G:亞；）的兩個焦點(diǎn)分別為 6 b2Fi（&-f，0）和 F2（-。百-2， 0）,短軸的兩個端點(diǎn)分別為Bi （0, - b）和B2 （0, b）,設(shè) P (x, V)，點(diǎn) P在橢圓 G上,且滿足 |PBi|+| PB2|=|PFi|+| PF2| ,由橢圓定義可得，|PBi|+| PB2| =2a=2/2b,即有P在橢圓之1+6 6-b=1上.對于，將x換為-x方程不變，則點(diǎn)P的軌跡關(guān)于y軸對稱, 故正確；對于，由圖象可得軌跡關(guān)于x, y軸對稱，且0Vb捉,則橢圓G上滿足條件的點(diǎn)P有4個， 不存在b使得橢圓G

21、上滿足條件的點(diǎn)P僅有兩個，故不正確；對于，由圖象可得，當(dāng)P滿足x2=y2,即有6-b2=b2,即b小時，|OP|取得最小值，可得x2=y2=2,即有|OP|的最小值為2,故正確.故答案為：.三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.已知函數(shù) f (x) =sin2xcos-cos2xsirrr- - 55(I )求f (x)的最小正周期和對稱軸的方程；(n)求f (x)在區(qū)間0, 1-1上的最小化【考點(diǎn)】GL:三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；H2:正弦函數(shù)的圖象.【分析】(I)根據(jù)差角公式化簡f (x),利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出對稱軸和周期;(II)根據(jù)x的范圍得出2x-1

22、的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出f (x)的gTU彳nT JC【解答】解：(I) fWin2xco-cosZirry-in(2x-r所以f (x)的最小正周期二冗，TT 711 1 IT 1令2x 一 工二門+k九，解得x=門口 fk tt.所以f (x)的對稱軸方程為x= ! +冗,kCZ.(n)因?yàn)轶臙 o,所以2xC 0,可，g、，r 3兀3嚇 27T所以 23二，=1Q JT TTTT1T所以，當(dāng)2萬二二下即耳三新時，f (x)在區(qū)間0,上的最小值為-1.為了響應(yīng)教育部頒布的關(guān)于推進(jìn)中小學(xué)生研學(xué)旅行的意見，某校計(jì)劃開設(shè)八門研學(xué)旅行課程，并對全校學(xué)生的選擇意向進(jìn)行調(diào)查(調(diào)查要求全員參與，

23、每個學(xué)生必須從八門課程中選出唯一一門課程).本次調(diào)查結(jié)果整理成條形圖如下.圖中，已知課程 A, B, C, D, E為人文類課程，課程F, G, H為自然科學(xué)類課程.為進(jìn)一步研究學(xué)生選課意向，結(jié)合圖表，采取分層抽樣方法從全校抽取1%的學(xué)生作為研究樣本組(以下簡稱 組M).(I )在組MT中，選擇人文類課程和自然科學(xué)類課程的人數(shù)各有多少？(n )為參加某地舉辦的自然科學(xué)營活動，從 組M所有選擇自然科學(xué)類課程的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)前往，其中選擇課程F或課程H的同學(xué)參加本次活動，費(fèi)用為每人1500元，選擇課程G的同學(xué)參加，費(fèi)用為每人2000元.(i )設(shè)隨機(jī)變量X表示選出的4名同學(xué)中選擇課程G的人

24、數(shù)，求隨機(jī)變量X 的分布列；(ii)設(shè)隨機(jī)變量Y表示選出的4名同學(xué)參加科學(xué)營的費(fèi)用總和，求隨機(jī)變量Y的期望.【考點(diǎn)】CH:離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CG:離散型隨機(jī)變量及其分布 列.【分析】(I )根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)即可得出.(H) ( i)依題意，隨機(jī)變量X可取0, 1, 2.利用 超幾何分布列的計(jì)算公 式與性質(zhì)”即可得出.(ii)法1:依題意，隨機(jī)變量 Y=2000X+1500 (4 X),可得隨機(jī)變量 Y的數(shù)學(xué)期望為E (Y)=6000+500E (X).(ii)法2:依題意，隨機(jī)變量 Y可取6000, 6500, 7000.求出隨機(jī)變量 Y的分布列，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望.【解答】解

25、：(I)選擇人文類課程的人數(shù)為X1%=12 (人)；選擇自然科學(xué)類課程的人數(shù)為X 1%=8 (人)(H ) ( i )依題意，隨機(jī)變量X可取0,1,2做爛0)二p(x4 二 4L8故隨機(jī)變量X的分布列為 TOC o 1-5 h z X 012p 二14714(ii)法 1:依題意，隨機(jī)變量 Y=2000X+1500 (4 X) =6000+500X,所以隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為E (Y) =6000+500E (X)343=6000+500 (0X十1乂:+2X)=6500.(ii)法2:依題意，隨機(jī)變量 Y可取6000, 6500, 7000.所以隨機(jī)變量Y的分布列為Y 6000 6500 7

26、000 TOC o 1-5 h z p 二二二14714所以隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為E (Y) =6000 X-4-65CJ0X 4+7000X -=6500. IQr1417.如圖，三棱錐P-ABC,側(cè)棱PA=2,底面三角形ABC為正三角形，邊長為2,頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影為 D,有ADLDB,且DB=1 .（I ）求證：AC /平面PDB;（H）求二面角P-AB-C的余弦值；（m）線段PC上是否存在點(diǎn)E使得PC,平面ABE,如果存在，求甯的值； 如果不存在，請說明理由.【考點(diǎn)】MT:二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定.【分析】（I ）推導(dǎo)出/ DBA=/CAB=60 , A

27、CBD為平面四邊形，從而DB / AC.由此能證明AC/平面PDB.（n）由點(diǎn)P在平面ABC上的射影為D可得PDL平面ACBD ,以D為原點(diǎn)， DB為x軸，DA為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出 二面角P- AB-C的余弦值.（m）求出靛XL -Vs-。），奇（2, % T）,由正彘W0,求出在線段 PC上不存在點(diǎn)E使得PC，平面ABE.【解答】（本小題滿分14分）證明：（I ）因?yàn)锳D1DB,且DB=1 ,AB=2,所以AD二仃，所以/ DBA=60 .因?yàn)?ABC為正三角形，所以/ CAB=60 ,又由已知可知ACBD為平面四邊形，所以DB/AC.因?yàn)锳C?平面PDB

28、, DB?平面PDB,所以AC /平面PDB.解：（H ）由點(diǎn)P在平面ABC上的射影為D可得PD,平面ACBD ,所以 PDXDA, PDXDB.如圖，以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DA為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)則由已知可知 B （1, 0, 0） , ACO,舊，。），P （0, 0, 1）,。瓜。）.平面ABC的法向量I產(chǎn)（0, 0, 1）,設(shè)2（x, y, z）為平面PAB的一個法向量，則BA* n = 0-f- , I即m二口-s+V3V=0-s+s=O,令y=1,則乂/，所以平面PAB的一個法向量!T= （*73 1，炎）,缶/f 一、 V3 v 21 所以 cos=：-= _V

29、 7 -L f由圖象知二面角P-AB - C是鈍二面角，所以二面角 P-AB-C的余弦值為返（田）由（H）可得靛=（L -V3i。），PC=2S 近.-D 因?yàn)橐隋?（2, 瓜 -l）-（b -V5，0）=7盧0,所以PC與AB不垂直, 所以在線段PC上不存在點(diǎn)E使得PC，平面ABE.18.已知動點(diǎn)M到點(diǎn)N (1, 0)和直線1: x=- 1的距離相等.(I )求動點(diǎn)M的軌跡E的方程;(H)已知不與l垂直的直線1與曲線E有唯一公共點(diǎn)A,且與直線l的交點(diǎn)為P,以AP為直徑作圓C.判斷點(diǎn)N和圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【考點(diǎn)】K8:拋物線的簡單性質(zhì).【分析】(I )利用拋物線的定義，即可求動點(diǎn)

30、 M的軌跡E的方程;(H )由題意可設(shè)直線1: x=my+n,由可得y2 - 4my - 4n=0,求出A, P的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積，即可得出結(jié)論.【解答】解：(I )設(shè)動點(diǎn)M (x由拋物線定義可知點(diǎn)M的軌跡E是以N (1, 0)為焦點(diǎn)，直線1: x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,所以軌跡E的方程為y2=4x.(H)點(diǎn)N在以PA為直徑的圓C上.理由：由題意可設(shè)直線1: x=my+n,r 2叩弓。一 一一，一由 2 可得 y 4my 4n=0 (*),_y -4x因?yàn)橹本€l與曲線E有唯一公共點(diǎn)A,所以 =16m2+16n=0,即門=-m2.所以(*)可化簡為y2 - 4my+4m2=0,所以 A (m

31、2, 2m),令 x= - 1 得 F t T , -1+門), ID因?yàn)閚= m2,所以 二 7T -一 ：n - 一 .，二一： 1rID所以NAXNP,所以點(diǎn)N在以PA為直徑的圓C上.19.已知函數(shù) f (x) =eax- x.(I )若曲線y=f (x)在(0, f (0)處的切線l與直線x+2y+3=0垂直，求a 的值；(H )當(dāng)aw 1時，求證：存在實(shí)數(shù)x0使f (x。) 1.【考點(diǎn)】6H:利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函 數(shù)的最值.【分析】(I )求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合曲線 y=f (x)在(0, f (0)處的 切線l與直線x+2y+3=0垂直，求a

32、的值；(H)當(dāng) a0 0 時，有 f (1) ea- 101,即存在實(shí)數(shù) x0使 f (x0)0, a* 1時，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段，由單調(diào)性 求出函數(shù)的極小值，再由導(dǎo)數(shù)求出極小值的最大值得答案.【解答】(I )解：f (x) =aeax- 1,.曲線y=f (x)在(0, f (0)處的切線與直線x+2y+3=0垂直,切線l的斜率為2,.葉(0) =a- 1=2,a=3;(II)證明：當(dāng)a 0時，顯然有f (1) ea-101,即存在實(shí)數(shù)X0使f(X0)0, a* 1 時，由 f (x) =0可得 a a在正8, 時，f (x) 0, .,.函數(shù)f (x)在X)上遞增

33、.fC、lJ) = - i,是f (x) 的極小值. a a a設(shè)式,貝U一1X)二用,令 g (x) =0,得 x=1. TOC o 1-5 h z *Xx(0, 1)1(1, +oo)g (x)+0-g (x)/極大值當(dāng) x*1 時 g (x) g (1) =1 ,綜上，若a* 1,存在實(shí)數(shù)x0使f (x0) 1.20.對于無窮數(shù)列an,記T=x x=aj - a, ik),必有 am+i - ak+i=t ”，則稱數(shù)列an 具有性質(zhì)P (t) .(I )若數(shù)列a滿足，二口判斷數(shù)列an是否具有性質(zhì)P (2) ?是 (Zn.-5. rijs o否具有性質(zhì)P (4) ?(H)求證：“T是有限集

34、”是 數(shù)列an具有性質(zhì)P (0) ”的必要不充分條件；(田)已知an是各項(xiàng)為正整數(shù)的數(shù)列，且an既具有性質(zhì)P(2),又具有性質(zhì)P (5),求證：存在整數(shù) N,使得aN, aN+i, aN+2,aN+k,是等差數(shù)列.【考點(diǎn)】8H:數(shù)列遞推式；2L:必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】可得 a2-a1二2,但 a3-a2=-1*2,數(shù)列an不具有性質(zhì)P (2);同理可判斷數(shù)列an具有性質(zhì)P (4)(H)舉例周期數(shù)列1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2,，T= - 1, 0, 1是有限集，利用新定義可證數(shù)列an不具有性質(zhì)P (0),即不充分性成立；再證明其 必要性即可.(田)依題意，數(shù)列an是各項(xiàng)為正整數(shù)的數(shù)列，且an既具有性質(zhì)P (2), 又具有性質(zhì)P (5),可證得存在整數(shù)N,使得aN, aN+1, aN+2,，aN+k,是 等差數(shù)列