1、第 1 講LINGO的基本用法煙臺市，航空：數(shù)學(xué)教研室LINGO是LINDO 系統(tǒng)公司開發(fā)的一套專門用于求解最優(yōu)化問題的。它為求解最優(yōu)化問題提供了一個，主要用于求解線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、二次規(guī)劃、線性及非線性方程組等問題它是最優(yōu)化問題的一種建模語言，包含有許多常用的函數(shù)供使用者編寫程序時調(diào)用，并提供了與其他數(shù)據(jù)文件的接口，易于方便地輸入，求解和分析大規(guī)模最優(yōu)化問題，且執(zhí)行速度快.。由于它的功能較強，所以在教學(xué)、科研、工業(yè)、商業(yè)、服務(wù)等許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。1.1LINGO簡介1.1.1LINGO的特點LINGO 語言是一個綜合性的工具，使建立和求解數(shù)學(xué)優(yōu)化模型更容易，更有效。LI

2、NGO提供了一個完全集成的括強大的優(yōu)化模型描述語言，一個全功能的建立和編輯模型的環(huán)境，和一套快速內(nèi)置的求解器，能夠有效地解決大多數(shù)優(yōu)化模型。LINGO 包括如下的基本特點：1.代數(shù)模型語言LINGO 支持強大的集模型語言，它使得用戶能夠高效緊湊地表示數(shù)學(xué)規(guī)劃模型。多數(shù)模型可以用LINGO 的內(nèi)置2.方便的數(shù)據(jù)選項進行迭代求解。LINGO 使得從用戶從費時費力的數(shù)據(jù)管理中解脫出來。它允許你直接從數(shù)據(jù)庫和電子表格中獲取信息建立模型，同樣，LINGO 能夠把解輸出到數(shù)據(jù)庫或電子表格，使你能更容易生成你選擇的應(yīng)用。完整的模型和數(shù)據(jù)的分離，提高模型的性和擴展性。3.模型交互性或創(chuàng)建交工程的應(yīng)用你可以用

3、LINGO 建立或求解模型，或者你可以直接從所寫的應(yīng)用中直接調(diào)用 LINGO。為了提高模型的交互性，LINGO 提供了一個完整的建模、求解和分析模型的環(huán)境。為了建立交的解決方案，LINGO 可以調(diào)用用戶所寫的DLL 和 OLE 應(yīng)用接口。LINGO 可以直接調(diào)用 Excel 宏或數(shù)據(jù)庫應(yīng)用， LINGO 目前包括 C/C+、Fortran、Java、C#.net、VB.NET、 ASP.NET、Visual Basic、Delphi 和 Excel 編程實例。4.廣泛的文檔和幫助LINGO 提供了所有你需要快速啟動和運行的工具。你可以得到 LINGO 用戶手冊，它描述了程序令和功能。還包括 L

4、INGO 優(yōu)化建模的較大超級版本了所有類型的線性、整數(shù)和非線性優(yōu)化問題的綜合建模文檔。LINGO 提供了許多現(xiàn)實世界的建模實例供用戶修改和擴展。5.強大的求解器和工具LINGO 提供了一套全面快速的內(nèi)置求解器，求解線性、非線性（凸與非凸）、二次、二次約束的和整數(shù)優(yōu)化。你不必指定或加載一個單獨的求解器，因為 LINGO你的公式，自動選擇一個合適的求解器。LINGO 中有如下一般描述的求解器和工具：（1）一般非線性求解器LINGO 提供了一般非線性和非線性整數(shù)的功能。非線性能與 LINDO API。（2）全局求解器證選擇要使用的非線性功全局求解器結(jié)合了一系列的邊界（例如，區(qū)間分析和凸分析）和范圍減

5、少技術(shù)（例如，線性規(guī)劃和約束），在一個分支定界框架內(nèi)找到非凸非線性規(guī)劃的行之有效全局解。傳統(tǒng)的非線性求解器只能求得次優(yōu)的（4）多初值求解器。多初值求解器能在非線性規(guī)劃和混合整數(shù)非線性規(guī)劃的解空間中智能地生成一系列候選初始點。一個傳統(tǒng)的非線性求解器調(diào)用每個初始點，找到一個局部最優(yōu)解。對于非凸非線性規(guī)劃模型，由多初值求解器求得的最好解的質(zhì)量往往要優(yōu)于傳統(tǒng)的非線性求解器從單一初值求得的解。用戶可以調(diào)節(jié)參數(shù)控制多初值點的最大個數(shù)。（5）求解器求解器是求解線性、二次和二次錐問題的一種可選方INGO 使用最先進技術(shù)的方法，為大型稀疏模型提供了（6）單純形求解器速的算法。LINGO 提供的原始和對偶單純形兩

6、個先進算法作為求解線性規(guī)劃模型的主要工具。其靈活的設(shè)計允許用戶通過改變幾個算法參數(shù)，微調(diào)每一種算法。混合整數(shù)求解器LINGO 的混合整數(shù)求解器功能擴展到線性、二次和一般非線性整數(shù)模型。它包含了一些先進的求解技術(shù)，如切割生成、樹排序減少樹的動態(tài)生長以及先進的啟發(fā)式和預(yù)求解策略。隨機求解器隨機規(guī)劃求解器通過多階段隨機模型，提供了不確定條件下的決策機會。用戶通過辨識內(nèi)置的或用戶定義的描述每一個隨量的分布函數(shù)，來描述不確定性。隨機求解器將優(yōu)化模型，以最大限度地減少初始階段的成本和預(yù)期的成本。高級采樣模式也可用于近似連續(xù)分布。模型及求解分析工具LINGO 對于不可行線性、整數(shù)和非線性規(guī)劃，包括一套全面的

7、分析調(diào)試工具，采用先進的技術(shù)來分離源于不可行的原始約束的最小子集。它也有工具來執(zhí)行靈敏度分析以確定某些最優(yōu)基的敏感性。二次識別工具二次規(guī)劃識別工具是一個有用的代數(shù)預(yù)處理器，自動確定任意非線性規(guī)劃是否實際上是一個凸二次規(guī)劃模型。然后二次規(guī)劃模型可以通過更快的二次求解器，它是作為求解器選項的一部分。當求解器選擇全局選項時，會自動識別二階錐模型，和凸二次規(guī)劃模型。（11）線性化工具線性化是一個綜合性的重構(gòu)工具，自動將許多非光滑函數(shù)和操作符（例如，最大和絕對值）變換到線性系列的數(shù)學(xué)等價表達式。許多非光滑模型可以完全線性化。這讓線性求解器很快找到一個全局最優(yōu)解，否則將是一個棘手的非線性問題。1.1.2L

8、INGO的界面介紹下面簡要地介紹 LINGO 1.模型窗口的模型窗口、運行狀態(tài)窗口和一些重要求解參數(shù)的設(shè)置。圖 1. 1 LINGO 的模型窗口LINGO 的模型窗口如圖 1. 1 所示。模型窗口輸入格式要求如下：LINGO 的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型包含目標函數(shù)、決策變量、約束條件三個要素。在 LINGO 程序中，每一個語句都必須要用一個英文狀態(tài)下的分號“;”結(jié)束，一個語句可以分幾行輸入。LINGO 的注釋以英文狀態(tài)的感嘆號“！”開始，必須以英文狀態(tài)下的分號“;”結(jié)束；LINGO 的變量不區(qū)分字母的大小寫，必須以字母開頭，可以包含數(shù)字和下劃線，不超過 32 個字符，。LINGO 程序中，只要定義好集合后

9、，其他語句的順序是任意的。LINGO 中的函數(shù)以“”開頭。LINGO 程序默認所有的變量都是非負的。LINGO 程序中“或”號與“ 或 ”號功能相同。（9）LINGO 模型以語句“M個語句可以省略。:”開始，以“END”結(jié)束，對于比較簡單的模型，這兩LINGO 建模時需要注意如下幾個基本問題：盡量使用實數(shù)變量，減少整數(shù)約束和整數(shù)變量。模型中使用的參數(shù)數(shù)量級要適當，否則會給出警告信息，可以選擇適當?shù)淖兿鄬Τ叨取８谋M量使用線性模型，減少非線性約束和非線性變量的個數(shù)，同時盡量少使用絕對值、符號函數(shù)、多變量求最大最小值、取整函數(shù)等非線性函數(shù)。合理設(shè)定變量上下界，盡可能給出初始值。2.LINGO 的求解

10、器運行狀態(tài)窗口變量數(shù)量求解器狀態(tài)變量總數(shù)非線性變量數(shù)整數(shù)變量數(shù)約束總數(shù)非線性約束個數(shù)總數(shù)非線性系數(shù)個數(shù)當前模型類型當前解的狀態(tài) 當前目標函數(shù)值當前約束不滿足的總量目前為止迭代次數(shù)約束數(shù)量非零系數(shù)數(shù)量擴展求解器狀態(tài)使用的特殊求解程序目前可行解的最佳目標函數(shù)值目標函數(shù)值的界特殊求解程序當前運行步數(shù)有效步數(shù)內(nèi)存的使用量求解花費的時間圖 1. 2 LINGO 的求解器狀態(tài)窗口LINGO 求解器運行狀態(tài)窗口如圖 1. 2 所以。其中的兩個狀態(tài)框介紹如下：（1）求解器狀態(tài)框“當前解的狀態(tài)”有如下幾種： Global Optimum全局最優(yōu)解；Local Optimum局部最優(yōu)解；Feasible可行解；I

11、nfeasible不可行解；Unbounded解；errupted中斷；Undetermined未確定。（2）擴展求解器狀態(tài)“使用的特殊求解程序”有如下幾種： B-and-B 分支定界算法。Global全局最優(yōu)求解程序。Multistart 用多個初始點求解的程序。3.LINGO 求解的參數(shù)設(shè)置LINGO10管理的內(nèi)存最大為 2G，如果你的計算機內(nèi)存是 4G 的話，LINGO 的內(nèi)存就設(shè)置為 2G，你的計算機內(nèi)存是 8G 的話，也要設(shè)置成 2G。LINGO 內(nèi)存的設(shè)置是依次選擇菜單 LINGO(第 3 個主菜單)OptionsM Generator。如圖 1. 3 所示紅色標注的部分。圖 1.

12、 3 求解器 Options 的一些設(shè)置如果模型是非線性模型，且欲求全局最優(yōu)解，要把求解器設(shè)置成“Global”。進入圖 1. 3中藍色“Global Solver”后，在“Use Global Solver”前面打上“”，設(shè)置完成后，要關(guān)閉 LINGO，再重新啟動LINGO。1.1.3初識 LINGO 程序LINGO 程序書寫實際上特別簡捷，數(shù)學(xué)模型怎樣描述，LINGO 語言就對應(yīng)地怎樣表達。首先介紹兩個簡單的 LINGO 程序。例 1. 1求解如下的線性規(guī)劃問題：maxz 72x1 64x2 ,x1 x2 50,12x 8x 480,12s.t.3x1 100,x , x 0. 1 2解

13、LINGO 求解程序如下： max=72*x1+64*x2; x1+x2=50; 12*x1+8*x2=480;3*x1=100;注 1. 1：LINGO 中默認所有的變量都是非負的，在LINGO 中就不需寫出對應(yīng)的約束。例 1. 2拋物面 z x2 y2 被平面 x y z 1截成一橢圓，求原點到這橢圓的最短距離。解 該問題可以用日乘子法求解。下面把問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，用LINGO求解。設(shè)原點到橢圓上點(x, y, z) 的距離最短，建立如下的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型：minx2 y2 z2 ,x y z 1,s.t.z x y .22LINGO 求解程序如下： min=(x2+y2+z2)(1/2

14、); x+y+z=1;z=x2+y2; free(x); free(y);注 1. 2：LINGO 中默認所有變量都是非負的，這里 x, y 的取值是可正可負的，所以使用LINGO 函數(shù) free。例 1. 3求解如下的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型：100 iminx ,2i 1 100 xi 1,s. t . i 199x100 ix .2i 1解 用 LINGO 求解上述數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，使用下面將介紹的集合和函數(shù)比較方便，使用集合的目的是為了定義向量，集合使用前，必須先定義；LINGO 程序中的標量不需要定義，直接使用即可。LINGO 求解程序如下：sets:var/1.100/:x; endsetsmin

15、=sqrt(sum(var(i):x(i)2);sum(var(i):x(i)=1; x(100)=sum(var(i)|i#le#99:x(i)2); for(var(i)|i#le#99:free(x(i);注 1.3：如果不使用集合和函數(shù)，全部使用標量x1,x2,x100，最后一個約束就要寫 99遍，free(x1); ; free(x99)。1.1.4線性規(guī)劃問題的價格與靈敏度分析以例 1. 1 的線性規(guī)劃模型maxz 72x1 64x2 ,x1 x2 50,12x 8x 480,12s.t.3x1 100,x , x 0. 1 2為例。1.價格要進行靈敏度分析，必須選擇如圖 1. 4

16、 所示的畫圈的選項，依次選擇下列菜單LINGOOptionsGeneral Solver 下 Dual Compuions 選擇 Pri。圖 1. 4 LINGO Options 設(shè)置選項后，運行 LINGO 程序，輸出結(jié)果窗口中包含靈敏度分析，如圖 1. 5勾選了 Pri所示。最優(yōu)目標函數(shù)值目標函數(shù)第一個約束條件第三個約束條件圖 1. 5 靈敏度分析從結(jié)果可知，目標函數(shù)的最優(yōu)值為 3360，決策變量 x1 20, x2 30 。reduced cost 值對應(yīng)于單純形法計算過程中各變量的檢驗數(shù)。圖 1. 5 中紅色方框表示第一個約束條件，Slack or Surplus 值為 0 表示該約束

17、松弛變量為 0，約束等號成立，為緊約束或有效約束。藍色方框表示第三個約束松弛變量為 40，不等號成立，有剩余。（3）Dual Price 對應(yīng)價格，紅色方框表示當?shù)谝粋€約束條件右端常數(shù)項增加 1 個單位，即由 50 變?yōu)?51 時，目標函數(shù)值增加 48，即約束條件 1 所代表的資源的價格。藍色方框表示，第三個約束條件右端常數(shù)項增加 1 個2.確保最優(yōu)基不變的系數(shù)變化范圍時，目標函數(shù)值不變。如果想要研究目標函數(shù)的系數(shù)和約束右端常數(shù)項系數(shù)在什么范圍變化（假定其他系數(shù)保持不變）時，最優(yōu)基保持不變。此時需要首先勾選圖 1. 6 所示的選項。圖 1. 6 LINGO Options框此時不需要重新運行程

18、序，關(guān)閉輸出窗口，從菜單命令 LINGO 中選中“Range”，即如下輸出窗口，如圖 1. 7。到圖 1. 7 靈敏度分析范圍變化輸出窗口（1）Objective Coefficient Ranges 一欄反映了目標函數(shù)中決策變量的價值系數(shù)，可以看到 x1的系數(shù)是 72， x2 的系數(shù)是 64，說明 x1 要想確保當前最優(yōu)基不變，在其他系數(shù)不變的情況下， x1系數(shù)的變化范圍為 (64,96) ，當 x 的系數(shù)在這個范圍內(nèi)變化時 ，最優(yōu)解不變，但是最優(yōu)目標函數(shù)值發(fā)生變化，同樣， x2 系數(shù)的變化范圍為(48, 72) 。（2）Righnd Side Ranges 一欄反映了約束條件右端代表資源系

19、數(shù)的常數(shù)項，可見第一個約束右端常數(shù)項在43.333333, 60 變化時，最優(yōu)基不變，但是最優(yōu)解發(fā)生變化，目標函數(shù)值也相應(yīng)地發(fā)生變化。由于第三個約束松弛變量為 40，有剩余，可見無論再如何增加該資源，只會使剩得 ，對解沒有影響，但是如果減少量超過 40，就會產(chǎn)生影響。1.2LINGO 模型的基本組成用 LINGO 語言編寫程序來表達一個實際優(yōu)化問題，稱之為 LINGO 模型。下面以一個規(guī)劃模型為例說明 LINGO 模型的基本組成。例 1. 4已知某種商品 6 個倉庫的存貨量，8 個客戶對該商品的需求量，商品運價如表 1. 1 所示。試確定 6 個倉庫到 8 個客戶的商品調(diào)運數(shù)量，使總的費用最小

20、。表 1. 1商品運價表運價客戶倉庫V1V2V3V4V5V6V7V8存貨量WW24953858255W35219743351解 設(shè) xij (i 1, 2,6; j 1, 2,8) 表示第i 個倉庫運到第 j 個客戶的商品數(shù)量， cij 表示第 i 個倉庫到第 j 個客戶的運價， d j 表示第 j 個客戶的需求量， ei 表示第i 個倉庫的存貨量，建立如下線性規(guī)劃模型6 8cij xij ，i 1 j 1min8 xij ei , j 1i 1, 2, 6,6 xij d j ,j 1, 2,8,s.t. i 1xij 0, i 1, 2, 6; j 1, 2,8.：集合，數(shù)據(jù)和初始，目標函

21、數(shù)與約束條件。LINGO 模型一般由 3 個部分1.2.1集合定義部分集合是一群相聯(lián)系的對象，這些對象也稱為集合的成員。LINGO 將集合（set）的概念引入建模語言，代表模型中的實際事物，并與數(shù)學(xué)變量及常量聯(lián)系起來，是實際問題到數(shù)學(xué)的抽象。例 1. 4 中的 6 個產(chǎn)地可以看成是一個集合，8 個銷地可以看成另一個集合。LINGO 有兩種類型的集合：原始集合(primitive set)和派生集合(derived set)。一個原始集合是由一些最基本的對象組成的，不能再被拆分成更小的組分。一個派生集合是用一個或多個其它集合來定義的，也就是說，它的成員來自于其它已存在的集合。集合部分是 LING

22、O 模型的一個可選部分。在 LINGO 模型中使用集合之前，必須在集合部分事先定義。集合部分以關(guān)鍵字“sets:”開始，以“endsets”結(jié)束。一個模型可以沒有集合部分，或有一個簡單的集合部分，或有多個集合部分。一個集合部分可以放置于模型的任何地方，但是一個集合及其屬性在模型約束中被1.定義原始集合為了定義一個原始集合，必須詳細：之前必須定義了它們。集合的名稱；集合的成員（可選的）；集員的屬性（可選的）。定義一個原始集合，用下面的語法：setname/member_list/:attribute_list;注意：用“”表示該部分內(nèi)容可選。下同，不再贅述。setname 是用來標記集合的名字，

23、最好具有較強的可讀性。集合名稱必須嚴格符合標準命名規(guī)則：以字母為首字符，其后由字母（A-Z）、下劃線、成的總長度不超過 32 個字符的字符串，且不區(qū)分大小寫。數(shù)字（0，1，9）組注 1. 4：該命名規(guī)則同樣適用于集員名和屬性名等名。member_list 是集員列表。如果集員放在集合定義中，那么對它們可采取顯式羅列和隱式羅列兩種方式。如果集義它們。員不放在集合定義中，那么可以在隨后的數(shù)據(jù)部分定 當顯式羅列成員時，必須為每個成員輸入一個不同的名字，中間用空格或逗號擱開，允許混合使用。 當隱式羅列成員時，不必羅列出每個集成員。可采用如下語法：setname/member1.memberN/: at

24、tribute_list;w47673927143W52395726541W655228需求量3241324338這里的 member1 是集合的第一個成員名，memberN 是集合的最末一個成員名。LINGO 將自動產(chǎn)生中間的所有成員名。LINGO 也接受一些特定的首成員名和末成員名，用于創(chuàng)建一些特殊的集合，如表 1. 2。表 1. 2 隱式羅列成員示例在例 1. 4 中需要定義倉庫集合：warehouses/1.6/: e;其中 warehouses 是集合的名稱，1.6 是集合內(nèi)的成員，“.”是特定的省略號（如果不用省略號，也可以把成員一一羅列出來，成員之間用逗號或空格分開），表明該集合

25、有 6 個成員，分別對應(yīng)于 6 個倉庫，e 是集合的屬性，它可以看成是一個一維數(shù)組，有 6 個分量，分別表示各倉庫的存貨量。倉庫集合也可以定義為：warehouses/W1W2W3W4W5W6/: e;或者warehouses/W1.W6/: e;在例 1. 4 中還需要定義客戶集合：vendors/V1.V8/: d;該集合有 8 個成員，d 是集合的屬性（有 8 個分量）表示各客戶的需求量。原始集合的屬性相當于一維數(shù)組。2.定義派生集合為了定義一個派生集，必須詳細：集合的名字； 父集合的名字；集集員（可選）；員的屬性（可選）。可用下面的語法定義一個派生集合：setname(parent_s

26、et_list)/member_list/:attribute_list;setname 是集合的名字。parent_set_list 是已定義集合的列表，多個時必須用逗號隔開。如果沒有指定成員列表，那么 LINGO 會自動創(chuàng)建父集員的所有組合作為派生集合的成員。派生集合的父集合既可以是原始集合，也可以是其他的派生集合。例 1. 5集合定義示例。sets: product/A B/; machine/M N/;k/1.2/;allowed(product,machine, endsetsk):x;LINGO 生成了三個父集合的所有組合共八組作為 allowed 集合的成員。如表 1. 3 所列

27、。表 1. 3集合 allowed 的成員成員1(A,M,1)2(A,M,2)3(A,N,1)4(A,N,2)隱式成員列表格式示例所產(chǎn)生集成員1.n1.51,2,3,4,5StringM.StringNCar2.car14Car2,Car3,Car4,Car14DayM.DayN.Fri,Tue,Wed,Thu,FrithM.thNOct.JanOct,Nov,Dec,JanthYearM.thYearNOct2001.Jan2002Oct2001,Nov2001,Dec2001,Jan2002成員列表被忽略時，派生集員由父集員所有的組合，這樣的派生集合稱為的集合的一個子集，也可以放在數(shù)據(jù)部分

28、。稠密集。如果限制派生集合的成員，使它成為父集這樣的派生集合稱為稀疏集。同原始集合一樣，派生集一個派生集合的成員列表有兩種方式生成： 顯式枚舉； 設(shè)置成員資格過濾器。員所有組合員的當采用方式時，必須顯式枚舉出所有要包含在派生集合中的成員，并且枚舉的每個成員必須屬于稠密集。在例 1. 5 中，顯式枚舉派生集合的成員：allowed(product,machine,k)/A M 1,A N 2,B N 1/;如果需要生成一個大的、稀疏的集，那么顯式枚舉就很討厭。幸運地是許多稀疏集的成員都滿足一些條件以和非成員相區(qū)分。可以把這些邏輯條件看作過濾器，在LINGO 生成派生集合的成員時把使邏輯條件為成員

29、從稠密集中過濾掉。在例 1. 4 中，為了表示數(shù)學(xué)模型中從倉庫到客戶的關(guān)系以及與此相關(guān)的單價cij和運量 xij ，要定義一個表示關(guān)系的派生集合：links(warehouses,vendors): c,x;其中 c 和 x 是該派生集合的兩個屬性，分別表示例 1. 4 模型的完整集合定義如下：sets:warehouses/1.6/: e; vendors/1.8/: d; links(warehouses,vendors): c,x;endsets單價cij 和運量 xij 。綜上所述，LINGO 中的集合類型見圖 1. 8。圖 1. 8集合類型示意圖模型的數(shù)據(jù)部分和初始部分在處理模型的數(shù)

30、據(jù)時，需要為集合指派一些成員并且在 LINGO 求解模型之前為集合的某些屬性指定值。為此，LINGO 為用戶提供了兩個可選部分：輸入集 員和數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)部分（Data Section）和為決策變量設(shè)置初始值的初始部分（Init Section）。模型的數(shù)據(jù)部分數(shù)據(jù)部分以關(guān)鍵字“data:”開始，以關(guān)鍵字“enddata”結(jié)束。在這里，可以指定集集合的屬性。其語法如下：object_list = value_list;員、其中 object_list 中包含要設(shè)置集員的集名、要指定值的屬性名，用逗號或空格隔開。如果 object_list 中有多個屬性名，那么它們必須定義在同一個集合上。如果 ob

31、ject_list 中有一個集合名，那么它必須是object_list 中任何屬性的父集合。value_list 包含要分配給 object_list 中的對象的值，用逗號或空格隔開。注意屬性值的個數(shù)必須等于集員的個數(shù)。看下面的例子。5(B,M,1)6(B,M,2)7(B,N,1)8(B,N,2)例 1. 6m:sets:SET1: X, Y;endsets data:SET1 = A B C; X = 1 2 3;Y = 4 5 6;enddata end在集 set1 中定義了兩個屬性 X 和Y。X 的三個值是 1、2 和 3，Y 的三個值是 4、5 和 6。也可采用下面的復(fù)合數(shù)據(jù)m:se

32、ts:SET1: X, Y;endsets data:SET1 X Y = A 1 4 B 2 5C 3 6;enddata end實現(xiàn)同樣的功能。要記住一個重要的事實是，當 LINGO的值列表時，它將前n 個值分復(fù)合數(shù)據(jù)別分配給對象列表中n 個對象的第一個值，第二批n 個值的依次分配給n 個對象的第二個值，依次類推。換句話說，LINGO 期望的是列格式，而不是行格式的輸入數(shù)據(jù)，這反映了關(guān)系數(shù)據(jù)庫中和字段之間的關(guān)系。例 1. 4 中的集合和數(shù)據(jù)部分可以如下定義：sets:warehouses/1.6/: e; vendors/1.8/: d; links(warehouses,vendors)

33、: c,x;endsetsdata:!數(shù)據(jù)部分;e= 60 55 51 43 41 52;!屬性值;d=35 37 22 32 41 32 43 38;c= 6 2 6 7 4 2 5 94 9 5 3 8 5 8 25 22 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;enddata例 1. 4 中的集合和數(shù)據(jù)部分也可以如下定義：sets:warehouses: e; vendors: d;links(warehouses, vendors): c, x; endsetsdata: !數(shù)據(jù)部分;warehouses = WH1 WH2 WH3 WH4 WH5 WH6;

34、!集 vendors = V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8;e = 60 55 51 43 41 52; !屬性值;d = 35 37 22 32 41 32 43 38;c = 6 2 6 7 4 2 5 9員;4 9 5 3 8 5 8 25 22 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;enddata2.數(shù)據(jù)段的兩點說明（1）實時數(shù)據(jù)處理在某些情況，對于模型中的某些數(shù)據(jù)并不是定值。譬如模型中有一個通貨膨脹率的參數(shù)，想在 2%至 6%范圍內(nèi)，對不同的值求解模型，來觀察模型的結(jié)果對通貨膨脹的依賴有多么敏感。把這種情況稱為實時數(shù)據(jù)處理。在本該輸入數(shù)的地

35、方輸入一個問號（?）。例 1. 7data:erest_rate,inflation_rate=0.085 ?; enddata圖 1. 9 交互式輸入框每一次求解模型時，LINGO 都會提示為參數(shù) inflation_rate 輸入一個值。在WINDOWS操作系統(tǒng)下，將會接收到一個圖 1. 9 所示的框。直接輸入一個值再點擊 OK 按鈕，LINGO 就會把輸入的值指定給 inflation_rate，然后繼續(xù)求解模型。（2）部分賦值有時只想為一個集的部分成員的某個屬性指定值，而讓其余成員的該屬性保持未知，以便讓 LINGO 去求出它們的最優(yōu)值。在數(shù)據(jù)中輸入一個逗號（最前面或最后面）或多個相連

36、的逗號表示該位置對應(yīng)的集成員的屬性值未知。例 1. 8sets:years/1.5/: capacity; endsetsdata:capacity = ,34,20,; enddata屬性 capacity 的第 2 個和第 3 個值分別為 34 和 20，其余的 3 個值未知。3.模型的初始部分初始部分是 LINGO 提供的另一個可選部分。在初始部分中，可以輸入初始（initialization sement），和數(shù)據(jù)部分中的數(shù)據(jù)相同。對實際問題的建模時，初始部分并不起到描述模型的作用，在初始部分輸入的值僅被 LINGO 求解器當作初始點來用，并且僅僅對非線性模型有用。和數(shù)據(jù)部分指定變量的

37、值不同，LINGO 求解器可以部分初始化變量的值。改變初始一個初始部分以“init:”開始，以“endinit”結(jié)束。初始部分的初始規(guī)則和數(shù)據(jù)部分的數(shù)據(jù)規(guī)則相同。也就是說，可以在的左邊同時初始化多個集屬性，可以把集屬性初始化為一個值。例 1. 9init:X = 0.999;Y = 0.002;endinitY = LOG(X); X2 + Y2 =1;好的初始點會減少模型的求解時間。1.2.3目標函數(shù)和約束條件6 8例 1. 4 中的目標函數(shù)表達式 min cij xij 用 LINGO 語句表示為：i 1 j 1min=sum(links(i,j): c(i,j)*x(i,j);式中，su

38、m 是 LINGO 提供的函數(shù)，其作用是對某個集合的所有成員，求指定表示式的和，該函數(shù)需要兩個參數(shù)，第一個參數(shù)是集合名稱，指定對該集合的所有成員求和；第二個參數(shù)是一個表達式，表示求和運算對該表達式進行。此處sum 的第一個參數(shù)是 links(i,j)，表示求和運算對派生集合 links 進行，該集合的維數(shù)是 2，共有 48 個成員，運算規(guī)則是：先6 8對 48 個成員分別求表達式 c(i,j)*x(i,j)的值，然后求和，相當于求cij xiji 1 j 1和 x 是集合 links 的兩個屬性，它們各有 48 個分量。注 1. 5 如果表達式中參與運算的屬性屬于同一個集合，則sum 語句中索

39、引（相當于矩陣或數(shù)組的下標）可以省略，假如表達式中參與運算的屬性不同屬于不同的集合，則不能省略屬性的索引。例 1. 4 中的目標函數(shù)可以表示成：min=sum(links: c*x);例 1. 4 中的約束條件 xij ei ,i 1, 2, 6 實際上表示了 6 個不等式，用 LINGO 語言表j 1示該約束條件，語句為：for(warehouses(i):sum(vendors(j): x(i,j)=e(i);，表達式中的 c8語句中的for 是 LINGO 提供的函數(shù)，它的作用是對某個集合的所有成員分別生成一個約束表達式，它有兩個參數(shù)，第一個參數(shù)是集合名，表示對該集合的所有成員生成對應(yīng)的

40、約束表達式，上述for 的第一個參數(shù)為 warehouses，它表示倉庫，共有 6 個成員，故應(yīng)生成 6個約束表達式；for 的第二個參數(shù)是約束表達式的具體內(nèi)容，此處再調(diào)用sum 函數(shù)，表示約束表達式的左邊是求和，是對集合 vendors 的 8 個成員求和，即對表達式 x(i,j)中的第二維 j 求和，亦即 xij ，約束表達式的右邊是集合 warehouses 的屬性 e，它有 6 個分量，與 6j 1個約束表達式一一對應(yīng)。本語句中的屬性分別屬于不同的集合，所以不能省略索引 i，j。同樣地，約束條件 xij d j , j 1, 2,8 用LINGO 語句表示為：i 1for(vendor

41、s(j):sum(warehouses(i): x(i,j)=d(j);1.2.4完整的模型綜上所述，例 1. 4 的完整 LINGO 模型如下：m:sets:warehouses/1.6/: e; vendors/1.8/: d; links(warehouses,vendors): c,x;endsetsdata:!數(shù)據(jù)部分;e= 60 55 51 43 41 52;!屬性值;d=35 37 22 32 41 32 43 38;c= 6 2 6 7 4 2 5 94 9 5 3 8 5 8 25 22 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;enddata86m

42、in=sum(links(i,j): c(i,j)*x(i,j);!目標函數(shù);for(warehouses(i):sum(vendors(j): x(i,j)=e(i);!約束條件;for(vendors(j):sum(warehouses(i): x(i,j)=d(j); end注 1. 6LINGO 模型以 m:開始，以語句 end 結(jié)束，這兩個語句單獨成一行。完整的模型由集合定義、數(shù)據(jù)段、目標函數(shù)和約束條件等部分組成，這幾個部分部分的先后次序無關(guān)緊要，但集合使用之前必須先定義。用鼠標點擊數(shù)值為 664，最優(yōu)上的“求解”按鈕，就可以求出上述模型的解。計算結(jié)果表明：目標函方案見表 1. 4。

43、表 1. 4最優(yōu)方案LINGO 語言的優(yōu)點從以上實例可以看出，LINGO 建模語言建立規(guī)劃模型有如下優(yōu)點：對大規(guī)模數(shù)學(xué)規(guī)劃，LINGO 語言所建模型較簡潔，語句不多。模型易于擴展，因為for、sum 等語句并沒有指定循環(huán)或求和的上下限，如果在集合在集合定義部分增加集和約束條件。員的個數(shù)，則循環(huán)或求和自然擴展，不需要改動目標函數(shù)數(shù)據(jù)部分與其他部分分開，對同一模型用不同數(shù)據(jù)來計算時，只需改動數(shù)據(jù)部分即可，其他語句不變。“集合”是 LINGO 很有特色的概念，它表達了模型中的實際事物，又與數(shù)學(xué)變量及常量聯(lián)系起來，是實際問題到數(shù)學(xué)量的抽象，它比 C 語言中的數(shù)組用途更為廣泛，集合中的成員可以隨意起名字

44、，沒限制，集合的屬性可以根據(jù)需要確定用多少個，可以用來代表已知常量，也可以用來代表決策變量。（5）使用了結(jié)合以及for、sum 等集合操作函數(shù)以后可以用簡潔的語句表達出常見的規(guī)劃模型中的目標函數(shù)和約束條件，即使模型有大量決策變量和大量數(shù)據(jù)，組成模型的語句并不隨之增加。1.3LINGO 的運算符和函數(shù)LINGO 的常用運算符算術(shù)運算符算術(shù)運算實際上就是加、減、乘、除、乘方等數(shù)果也是數(shù)，LINGO 中的算術(shù)運算符有以下 5 種：算，即數(shù)與數(shù)之間的運算，運算結(jié)+（加法），-（減號或負號），*（乘法），/（除法），（求冪）。 2.邏輯運算符邏輯運算就是運算結(jié)果只有“真”（true）和“假”（false

45、）兩個值的運算。在 LINGO 中，邏輯運算符主要用于集循環(huán)函數(shù)的條件表達式中，來控制在函數(shù)中哪些集成員被包含，哪些被排斥。在創(chuàng)建稀疏集時用在成員資格過濾器中。LINGO 具有種邏輯運算符：#and#（與） #or#（或） #not#（非） #eq#（等于）僅當兩個參數(shù)都為true 時，結(jié)果為 true；否則為 false；僅當兩個參數(shù)都為false 時，結(jié)果為 false；否則為 true；否定該操作數(shù)的邏輯值，not是一個一元運算符； 若兩個運算數(shù)相等，則為 true；否則為 false；V1V2V3V4V5V6V7V8合計W10W210032000033W3011000040051w40

46、0000503843W534700000041W6002200273052合計3537223241324338#ne#（不等于） 若兩個運算符不相等，則為 true；否則為 false；#gt#（大于）若左邊的運算符嚴格大于右邊的運算符，則為 true；否則為 false；#ge#（大于等于） 若左邊的運算符大于或等于右邊的運算符，則為 true；否則為 false；#lt#（小于）若左邊的運算符嚴格小于右邊的運算符，則為 true；否則為 false；#le#（小于等于） 若左邊的運算符小于或等于右邊的運算符，則為 true；否則為 false。這些運算符的優(yōu)先級由高到低為：高 #not#；

47、#eq#ne#gt#ge#lt#le#；低 #and#or#。3.關(guān)系運算符關(guān)系運算符表示的是“數(shù)與數(shù)之間”的大小關(guān)系，因此在 LINGO 中用來表示優(yōu)化模型的約束條件。LINGO 中關(guān)系運算符有三種：（即（即=，大于等于）.請注意在優(yōu)化模型中約束一般沒有嚴格小于、嚴格大于關(guān)系。此外，請注意區(qū)分關(guān)系運算符與“數(shù)與數(shù)之間”進行比較的 6 個邏輯運算符的不同之處。如果需要嚴格小于和嚴格大于關(guān)系，比如讓 A 嚴格小于 B ，那么可以把它變成如下的小于等于表達式： A B ，這里 是一個小的正數(shù)，它的值依賴于模型中 A 小于 B 多少才算不等。上述三類運算符的優(yōu)先級如表 1. 5 所示，其中同一優(yōu)先級

48、按從左到右的順序執(zhí)行，如果有括號“（）”，則括號內(nèi)的表達式有限進行計算。表 1. 5邏輯和關(guān)系運算符的優(yōu)先級1.3.2基本的數(shù)學(xué)函數(shù)函數(shù)的使用能大大減少用戶的編程工作量，所有函數(shù)都以“”符號開頭。LINGO中包括相當豐富的數(shù)學(xué)函數(shù)，直接在下面一一列出。abs(x)：絕對值函數(shù)，返回 x 的絕對值。acos(x)：反余弦函數(shù)，返回值 acosh(x)：反雙曲余弦函數(shù)。 asin(x)：反正弦函數(shù)，返回值 asinh(x)：反雙曲正弦函數(shù)。 atan(x)：反正切函數(shù)，返回值 atan2(y,x)：返回 y/x 的反正切。 atanh(x)：反雙曲正切函數(shù)。為弧度。為弧度。為弧度。cos(x)：余

49、弦函數(shù)，返回 x 的余弦值。cosh(x)：雙曲余弦函數(shù)。sin(x)：正弦函數(shù)，返回x 的正弦值，x 采用弧度制。sinh(x)：雙曲正弦函數(shù)。tan(x)：正切函數(shù)，返回 x 的正切值。 tanh(x)：雙曲正切函數(shù)。 exp(x)：指數(shù)函數(shù)，返回ex 的值。log(x)：自然對數(shù)函數(shù)，返回 x 的自然對數(shù)。log10(x)：以 10 為底的對數(shù)函數(shù)，返回 x 的以 10 為底的對數(shù)。lgm(x)：返回 x 的 gamma 函數(shù)的自然對數(shù)（當 x 為整數(shù)時，lgm(x)=log(x-1)!)）。優(yōu)先級運算符最高最低#not#-（負號）*/+-（減法）#eq#ne#gt#ge#lt#le#

50、#and#or#mod(x,y)：模函數(shù)，返回 x 除以 y 的余數(shù)，這里 x 和 y 應(yīng)該是整數(shù)。pi()：返回 pi 的值，即 3.14159265。(x,y)：指數(shù)函數(shù)，返回xy 的值。sign(x)：如果 x0，返回 1；如果 x=0，返回 0。floor(x)：取整函數(shù)，返回 x 的整數(shù)部分。當 x=0 時，返回不超過x 的最大整數(shù)；當x= r (i); for(days:gin(x);!約束 x 為整型變量;end4.size 函數(shù) 使用格式為： size(set_name)返回數(shù)據(jù)集 set_name 中包含元素的個數(shù)。例 1.17某公司準備新開發(fā)一個產(chǎn)品，為了保證新產(chǎn)品的按期投

51、入市場，公司要對新產(chǎn)品進行 PERT 分析。需要完成的作業(yè)由表 1. 6 所示。表 1. 6 PERT 網(wǎng)的相關(guān)數(shù)據(jù)畫出產(chǎn)品計劃網(wǎng)絡(luò)圖；求完成新產(chǎn)品的最短時間，列出各項作業(yè)的最早開始時間、最遲開始時間。解 （1）以 7 項作業(yè)作為頂點集，即頂點集V A, B, G，緊前作業(yè)到后續(xù)作業(yè)畫出有向弧，弧集集合記作 E ，畫出的產(chǎn)品計劃有向圖見圖 1. 10。BEFADGC圖 1. 10 產(chǎn)品計劃有向圖（2）用i 1, 2, 7 分別表示作業(yè)A, B, G ，第i 項工作的計劃完成時間記為t(i) ，第i項工作的最早和最晚開工時間分別記為tes (i),tls (i) ，第i 項工作的松弛時間ts (

52、i) tls (i) tes (i) ，則最早開工時間tes (i) 和最晚開工時間tls (i) 的遞推公式為：tes (1) 0 ， tes ( j) max tes (i) t(i) ， j 2,3, 7 ；(i, j )Etls (7) tes (7) ， tls (i) min tls (i) t( j) ， i 6,5,1 .(i, j )E利用 LINGOT ls(7) 10 45 。求得的計算計算結(jié)果見表 1. 7 。所以完成新產(chǎn)品的最短時間表 1. 7 產(chǎn)品計劃網(wǎng)絡(luò)圖的計算結(jié)果計算的 LINGO 程序如下：m:sets: tasks/A.G/:time,es,ls,slack

53、;pred(tasks,tasks)/A B,A C,B D,B E,C D,D G,E F,F G/; endsetsdata:time = 10, 14, 3, 3, 7, 4, 10;enddata作業(yè)ABCDEFG最早開工時間0101024243135最晚開工時間0102932243135作業(yè)名稱計劃完成時間緊前作業(yè)A產(chǎn)品設(shè)計10-B需求14AC市場3AD產(chǎn)品定價3B，CE生產(chǎn)規(guī)劃7BF開支4FG培訓(xùn)10D，F(xiàn)for(tasks(j)|j #gt#1:es(j)=max(pred(i, j):es(i) + time(i);for(tasks(i)|i #lt#ltask:ls(i)=

54、min(pred(i,j):ls(j)-time(i);); for(tasks(i):slack(i)=ls(i)-es(i);es(1)=0; !第一項工作的最早開始時間; ltask=size(tasks);!作業(yè)的總數(shù)量;ls(ltask)=es(ltask); !最后一項作業(yè)的最遲開始時間=最后一項工作的最早開始時間; end1.3.5變量定界函數(shù)變量定界函數(shù)對函數(shù)的取值范圍加以限制，共有以下七種函數(shù)：gin(x)：限制 x 為整數(shù)。bin(x)：限制 x 為 0 或 1。free(x)：取消 x 的非負性限制，即 x 可以取任意實數(shù)值。bnd(L,x,U)：限制 L=x=U。 so

55、s1(set_name,x)：限制x 中至多一個大于 0。sos2(set_name,x)：限制x 中至多兩個不等于 0，其他都為 0。 sos3(set_name,x)：限制x 中正好有一個為 1，其他都為 0。 card(set_name,x)：限制x 中非零元素的個數(shù)。 semic(L,x,U)：限制x=0 或 L=x=U。例 1.18（背包問題）給定n 種物品和一背包，物品i 的重量是 wi ，其價值為vi ，i 1, 2, n ，背包的容量為c ，問應(yīng)如何選擇裝入背包的物品，使得裝入背包中物品的總價值最大。假設(shè)現(xiàn)有 8 件物品，它們的重量分別為 3,4,6,7,9,10,11,12

56、（ kg ），價值分別為4,6,7,9,11,12,13,15（元），假設(shè)總重量限制不超過 30kg，試決策帶哪些物品，使所帶物品的總價值最大？解 引進0 1 變量 1, 物品i放入背包中,x0, 物品i不放入背包中.i建立如下的 0-1 整數(shù)規(guī)劃模型8max z vi xi ，i 1 8 ix c,wis.t . i 1x 1或0,i 1, 2,8. i利用 LINGO，求得的結(jié)果為帶物品 2、4、5、6，總價值為 38。計算的 LINGO 程序如下：m:sets: items/1.8/:x,w,v; endsetsdata: w=3,4,6,7,9,10,11,12;v=4,6,7,9,1

57、1,12,13,15; c=30;enddatamax=sum(items:v*x); !目標函數(shù); sum(items:w*x)=c; !重量約束; for(items:bin(x); !0-1變量約束; end例 1. 19（配對模型）某公司準備將 8 個職員安排到 4 個，每室兩人。根據(jù)以往觀察，已知有些職員在一起時合作好，有些則不然，表 1. 8 列出了兩兩之間的不相容程度，數(shù)字越小代表相容越好，問如何組合可以使總相容程度最好？表 1. 8 職員之間兩兩組合的不相容程度注：因為甲與乙配對等同于乙與甲配對，故表中數(shù)字只保留對角線上方的內(nèi)容。解 用cij 表示第i 人和第 j 人的不相容程

58、度，引進0 1 變量 1, i與j組合,（ i j ）x0, i不與j組合.ij則目標函數(shù)是總的不相容程度最小，約束條件是每人組合一次，即對于職員i ，必有 xji xikj ik i 1 .于是建立0 1 整數(shù)規(guī)劃模型如下：min cij xij ，i jji ikxx 1，s.t . j i k ixij 0或1, i j.利用 LINGO，求得最優(yōu)組合方案為： (1, 6) ， (2, 7) ， (3,8) ， (4, 5) ，總等級為 6。計算的 LINGO 程序如下：m:sets:ren/ 1.8/;pairs(ren,ren)|&1 #lt# &2:c,x; endsetsdata

59、:c=9 3 4 22 9 21 5 5 28 7 62 34;text()=table(x); !以表格形式把x的計算結(jié)果輸出到屏幕; enddatamin=sum(pairs:c*x); for(ren(i):sum(pairs(i,j):x(i,j)+sum(pairs(j,i):x(j,i)=1); for(pairs(i,j): bin(x(i,j);end例 1. 20某公司要生產(chǎn) 6 種產(chǎn)品，需要使用 6 種設(shè)備。生產(chǎn)每種產(chǎn)品所用的各種設(shè)備臺時、每件產(chǎn)品利潤、固定費用，以及 6 種設(shè)備的總臺時數(shù)見表 1. 9。在現(xiàn)有設(shè)備總臺時的約束下，如何安排生產(chǎn)才能使利潤最大。表 1. 9 產(chǎn)

60、品生產(chǎn)數(shù)據(jù)表產(chǎn)品 1產(chǎn)品 2產(chǎn)品 3產(chǎn)品 4產(chǎn)品 5產(chǎn)品 6設(shè)備總臺時設(shè)備 A140421800123456781-93421562-1735213-442924-15525-8766-237-48-解 設(shè)第i 種產(chǎn)品的生產(chǎn)量為 xi (i 1, 2, 6) ，第i 種產(chǎn)品的每件利潤為 ci (i 1, 2, 6) ，第i 種產(chǎn)品的固定費用為di (i 1, 2, 6) ；6 種設(shè)備分別為1, 2, 6 ；6 種設(shè)備的總臺時分別記作bi (i 1, 2, 6) ，生產(chǎn)第 j 種產(chǎn)品使用第i 中設(shè)備的臺時數(shù)為aij (i 1, 2,9; j 1, 2,9) 。引進0 1 變量 1, 生產(chǎn)第j種產(chǎn)