1、第八章 無窮級數 8.1 無窮級數的概念和基本性質 8.2 8.3 任意項級數,絕對收斂 8.4 冪級數 1一、無窮級數的基本概念8.1 無窮級數的概念和基本性質 給定一個數列 u1, u2, u3, , un, , 則由這數列構成的表達式 u1u2u3 un 其中第n項un叫做級數的一般項. 叫做無窮級數,簡稱級數.2稱為級數, 其中第n項un叫做級數的一般項. 表達式級數舉例: 級數的展開形式備注一般項簡寫形式調和級數 等比級數aqn-1幾何級數p級數 3級數的部分和: 級數的前n項的和 級數斂散性定義: 4余項: rnssnun1un2 例1 證明級數 123 n 是發散的. 證 此級數

2、的部分和為 5如果q1, 則部分和 解:(3)當q=-1時, 因為sn當n為奇數時等于a ；當n為偶數例2 時等于零。 (1)(2)6解:因為提示: 例3 因此，當時，幾何級數發散.7級數收斂的必要條件: 證: 注意: (1)級數的一般項趨于零并不是級數收斂的充分條件, 不能因為一般項趨于零就斷定級數收斂. （2）判斷級數斂散時應首先驗證是否滿足收斂的必要條件. 推論:如果則級數必發散. 定理1 如果收斂,則8證:但另一方面, 解:因為所以級數發散。例4 判斷級數的斂散性。例5 證明調和級數nn11=是發散的.9無窮級數的基本性質 性質110無窮級數的基本性質sn、sn、tn, 則 性質1 性

3、質211無窮級數的基本性質 性質3 在一個級數的前面加上、去掉或改變有限項, 級數的斂散性不變. 性質1 性質212 無窮級數的基本性質 性質4 如果級數收斂, 則對這級數的項任意加括號后所成的級數仍收斂, 且其和不變. 應注意的問題: 如果加括號后所成的級數收斂, 則不能斷定去括號后原來的級數也收斂. 例如, 級數(11)+(11) + 收斂, 但級數1-11-1 卻是發散的. 性質1 性質2 性質3 在一個級數的前面加上、去掉或改變有限項, 級數的斂散性不變. 13 無窮級數的基本性質推論 如果加括號后所成的級數發散, 則原來級數也發散. 性質1 性質2 性質4 如果級數收斂, 則對這級數

4、的項任意加括號后所成的級數仍收斂, 且其和不變. 性質3 在一個級數的前面加上、去掉或改變有限項, 級數的斂散性不變. 14正項級數收斂的充分必要條件它的部分和數列有上界. 一、正項級數 各項都是正數或零的級數稱為正項級數. 這是因為正項級數的部分和數列sn是單調增加的, 而單調有界數列是有極限的. 定理1(正項級數收斂的充要條件) 8.2 正項級數二、正項級數斂散性的判別法15定理2(比較判別法) 推論: 16例1 判斷下列級數的斂散性.解:(1) 因為(2) 而且收斂.所以，由比較判別法可知，級數收斂.而且發散.所以，由比較判別法可知，級數發散.17 解 定理2(比較判別法) 設un和vn

5、都是正項級數, 且unkvn(k0, nN). 若級數vn收斂, 則級數un收斂; 若級數un發散, 則級數vn發散. 例2討論p級數)0(11=pnpn的收斂性.所以 當18p級數)0(11=pnpn的收斂性：即當p1時收斂；當p1時發散.故該級數收斂.例如是的級數，19定理3. (比較法的極限形式)則有兩個級數同時收斂或發散 ;(2) 當 A = 0 (3) 當 A = 設兩正項級數滿足(1) 當 0 A 時,20的斂散性. 例4. 判別級數解:根據比較審斂法的極限形式知21 (2)當r 1(或)時，級數發散 定理4(比值判別法) 用法：常判別含有因子或、的級數斂散性。設級數為正項級數,則

6、如果(1)當時,級數收斂;(3)當r1時，比值判別法不能用.22 解:所以 根據比值判別法可知所給級數收斂 例3 證明級數是收斂的 23所以 根據比值判別法可知所給級數收斂 解 所以當時，級數收斂； 當時，級數發散. 解 例4 判斷級數的斂散性.當時，級數成為它發散. 例5 判斷級數的斂散性.24 解:因為 例6 判斷級數的斂散性. 所以 而級數 滿足 因此級數 收斂,從而級數收斂25 (2)當r 1(或r)時，級數發散 定理5(根值判別法) 用法：常判別含有因子或的級數斂散性。設級數為正項級數,則如果(1)當時,級數收斂;(3)當r1時，根值判別法不能用.26 解:因為 例7 判斷級數的斂散

7、性. 所以 (1)當時,級數收斂;(2)當時,級數發散;(3)當時,有所以當時,級數發散.278.3 任意項級數,絕對收斂一、交錯級數的定義 交錯級數是這樣的級數, 它的各項是正負交錯的. 定理1(萊布尼茲定理) (1)unun1(n1 2 3 ) 則級數收斂 且其和su1 其余項rn的絕對值|rn|un1 28這是一個交錯級數. 解:由萊布尼茨定理, 級數是收斂的, 且其和su11,則級數收斂, 且其和su1, 其余項rn的絕對值|rn|un1. 定理1(萊布尼茲定理) 因為此級數滿足 例129二、絕對收斂與條件收斂 例如: 若級數=1|nnu收斂,則稱級數=1nnu絕對收斂;收斂,而級數=

8、1|nnu發散,則稱級=1nnu條件收斂.若級數=1nnu30三、絕對收斂與收斂的關系 定理2 應注意的問題 =1nnu=1nnu如果級數絕對收斂,則級數必定收斂. 例2 解 31定理3 解 例3 判別級數的收斂性.所以級數絕對收斂。 對任意項級數如果則 （1）當時，級數絕對收斂；（2）當時，級數發散.32 解 所以,當時，級數絕對收斂； 當時，級數發散. 例4 判斷級數的斂散性.當時，級數成為它收斂. 當時，級數成為它發散. 33 8.4 冪級數 形如 a0a1xa2x2 anxn 的級數稱為冪級數, 其中常數ai(i=1,2, )叫做冪級數的系數. 冪級數1xx2x3 xn , 冪級數舉例

9、: 說明: 冪級數的一般形式是 a0a1(x-x0)a2(x-x0)2 an(x-x0)n . 這種形式經變換t=x-x0可化為上述定義形式.34 冪級數 1xx2x3 xn 是公比為x的幾何級數. 因此它的收斂域為(-1, 1), 它在|x|1時收斂, 在|x|1時發散. 在收斂域內有 冪級數舉例: 35 如果冪級數anxn當xx0(x00)時收斂, 則適合不等式|x|x0|的一切x使冪級數anxn發散. 注:|x|x0|x|x0|定理1 anxn是冪級數的簡記形式.36 如果冪級數anxn不是僅在點x0一點收斂, 也不是在整個數軸上都收斂, 則必有一個完全確定的正數R存在, 使得 當|x|

10、R時, 冪級數發散; 當xR與xR時, 冪級數可能收斂也可能發散. 收斂半徑與收斂區間 推論 正數R通常叫做冪級數anxn的收斂半徑. 從R到 R的區間叫做冪級數anxn的收斂區間 注: 若冪級數只在x0收斂, 則規定收斂半徑R0; 若冪級數在(, )內收斂, 則規定收斂半徑R. 37定理2(收斂半徑的求法) 解:因為 38解: 因為 所以收斂半徑為R, 從而收斂域為(, ).因此, 收斂域為(1, 1. 39解: 因為 所以收斂半徑為R0, 即級數僅在x0處收斂.40 注:此級數缺少奇次冪的項, 前述求收斂半徑的方法不能直接應用.解: 這種缺項冪級數一般用比值審斂法來求收斂半徑. 因為所以當

11、4|x|21即|x|1即|x|時級數發散,41解: 所以收斂半徑R2. 所以原級數的收斂域為1, 3). 即2x12, 或1x3, 因此收斂域為2t2, 42冪級數的性質: 設冪級數anxn及bnxn分別在區間(R1, R1)及(R2, R2)內收斂, 則在(R1, R1)與(R2, R2)中較小的區間內有減法: 加法: =(an-bn)xn. =(an+bn)xn, anxn-bnxn anxn+bnxn 43 性質1 冪級數anxn的和函數s(x)在收斂域I上連續 冪級數的和函數的性質 逐項積分后所得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑 性質2 冪級數anxn的和函數s(x)在收斂域I上可積 并且有逐項積分公式 性質3 冪級數anxn的和函數s(x)在收斂區間(R R)內可導 并且有逐項求導公式逐項求導后