1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。一元微積分（第一章 函數、極限、連續）-第一章函數、極限、連續重點：1、求函數的極限（最重要的方法是LP法則）2、無窮小的比較3、考察分段函數在分段點的連續性4、間斷點的判定及分類5、介值定理一、函數1、函數的定義及表示法【理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立簡單應用問題的函數關系式】函數概念函數的兩要素函數的表示方法顯函數：隱函數：由方程確定的函數.例：確定了參數方程表示的函數：由方程確定的函數.例：確定了.積分上限函數：例：概率表示的函數：，其中為隨機變量，為實數.分段函數：自變量不同范圍內用不

2、同式子表示的一個函數【例】；.如A.絕對值表示的函數；B.極限表示的函數；C.其他形式-符號函數取整函數2、函數的性質【了解函數的有界性，單調性，周期性，奇偶性】有界性：在某區間內有定義，若存在，對任意，總有，則稱在某區間內有界.否則稱在某區間內無界.例：單調性：在某區間內有定義，若，當時，就稱單調上升；當時，就稱單調下降不含等號時稱嚴格單增（或單減）.奇偶性：若，則稱為偶函數，偶函數的圖形關于軸對稱；若，則稱為奇函數，奇函數的圖形關于原點對稱周期性：（主要是三角函數）【例1】討論的奇偶性【奇函數】【例2】設，則是（）A.偶函數B.無界函數C.周期函數D.單調函數【解】因為時，所以非有界即為無

3、界函數.基本初等函數【掌握基本初等函數的性質及圖形】（反、對、冪、三、指）常數函數-冪函數-（為常數）例：指數函數-（），對數函數-（），三角函數-反三角函數-復合函數、反函數、初等函數【了解反函數和隱函數的概念，理解復合函數及分段函數的概念，了解初等函數的概念】復合函數；為外層函數，稱為內層函數反函數的反函數為或.【例】稱為是函數的反函數.【例】看作是由復合而成的復合函數.初等函數：由六類基本初等函數經過有限次四則運算及有限次復合運算而得的用一個數學式子表示的函數.注意：分段函數一般不是初等函數。【例】設，求【解】二、極限【理解極限的概念，理解左、右極限的概念及極限存在與左、右極限的關系】定

4、義：若當時，則稱結論：性質【掌握極限的性質】極限存在的唯一性：極限存在則唯一局部有界性：若，則在的一定范圍內有.保號性：若，則在的一定范圍內若存在，則當時，一定有【例】由.【例】由.【例】由單調遞增.3、無窮小及其比較【理解無窮小、無窮大及無窮小階的概念，會用等價無窮小求極限】定義：若，則稱時，為無窮小量若，則稱時，為無窮大量（注意區別無窮大量與無界函數）性質：有限個無窮小的和（積）仍為無窮小常數與無窮小的乘積仍為無窮小有界函數與無窮小的乘積仍為無窮小【即】【例】求【0】無窮小的比較若和為自變量同一變化趨勢下的無窮小量，若，稱是比高階的無窮小，記為若，（），稱和為同階無窮小若，稱和為等價無窮小

5、，記為若，(),則稱是的階無窮小4.求極限的方法【掌握洛必塔法則、極限的四則運算法則、極限存在的兩個準則、兩個重要極限，會用它們求極限】用洛必塔法則求極限未定型的極限一般可用洛必塔法則來求.型直接用，其他五種未定型的極限必須化為上述形式才能用洛必塔法則來求.【例1】求【例2】求.【例3】求.求.求.【例6】【例7】（2009數三）求利用四則運算法則求極限（和、差、積、商的極限當每一個極限存在且分母極限不為零時可分別求）【例1】求【例2】求【例3】求.利用左、右極限求極限【例1】設，求【解】，則=1求【解】；，則利用極限存在的兩個準則求極限（）若，且，則（）若數列單調遞增有上界（或數列單調遞減有

6、下界），則數列一定有極限【例1】求【解】因而，則求【解】，則或【例】設，其中，求【證】，即數列有下界即，即數列單調遞減，由單調有界原理知數列有極限，設，則，即，則.【例4】設【解】，假設，則，所以有上界；因假設，那么，所以單調遞增；由于數列單調遞增有上界，所以數列一定有極限，設在兩邊取極限，有總結：給出了與的關系式（），要求，一般用單調有界準則（首先證明極限存在，再兩邊取極限）.利用兩個重要極限求極限（與三角函數有關的型的極限）（型的極限）【例1】求.【例2】求.利用“有界函數與無窮小量相乘仍是無窮小量”求極限若，且，則【例1】求解：而，故.【例2】求.利用等價無窮小代換求極限定理：若，則（注

7、：乘除可以換，加減不能換）常見的等價無窮小：時，【例1】求【解】原式【例2】求(注：)【解】原式（乘積中某一部分極限存在且不為零，可先求出此極限）【例3】已知，求【解】，則【例4】求【解】原式.利用函數的極限求數列的極限(注：數列非連續，不可直接使用羅必塔法則)【例】求利用變量代換求極限【例1】已知，求【解】令：，則.【例2】求.極限值已知，確定未知常數.【例1】已知，求【解】解得：【例2】設當時，是比高階的無窮小，求.【解】由已知得,即又，則，【例3】（2009數1、2、3）當時，與為等價無窮小量，求.【解】,于是再由.則總結：求型極限，若乘積因子中有等價無窮小量可先代換；若有非零的乘積因子

8、可先計算出其極限；若仍為型，此時考慮用羅必塔法則，同時結合其他求極限的方法.二連續性【理解函數連續的概念（含左連續與右連續），會判斷函數間斷點的類型】連續的定義：若（），則稱函數在點連續間斷點及其分類：若函數在點不連續，則點稱為的間斷點第一類間斷點：左、右極限都存在的間斷點（左、右極限不相等的為跳躍間斷點，左、右極限相等的間斷點為可去間斷點）第二類間斷點：非第一類的間斷點（注：一般地，分段函數的分段點及分式函數中分母為0的點都有可能為間斷點）初等函數的連續性【了解連續函數的性質和初等函數的連續性】基本初等函數在其定義域內都是連續的；初等函數在其定義區間內都是連續的；單調連續函數的反函數在相對應

9、的區間上仍為單調連續函數【例1】討論下列函數的連續性，若有間斷點，判別其類型.【解】因為，所以為第二類無窮型間斷點，因為，所以為第一類跳躍間斷點.【，為第一類可去間斷點，為第二類無窮型間斷點】【解】，為的間斷點，且因為，所以，為第一類可去間斷點，為第二類無窮型間斷點【例2】函數（A）在其定義域內連續，AB.C.D.【解】為初等函數，其定義域為，即其定義區間為，由初等函數連續性的性質知A正確.而B、C、D的定義域均為R，其中在處均不連續.【例3】設，如何選擇，使在內連續【解】時，為初等函數，時，為初等函數，均連續，要使在內連續，只需在時連續即可.即時，在內連續討論函數的連續性，若有間斷點，判斷其類型.【解】，則為第一類跳躍間斷點；，則為第一類跳躍間斷點【例5】（2009數1、2、3）函數的可去間斷點的個數為.【解】由均為的間斷點，而；，當時，均有，故函數的可去間斷點的個數為3.、閉區間上連續函數的性質【理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質】（1）若為上的連續函數，則在上一定取得最大值和最小值（2）若為上的連續函數，M和m分別是在上的最大值和最小值，常數C滿足：，則一定存在，使（3）（零點定理）若為上的連續函數，且，則至少存在，使【例1】證明方