1、ch3靜態電磁場及其邊值問題的解全解3.1 靜電場分析 學習內容 靜電場的根本方程和邊界條件 電位函數 導體系統的電容與局部電容 靜電場的能量 靜電力3.1.1 靜電場的根本方程和邊界條件 靜電場根本方程積分形式微分形式本構關系 靜電場邊界條件 兩種一般電介質分界面上 兩種理想電介質分界面上討論：分界面上場矢量的折射關系介質2介質1 在靜電平衡的情況下，導體內部的電場為0，那么導體外表的邊界條件為 或導體外表的邊界條件 對靜電場，由 ，即靜電場可以用一個標量的梯度來表示。標量稱為標量位或標量電位。3.1.2 電位函數 電位函數定義 電位函數為電場的輔助函數，是一個標量函數； “表示電場指向電位

2、減小最快的方向； 在直角坐標系中關于電位函數的討論即：電位的泊松方程在無源區域，電位的拉普拉斯方程 電位方程通過求解電位方程可求得空間中電位分布，進而求得電場分布。優越性：求矢量函數的問題轉化為求標量函數的問題介質2介質1電荷區 電位差反映了電場空間中不同位置處電位的變化量。 電位差的計算： 電位差電壓電場空間中兩點間電位差為： 電位參考點僅僅根據電位函數的定義無法唯一確定電位分布，同一電場可對應無限多電位分布，為使空間各點電位具有確定值，必須選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即選參考點令參考點電位為零電位確定值

3、(電位差)兩點間電位差有定值電位參考點的選擇原那么: 應使電位表達式有意義 應使電位表達式最簡單 同一個問題只能有一個參考點幾種根本分布電荷的電位 點電荷的電位選取Q點為電位參考點，那么遵循最簡單原那么，電位參考點Q在無窮遠處，即那么：點電荷在空間中產生的電位說明：假設電荷分布在有限區域，一般選擇無窮遠點為電位參考點 無限長線電荷的電位 電位參考點不能位于無窮遠點，否那么表達式無意義。 根據表達式最簡單原那么，選取r=1柱面為電位參考面，即得：無限長線電流在空間中產生的電位體電荷：面電荷：線電荷：式中：說明：假設參考點在無窮遠處，那么c=0。 分布電荷體系在空間中產生的電位假設B點為參考點 不

4、同媒質分界面上的靜電位設P1和P2是介質分界面兩側緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為1和2。當兩點間間隔 l0時lP1P2理想介質外表理想導體是等位體3.1.3 導體系統的電容 電容是導體系統的一種根本屬性，是描繪導體系統 儲存電荷才能的物理量。電容器在實際問題中的作用：典型的有利作用： 儲能、濾波、移相、隔直、旁路、選頻等典型的不利作用： 電容耦合系統和部件產生的電磁兼容問題孤立導體的電位與其所帶的電量成正比。孤立導體電容定義：孤立導體所帶電荷量與其電位之比。即 孤立導體電容 電容C只與導體幾何性質和周圍介質有關，與q 和 無關 空氣中半徑為a的孤立帶電球，關于孤立導體電容的說明： 兩個導體構

5、成電容器。兩導體間電位分別為 和 ，導體帶電量分別為Q和-Q，那么定義電容器電容為： 雙導體的電容 *多導體的電容(局部電容)式中：導體與地之間電容，稱導體自電容導體之間的電容，稱導體互電容 (4) 求比值 ，即得出所求電容。 (3) 由 ，求出兩導體間的電位差；計算電容的步驟： (1) 假定兩導體上分別帶電荷+q 和q ； (2) 計算兩導體間的電場強度E； 電容的大小只與導體系統的幾何尺寸、形狀和及周圍電介 質的特性參數有關，而與導體的帶電量和電位無關。 計算電容的步驟：計算同軸線內外導體間單位長度電容。解：設同軸線內外導體單位長度帶電量分別為 和 ，那么內外導體間電場分布為：那么內外導體

6、間電位差為：內外導體間電容為：例 同軸線3.1.4 靜電能量 靜電場能量來源于建立電荷系統的過程中外源提供的能量。靜電場最根本的特征是對電荷有作用力，這說明靜電場具有能量。 帶電系統從沒有電荷分布到建立某種最終電荷分布的過程中，外加電源必須抑制電荷之間的互相作用力而做功。 分布電荷靜電場能量 空間電荷分布為 ，在空間中產生電位為 。空間中總電場能量為：點電荷系統的電場能量對N個點電荷組成的系統，電荷體密度為利用函數的選擇性點電荷互相作用能帶電導體系統的能量對N個帶電導體組成的系統，各導體的電位為i，電量為qi,，外表積為Si，那么導體系統的電場能量為 電場能量密度電場能量密度：電場總能量：積分

7、區域為電場所在的整個空間對于線性、各向同性介質，有：由邊界條件知在邊界兩邊 連續。解：設同軸線內導體單位長度帶電量為Q。 同軸線內外導體半徑分別為a,b，導體間局部填充介質，介質介電常數為 ，如以下圖。內外導體間電壓為U。求：1) 導體間單位長度內的電場能量 2)內外導體間電容。例 兩種方法求電場能量：或應用導體系統能量求解公式靜態電場問題按電荷靜止或運動情況分類靜電場恒定電流場靜止 任意勻速運動 有限3.2 導電媒質中的恒定電場分析 學習內容 恒定電場的根本方程和邊界條件 恒定電場的邊界條件 漏電導 恒定電場與靜電場的比較 什么情況下會產生恒定電流場的問題？導電媒質中存在電場的時候！ 恒定電

8、場與靜電場的區別： 1恒定電場可以存在于非理想導體內部，而靜電場不能 2恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。 恒定電場和靜電場一樣點：1、均為有源無旋場 2、大小均不隨時間改變 恒定電場和靜電場比較3.2.1 恒定電場的根本方程 恒定電場的根本量： 恒定電場根本方程微分形式：積分形式： 本構關系：3.2.2 恒定電場的邊界條件 用類比關系推導恒定電場邊界條件。比較可知，將靜電場根本方程中的 代換為 ，那么兩者根本方程形式完全一樣。 的邊界條件 的邊界條件討論：媒質2媒質1 導電媒質2 1：介質外表上電場既有法向分量又有切向分量，電場并

9、不垂直于導體外表，導電媒質外表不是等位面； 媒質2為良導體2 1：10，即電場線近似垂直于與導體外表。此時，良導體外表可近似地看作為等位面； 媒質1為理想介質10：那么J1=0，故J2n= 0 且 E2n= 0，即導體中的電流和電場與分界面平行。關于恒定電場邊界條件的幾點說明電阻和電導3.2.3 恒定電場與靜電場比較 假設兩種場具有一樣形式場的方程、一樣的邊界形狀、等效的邊界條件，那么其解形式也必一樣；如能求出一種場的解，那么可通過交換對應物理量而得到另一種場的解。恒定電場與靜電場的比較根本方程靜電場（ 區域） 本構關系位函數恒定電場電源外比較法思路：對應物理量靜電場恒定電場 靜電比較法應用：

10、 一樣導體構造分別填充理想介質和導電媒質時，可通過改變表達式中對應量，可由G求C，或由C求G。恒定電場與靜電場的比較根本方程靜電場（ 區域） 本構關系位函數恒定電場電源外例1 同軸線內外導體半徑分別為a和b，填充介質0，具有漏電現象。同軸線外加電源電壓為U，求漏電介質內單位長度的漏電電導。解法一：靜電比較法：填充理想介質時：內外導體電勢差：由靜電比較，得同軸線內外導體單位長度漏電導為：解法二： 設同軸線單位長度由內導體流向外導體電流強度為 ,那么 內外導體間電位差為：內外導體間單位長度漏電導：內外導體間電場分布：內外導體間電位分布： 導體媒質的功耗 功耗密度和功耗 一、靜止電荷產生的場靜電場

11、導體內部的靜電場為零 導體外表的切向電場為零 等勢體 導體內部的電荷為零 電荷只能位于導體外表，密集于外表鋒利局部 應用：靜電感應，靜電屏蔽，避雷針， 靜態電場的典型現象和結論 二、運動電荷產生的直流電場恒定電場 導電媒質 內部可存在電場 導電媒質外表的切向電場一般非零 非等勢體 導電媒質內部可有運動電荷，但凈電荷量為零 凈電荷只能位于導體外表 理想導體 內部電場為零，電流為零 理想導體邊界上的電場垂直于外表 等勢體靜態電場的典型現象和結論 恒定磁場的根本方程和邊界條件 恒定磁場的矢量磁位和標量磁位 電感 恒定磁場的能量 磁場力3.3 恒定磁場分析出發點Maxwell方程組條 件本構關系邊界條

12、件靜態恒定磁場問題2. 邊界條件一般性問題微分形式：本構關系：1. 根本方程一般性問題積分形式：或3.3.1 恒定磁場的根本方程及邊界條件 在兩種理想磁介質分界面上在理想導體分界面上3.3.2 恒定磁場的矢量磁位 矢量磁位的引入式中： 稱為恒定磁場的矢量磁位。 庫侖標準要求： 與 間滿足一一對應關系。 矢量位的任意性 矢量位A不是唯一確定的，它加上任意一個標量的梯度以后，仍然表示同一個磁場。 庫侖標準條件 在恒定磁場中，一般采用庫侖標準條件，即令 注意：標準條件是人為引入的限定條件。 應用庫侖標準 ，得： 矢量磁位的微分方程由矢量恒等式：上式變為：矢量泊松方程在無源區：矢量拉普拉斯方程 矢量磁

13、位的求解 無限大均勻媒質空間中的問題類比方法求解 矢量磁位的求解續 存在不同媒質分界面的問題磁矢位的邊界條件磁通與磁鏈3.3.3 電感 C回路 磁通 磁鏈CI電流回路與所有電流回路鉸鏈的總磁通計入電流存在的所有回路每個回路是計入與之鉸鏈的全部磁通In為與磁通 鉸鏈的總電流對載流為I 的回路之比 單匝線圈 多匝線圈CI細回路 粗導線回路iCIo粗回路 磁鏈計算o :外磁鏈； i :內磁鏈假設為細導線線圈密繞，n等于線圈匝數N整數 電感的定義定義：穿過某電流回路的磁鏈與回路中電流強度之比。 自感 假設某回路C載流為I，其產生的磁場穿過回路自身C所形成的自感磁鏈為 ，那么定義回路C的自感系數為：特征

14、：磁鏈是I自已產生的 回路自感僅與回路自身的幾何形狀、尺寸和媒質磁導率有關，與回路中載流無關。 假設回路為N匝線圈密繞，那么 假設回路導線直徑較粗，那么回路自感為內自感和外自感之和關于回路自感的討論 為回路外自感，即導體外磁場與回路交鏈所形成電感式中： 為回路內自感，即導體內部磁場與局部電流交鏈所形成電感CI細回路iCIo粗回路 例 求雙傳輸線單位長度自感。設導線半徑為a，導線間距為D。(Da)分析：導線為細導線，故只需考慮導體間的互感。解：由安培環路定律，可以求得在導體間磁感應強度分布：那么導體間單位長度的磁通量為PII 互感 回路C1與回路C2交鏈的磁通量為 ，那么回路C1對C2的互感系數

15、為：同理定義回路C2對C1的互感系數為：C1C2I1I2C1 中總磁鏈:1總 =1+12C2 中總磁鏈:2總 =2 +21考慮： 1總 =？； 2總 =？紐曼公式互感性質：1、互易性：2、大小只與回路幾何性質、相對位置和周圍介質有關。 紐曼公式C1C2R12I1dl1I2dl2諾伊曼公式給出了兩個簡單回路間互感的計算方法。諾伊曼公式同理：3.3.4 恒定磁場能量 假設電流為體電流分布，那么其在空間中產生的磁能為： 式中： 為體電流 在dV處產生的磁位。 V為整個空間。 體電流的磁場能量關于體電流磁場能量表達式的說明 只適用于恒定磁場積分可以只在 0的區域進展 被積函數 不代表能量密度，雖然積分

16、是在有電流的空間中進展，但能量是分布在整個有磁場存在的空間 電流回路系統的磁場能量 N個回路系統，i回路自感為 ，i回路與j回路間互感為 ，i回路電流為 ，那么磁回路系統的磁場能量為: 假設回路為單回路系統，那么 假設回路為雙回路系統，那么關于電流回路系統磁場能量的討論磁場能量密度：磁場能量：積分區域V內的磁場能量對于線性各向同性媒質，那么有 磁場能量密度假設回路載流為I，其在空間中產生的磁場為H，那么由能量關系，可得討論：利用磁能求單回路電感例 求半徑為a的無限長直導線單位長度內自感。解：設導體內電流為I，那么由安培環路定律那么導體內單位長度磁能為例 求內外半徑分別為a和b的無限長同軸線單位

17、長度的自感解：在內外導體之間，a0b由上題例1得3.4 靜電場的邊值問題及唯一性定理出發點Maxwell方程組條 件本構關系邊界條件直接針對場量計算的靜態電磁場分析方法 電位函數滿足Poisson方程 基于電位求解分析靜態電場問題的方法 電位的邊界條件通過位函數間接計算靜態電磁場的分析方法磁矢位的邊界條件 磁矢位函數滿足Poisson方程 基于磁矢位求解分析靜態磁場問題的方法3.4 靜態場的邊值問題 討論內容 3.4.1 邊值問題的類型 3.4.2 惟一性定理邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數的泊松方程或拉普拉斯方程3.4.1 邊值問題的類型 第一類邊值問題：電位函數在全部邊界面上的分布

18、值。狄里赫利問題 第二類邊值問題：函數在全部邊界面上的法向導數。紐曼問題 第三類邊值問題：一局部邊界面上的函數值，和另一局部邊界面上函數的法向導數。混合邊值問題例：第一類邊值問題第三類邊值問題3.4.2 唯一性定理假設區域V內的電荷分布和介質分布 確定，在場域V 的邊界面S上給定 或 的值，那么拉普拉斯方程或泊松方程在區域V內的解唯一。唯一性定理的意義1、給出了靜態場邊值問題具有惟一解的條件2、為靜態場邊值問題的各種求解方法提供了理論根據3、為求解結果的正確性提供了判據靜態場局部典型例題 同軸線內導體半徑為a，外導體半徑為b。內外導體間充滿介電常數分別為 和 的兩種理想介質，分界面半徑為c。已知外導體接地，內導體電壓為U。求:(1)導體間的 和 分布； （2）內外導體間電位分布； (3)同軸線單位長度的電容 （4）單位長度電磁能量分析：電場方向垂直于邊界，由邊界條件可知，在媒質兩邊 連續例