1、數學小課題研究教學案例平行四邊形面積的計算一、課題的確定平行四邊形的面積計算是五年級上冊的教學內容。關于面積計算，學生在三年級學習過長方形、正方形的面積計算，通過數方格的辦法得出“長乘寬”的面積計算公式。用數方格的方法計算面積，這是一種直觀的計量面積的方法，但是像平行四邊形這樣兩邊構不成直角的圖形該如何數？這對學生來說是一個新問題，非常值得研究。通過研究，學生可能會有一些新的方法，自己得出計算平行四邊形的計算公式，從而對平行四邊形面積計算公式有更深刻的認識。二、課題的布置與指導1、第一天面向全體同學布置研究任務：平行四邊形的面積怎樣計算？要求不能看課本，不能上網查資料，也不能問家長，可以自己畫

2、出圖形來研究。2、第二天收集學生研究成果，發現學生的研究成果有以下幾種：平行四邊形的面積等于兩條鄰邊相乘，這種意見占了一大半；在方格紙上畫幾個平行四邊形，通過數方格的方法得出平行四邊形的面積；與第二種方法一樣，不過更進一步，得出了平行四邊形面積等于底乘高，全班持這種意見的只有兩位同學。學生仿照長方形的面積計算方法得出兩條鄰邊相乘，這本是意料之中的事，但大多數同學都支持這種意見，一下子讓我感到束手無策。下一步該怎么辦呢？思考再三，我決定就從“兩條鄰邊相乘”入手，進一步向全體同學布置了以下研究任務：平行四邊形的面積會不會等于“兩條鄰邊相乘”呢？請同學們判斷這一猜測是否正確，并說明理由。把平行四邊形

3、畫在方格紙上，你能求出它的面積嗎？你有什么發現？同時，我把持第二、三種意見的同學組織起來，成立了4個研究小組，每個小組3、4人，又給他們布置了一個研究任務：任意一個平行四邊形，通過剪、拼、折、畫等方法計算出它的面積，你能推導出平行四邊形的面積公式嗎？3、第三天和研究小組的同學一起梳理研究成果，組織好語言，準備好匯報材料。三、課堂教學實錄（一）直接導入前幾天老師布置同學們研究“平行四邊形的面積”，（板書課題）請同學們看大屏幕：屏幕上呈現的是同學們的研究任務：1、平行四邊形的面積會不會等于“兩條鄰邊相乘”呢？請同學們判斷這一猜測是否正確，并說明理由。2、把平行四邊形畫在方格紙上，你能求出它的面積嗎

4、？你有什么發現？3、任意平行四邊形，通過剪、拼、折、畫等方法計算出它的面積，并推導出平行四邊形的面積公式。【評析：研究任務的布置，層次清晰、科學合理，研究問題“平行四邊形的面積會不會等于兩條鄰邊相乘呢”符合學生已有的知識經驗，注意學生知識的遷移，既與學生心中的疑惑產生共鳴，激起學生研究的欲望，又能巧妙地解決學生容易出錯的問題。】據老師了解，部分同學對這些問題進行了比較深入地研究并取得了豐碩的研究成果。今天我們就請這些研究員給大家匯報，在他們匯報的過程中，希望同學們能認真傾聽、積極發言、大膽質疑，如果有什么不明白的問題可以直接向研究員請教，有不同的想法也可與他們積極地互動交流，同學們能做到嗎？（

5、能）老師也相信大家！現在就讓研究員帶著大家一起步入平行四邊形面積的研究之旅吧！(二)學生匯報首先讓我們以熱烈的掌聲歡迎第一研究小組和大家共同分享他們的研究成果。1、第一研究小組匯報研究成員一：我們都知道長方形的面積=長寬，正方形的面積=邊長邊長，那平行四邊形的面積會不是鄰邊鄰邊呢？研究成員二：同學們，今天我就用我手中的這個平行四邊形來說明我們的猜測是否正確。大家看我手中的這個平行四邊形，它的兩條鄰邊分別長16厘米和10厘米，哪位同學能上來指一下它的面積？很好，請回。這個平行四邊形的面積就和我手中的這個白色平行四邊形一樣大。大家注意看，我把它輕輕地拉動一下，變成了另一個平行四邊形，它的兩條鄰邊的

6、長短仍然沒變，面積卻變小了。所以說平行四邊形兩條鄰邊的長短不能完全決定平行四邊形面積的大小！大家再看我手中的這兩個平行四邊形，他們的兩條鄰邊都長16厘米和10厘米。但面積卻有的大有的小。下面我再舉一個生活中的例子。大家都見過學校門口的大門吧！那是自動伸縮門，自動伸縮門是由許多平行四邊形組成的，大家有沒有注意觀察過？當大門在關上的時候，平行四邊形的面積就越來越大，當大門在逐漸打開的時候，平行四邊形的面積就越來越小，但是鄰邊的長短仍然沒有變。我最后的結論是：平行四邊形兩條鄰邊的長短不能完全決定平行四邊形面積的大小。研究成員三：我們還可以用補的方法，在平行四邊形的兩邊分別給補上兩個同樣的直角三角形，

7、這樣就變成了一個長方形，平行四邊形的面積等于大長方形的面積-兩個直角三角形的面積，而兩個直角三角形又能拼成一個小長方形，所以平行四邊形的面積=大長方形的面積-小長方形的面積，（研究小組出示數據加以說明）平行四邊形的面積不是鄰邊鄰邊。研究成員二：我們可以把平行四邊形分割成一個長方形和兩個同樣的直角三角形。這樣，平行四邊形的面積等于長方形的面積+兩個直角三角形的面積，而兩個直角三角形又能拼成一個小長方形，所以平行四邊形的面積=大長方形的面積+小長方形的面積，（再次出示數據說明）平行四邊形的面積不是鄰邊鄰邊。【評析：“平行四邊形的面積等于鄰邊乘鄰邊”這是學生由長方形面積計算方法遷移過來的，因為開始大

8、多數同學都支持這個觀點，所以鄭老師重點安排了一個小組來研究這個問題。研究小組通過生活中的實例與割補的辦法充分證明的了之前大家的猜想是錯誤的。平行四邊形的面積究竟該怎樣計算呢？學生心中的疑惑雖然沒有解開，但對研究小組的展示交流充滿了期待。】大家聽明白了嗎？還有什么疑問嗎？師：第一研究小組用不同的方法證明了平行四邊形的面積=鄰邊鄰邊這個猜測是錯誤的，接下來讓我們繼續仔細聆聽第二研究小組的精彩匯報吧。2、第二研究小組匯報研究成員一：大家還記得我們曾經用數格子的方法求出長方形、正方形的面積嗎？（記得）課下我們用數格子的方法求出了平行四邊形的面積。研究成員二：大家都知道一個格代表1平方厘米，先數出整格的

9、（有9格），然后再數出不滿一格的。我來介紹一下不滿一格的，這個格和另一個格可以組成一個整格，這樣就組成了3個整格，用9+3=12平方厘米，這個平行四邊形的面積是12平方厘米。當然我們不用這樣找哪兩個不滿一格的可以組成一個整格，這樣太麻煩了！我們又發現了一個小竅門：不滿一格的可以看作半格來計算，所以6個不滿一格的可以看作3個整格，62=3。在這里我要告訴大家一個更簡便的方法：一行的整格數行數=平行四邊形的面積。現在我來給大家具體解釋一下：一行的整格數就是指一行有多少個整格，行數就是指有幾行。研究成員三：大家覺得我們這種方法好嗎？生1：挺好的。生2：你們這個方法必須得用格子紙，如果沒有格子那怎么辦

10、？生3：隨便一個平行四邊形用數格子不好數吧！研究成員三：其實，我們的這種方法比較適合計算小平行四邊形的面積，你想比較大的，例如平行四邊形的菜地、停車場就比較麻煩了！【評析：非研究員適時地質疑，提出了數格子方法的局限性，很有思考價值。研究員與非研究員之間的質疑解答，對研究員提出了更高的要求。】師：同學們提出數格子方法的缺點，任意一個平行四邊形的面積應該怎樣求呢？掌聲歡迎第三研究小組閃亮登場！3、第三研究小組匯報研究成員一：各位同學，大家好！課下我們對平行四邊形進行了研究，大家想不想聽我們的研究成果？（想）我先問大家一個問題，你們喜歡不喜歡魔術？（喜歡）現在我給大家變一個魔術，請同學們先看著我手上

11、的這兩個平行四邊形，它們是一樣的，我先把其中一個貼在黑板上，請同學們看我現在手上的平行四邊形，看好了嗎？讓我們一起倒數五個數，5、4、3、2、1，請大家閉上眼睛。（開始變魔術）好了，可以把眼睛睜開了，看這個平行四邊形變成了什么圖形（長方形），誰知道我是怎么把它變過來的嗎？（同學回答：把那個小三角形剪下來的，）很好，請坐。下面我再給大家演示一遍，先沿著平行四邊形的一個頂點向下做一條高，然后再沿著這條高剪下來，把剪下來的三角形平移到另一邊，就變成了一個長方形。研究成員二：其實我們不只是沿著頂點畫高剪下來平移成長方形，我們還可以沿著平行四邊形的其他高剪下來平移成長方形，下面請同學們看這個平行四邊形，

12、我現在平行四邊形上任意畫一條高，沿著這條高剪下來，平移到另一邊，也拼成了一個長方形。（張筵清）這就是我們的第一個研究成果：沿著平行四邊形的任意一條高剪下來平移后都能拼成一個長方形。師：我能借用你們幾分鐘的時間嗎？他們發現沿著平行四邊形的任意一條高剪下來平移后都能拼成一個長方形。結果是否正確呢？請同學們動手驗證一下！【評析：教師很關注那些似懂非懂、半信半疑的聽眾學生，適時地點撥、引領，配以學生的親自驗證，將研究小組匯報的難點進行突破，更容易被學生接受。】生匯報驗證結果。師：請同學們拿起手中的平行四邊形和新拼成的長方形，思考：它們有什么相同之處？生：匯報。（面積相等，長方形的長和平行四邊形的底相等

13、，長方形的寬和平行四邊形的高相等。師：現在我們把時間交還給研究員！研究成員一：現在請同學們看著黑板上的這個平行四邊形，我先從它的頂點向下作一條高，然后把這個三角形平移到另一邊，就拼成了一個長方形，現在我要問大家，這個長方形和平行四邊形有什么關系（指名回答），是的，這個長方形的面積與平行四邊形的面積相等，這是為什么呢？我來詳細介紹一下，這個平行四邊形剪下來的三角形和平移拼成長方形的三角形是一個三角形，我們只不過把它的位置交換了而已，現在我把它寫在黑板上（平行四邊形的面積=長方形的面積），我給大家提兩個問題，這個長方形的長等于平行四邊形的什么?這個長方形的寬等于平行四邊形的什么？(請同學起來回答)

14、，我們以前學過長方形的面積公式是什么？讓我們一起說出長方形的面積公式吧：長寬，所以平行四邊形的面積公式就是：底高。大家對我們的匯報感到滿意嗎？如果滿意的話給我們一些掌聲吧！師：為什么說平行四邊形的面積=底高？【評析：關鍵性的問題在此提出，十分有必要，有利于學生加深理解計算公式。】指名匯報。師：他們研究小組介紹的方法在數學上稱為“割補法”，我們再借助課件演示一下：（課件）所以，平行四邊形的面積=底高。（板書）為表達簡便，我們通常用s表示平行四邊形的面積，用a表示平行四邊形的底，用h表示平行四邊形的高。平行四邊形面積的字母表達式該如何表示呢？學生匯報：s=ah.(齊讀)師：研究員還有要匯報的，對吧

15、？4、第四研究小組匯報研究成員一：大家好，我們也有推導平行四邊形面積的方法。今天，我們來教大家用折疊法算出平行四邊形的面積。我們在平行四邊形上任意作一條高，然后沿著高把平行四邊形折成兩個完全相同的長方形。因為長方形的面積我們已經學過，所以我們可以求出平行四邊形的面積。研究成員二： 現在來詳細介紹一下我們的折疊法，請同學們拿出你們手中的白色平行四邊形和我一起折。先把平行四邊形的四個頂點分別標為A、B、C、D，給大家10秒的時間標，大家標完了嗎？（標完了）然后給平行四邊形沿A點做一條高，大家做完高了嗎？（做完了）以高作為折痕把AB邊折過來。大家先不要急著折CD邊，在這里我給大家一點小提示：注意折C

16、D邊的時候，一定要使A點與D點重合，B點與C點重合，現在大家開始折吧!大家折完了嗎？（折完了）這樣，我們折成了什么圖形？（兩個長方形，我們折成了兩個完全相同的長方形。請大家觀察，長方形的寬和平行四邊形的底有什么關系？（長方形的寬相當于平行四邊形底的一半）可以說一下你是怎么算出來的嗎？（因為平行四邊形的底是由兩條長方形的寬組成的）很好，請坐。那么我們知道，長方形的寬等于底除以2，請大家看，長方形的長和平行四邊形的高有什么關系？（他們相等）很好，請坐。長方形的長就等于平行四邊形的高。大家都知道，長方形的面積=長寬，因為平行四邊形是由兩個完全相同的長方形組成的，所以，平行四邊形的面積=長方形的面積乘

17、2，也可以寫作長乘寬乘2，長方形的長相當于平行四邊形的高，長方形的寬相當于平行四邊形底的一半，寫作底除以2，那么一個平行四邊形的面積就=高（底2）2，所以，我們推出平行四邊形的面積=底高。這就是我們的研究成果，大家聽明白了嗎？還有什么疑問嗎?【評析：學生的研究成果讓人驚嘆，他們得出了獨特的方法，說明他們的研究已經達到一定深度，是學生創新思維的一種展現，這些方法是課本上沒有呈現的，也是常規課所達不到的效果，小課題研究為學生提供了充分展示的舞臺。】5、教師總結師：同學們太了不起了，用不同的方法推導出平行四邊形面積公式，甚至想到了課本上沒有的折疊法，你們的這種研究精神，老師都要向你們學習！其實，他們

18、匯報的割補法和折疊法有一個相同之處，大家發現了嗎？生：把平行四邊形變成了長方形。師：在看到平行四邊形時，同學們能想辦法把它變成我們學過的長方形求出面積，這實際運用了一種非常重要的數學思想方法：轉化。在研究有關圖形的面積時，我們會常常用到轉化的方法。【評析：教師的總結意義深遠，起到了畫龍點睛的效果，將數學思想方法的滲透落到了實處。】接下來我們就用平行四邊形的面積公式解決下面各題。（三）鞏固練習1、課本81頁例1。2、給出平行四邊形的另外一組底和高，求出面積。3、課本82頁第3題。 4、變式練習。學生獨立完成，教師巡視。指名匯報，集體交流。通過練習，可見同學們解決問題的能力也是一等一的高！（四）課

19、堂總結研究小組為同學們學習平行四邊形的面積提供了幫助，他們不僅無私地匯報了自己的研究成果，而且他們的研究精神更值得我們學習！讓我們用最熱烈的掌聲表示感謝！當然，其他同學也能積極發言，認真傾聽，大膽質疑，老師提議同學們為自己豎起大拇指，你們太棒了！我們下一個研究課題是三角形的面積。請同學們運用今天研究平行四邊形面積的方法求出三角形的面積并推導出三角形的面積公式。相信在研究的過程中，你不僅能收獲知識，而且能使我們的頭腦更聰明。因為你有可能就是未來的數學家，當然還可能是他或她！四、課后研究及成果展示交流研究成員將研究成果寫成報告。研究員將個人的研究成果以研究報告的形式貼到宣傳欄里，供他人學習，方便學

20、生之間的交流。五、教學反思學生的數學活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有情趣的過程，在本課題的研究過程中得到了充分體現。這節課是在學生已掌握了面積概念和面積單位、長方形和正方形的面積計算，以及認識平行四邊形的基礎上進行教學的，個別學生甚至在研究前就已經知道了平行四邊形面積的計算公式。我認為讓學生簡單記憶公式并不難，難的是讓學生理解公式，即理解平行四邊形面積計算公式的來源。本課題學生經歷了猜想、驗證、得出結論的過程。學生通過課下的研究成功地解決了平行四邊形的面積并不是“兩條鄰邊相乘”，并且方法多樣，說理透徹，證據充足，這是常規課上難以達到的效果。課堂上，學生在傾聽完研究員的研究成果后，在獨立思

21、索的基礎上親自動手剪一剪、拼一拼，并帶著自己的操作經歷與研究小組進行質疑、辨析，生生互動，順利得出了平行四邊形面積的計算公式。而我只是在旁邊適時點撥、引導，讓學生的匯報得以完善。學生喜歡這樣的課堂，因為它是開放的、有趣的；我也喜歡這樣的課堂，因為它是靈動的、充滿生命力的！交流驛站8（日照市實驗學校 邱冬梅）（16）這樣的課，研究小組的同學匯報了，其他同學光聽就能會嗎？答：這個問題提得好。數學小課題研究課，有時只有部分同學參與，并不是全班都參與，在課堂上匯報時，的確有的同學能聽懂，但也有的聽不懂。而課內課的最終目標是人人都能完成規定的學習任務。所以上這樣的課一定要關照到每一位同學。解決的辦法有兩

22、個，一是讓大家積極參與質疑，二是要給同學們提供思考的空間、動手操作的機會。比如“認識小數”這節課上，因為同學們質疑的氛圍不濃，所以在重難點處我提了幾個問題讓他們再思考，同時把一位小數和兩位小數的表示含義留給大家來總結。其實關于一位小數表示十分之幾、兩位小數表示一百分之幾的結論，研究小組的同學課前已經研究出來了，這里沒有讓他們匯報也就是這個目的。接著我又設計了幾道鞏固性的練習，練習時注意暴露學生出現的問題，再有針對性地去解決。（17）數學小課題研究課內課和常規數學課有什么聯系和區別？研究的時間地點、研究任務的布置及指導工作是怎樣實施的？答：這兩種課的教學目標是一致的，都要完成規定的教學任務。區別有以下幾點：一是數學小課題研究課一般在課外研究，課內匯報、質疑、提高，而常規數學課都是在課內解決的；二是數學小課題研究課可以根據具體情況對教學