1、專題2.12函數(shù)模型及其應(yīng)用【考綱解讀】要求備注內(nèi)容ABC對(duì)知識(shí)的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個(gè)層次（在表中分別用A、B、C表示）.函數(shù)概了解：要求對(duì)所列知識(shí)的含義有最基本的認(rèn)識(shí)，并能解念與基決相關(guān)的簡(jiǎn)單問題.本初等函數(shù)模型及其應(yīng)用理解：要求對(duì)所列知識(shí)有較深刻的認(rèn)識(shí)，并能解決有一函數(shù)定綜合性的問題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問題.【直擊考點(diǎn)】題組一常識(shí)題1教材改編函數(shù)模型：y1.002x，y0.25x，ylog2x1.隨著x的增大，增長速度的大小關(guān)系是_【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長速度關(guān)系可得2教材改編某公司市場(chǎng)營銷人員的個(gè)人月收

2、入與其每月的銷售量的關(guān)系滿足一次函數(shù)，已知銷售量為1000件時(shí)，收入為3000元，銷售量為2000件時(shí)，收入為5000元，則營銷人員沒有銷售量時(shí)的收入是_元【解析】設(shè)收入y與銷售量x的關(guān)系為ykxb，則有30001000kb，50002000kb，解得k2，b1000，所以y2x1000，故沒有銷售量時(shí)的收入y2010001000.3教材改編某家具的標(biāo)價(jià)為132元，若降價(jià)以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對(duì)進(jìn)貨價(jià))，則該家具的進(jìn)貨價(jià)是_元【解析】設(shè)進(jìn)貨價(jià)為a元，由題意知132(110%)10%，解得a108.aa題組二常錯(cuò)題4據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為4000輛次，

3、其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0.3元，普通車存車費(fèi)是每輛一次0.2元若普通車存車量為x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是_【解析】y0.2x(4000 x)0.30.1x1200(0 x4000，xN)，這里不能忽略的取值范圍，否則函數(shù)解析式失去意義5等腰三角形的周長為20，腰長為x，則其底邊長yf(x)_題組三常考題6某市職工收入連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為a，第二年的增長率為b，則該市這兩年職工收入的年平均增長率為_【解析】設(shè)年平均增長率為x，則有(1)(1)(1)2，解得x（1）（1）abxab1.7某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系y

4、ekxb(e2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))若該食品在0的保鮮時(shí)間是240小時(shí)，在22的保鮮時(shí)間是60小時(shí)，則該食品在11的保鮮時(shí)間是_小時(shí)bb240e，240e，11kb11kb1【解析】由題意，60e22kb，得21e11k，于是當(dāng)x11時(shí)，yeee2240120.8要制作一個(gè)容積為16m3，高為1m的無蓋長方體容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_16【解析】設(shè)長方體底面邊長分別為x，y，則yx，所以容器的總造價(jià)為z2(xy)1020 xy20 x162016，由基本不等式得，z2016x16320 xxx201640

5、 x480，當(dāng)且僅當(dāng)xy4，即底面是邊長為4的正方形時(shí)，總造價(jià)最低【知識(shí)清單】1幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)logx(，c為常數(shù)，0且1，b0)bacabaa冪函數(shù)模型f(x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0，n0)2三種函數(shù)模型性質(zhì)比較x(1)log(1)n(0)yayayxnaxa在(0，)上的增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)單調(diào)性增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖像的變化隨x值增大，圖像與y隨x值增大，圖

6、像與x隨n值變化而不軸接近平行軸接近平行同【考點(diǎn)深度剖析】解答應(yīng)用問題的程序概括為“四步八字”，即審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；建模：把自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1一次函數(shù)與二次函數(shù)模型【1-1】某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時(shí)間t(分鐘)與電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差_元【答案】10【解析】依題意可設(shè)sA(t)

7、20kt，sB(t)mt，又sA(100)sB(100)，100k20100m，得km0.2，于是sA(150)sB(150)20150k150m20150(0.2)10，即兩種方式電話費(fèi)相差10元【1-2】將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元出售時(shí)，能賣出400個(gè)若該商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少20個(gè)，為了賺取最大的利潤，售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)_元【答案】95【思想方法】二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)；確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來確定，常用待定系數(shù)法；解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問題【溫馨提醒】1易忽視實(shí)際問題的自變量的取

8、值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域2注意問題反饋在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性考點(diǎn)2分段函數(shù)模型2-1】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為車流速度為60千米/小時(shí)研究表明：當(dāng)0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，20 x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)當(dāng)0 x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f()()可以

9、達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時(shí))xxvx60，0 x20，【答案】(1)v()(2)當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間(20,200上取xx2003，20 x200.得最大值【解析】(1)由題意：當(dāng)0 x20時(shí)，v(x)60；2-2】某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分別在國內(nèi)和國外上市銷售，并且價(jià)格根據(jù)銷售情況不斷進(jìn)行調(diào)整，結(jié)果40天內(nèi)全部銷完公司對(duì)銷售及銷售利潤進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如圖所示，其中圖(一條折線)、圖(一條拋物線段)分別是國外和國內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系，圖是每件樣品的銷售利潤與上市時(shí)間的關(guān)系(1)分別寫出國外市場(chǎng)的日銷售量f(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系及國內(nèi)市場(chǎng)的日

10、銷售量g(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系；(2)國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等于6300萬元？若有，請(qǐng)說明是上市后的第幾天；若沒有，請(qǐng)說明理由2t，0t30，32【答案】(1)f(t)6t240，30t40.g(t)20t6t(0t40)(2)上市后的第30天【思想方法】實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)【溫馨提醒】構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，做到分段合理、不重不漏考點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)模型【3-1】一片森林原來面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且

11、每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的1伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是4，2已知到今年為止，森林剩余面積為原來的2.求每年砍伐面積的百分比；到今年為止，該森林已砍伐了多少年？今后最多還能砍伐多少年？【答案】(1)x111210(2)5(3)15.【3-2】某位股民購進(jìn)某支股票，在接下來的交易時(shí)間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，判定該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用).【答案】略有虧損【解析】設(shè)該股民購這支股票的價(jià)格為a，則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a(110%)na1.1n，經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為

12、a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故該股民這支股票略有虧損【思想方法】指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問題中有人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型ya(1x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解【溫馨提醒】解指數(shù)不等式時(shí)，一定要化為同底，且注意對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性【易錯(cuò)試題常警惕】數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題，一定要正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；合理確定實(shí)際問題中自變量的取值范圍；必須驗(yàn)證答案對(duì)實(shí)際問題的合理性如：如圖所示，在矩形CD中，已知a，Cb（ab）在、D、CD、C上分別截取、CG、CF都等于x，當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形FG的面積