1、近世代數發展簡史根據課程教學安排，通過查閱近世代數發展歷史的相關資料，了解了相關的知識，并對 近世代數的知識結構和發展脈絡有了更清楚的認識和理解，以下是我將對近世代數及其發展 歷史的認識。一、近世代數的定義代數學是以數、多項式、矩陣、變換和它們的運算，以及群、環、域、模等為研究對象 的學科，而近世代數（又稱抽象代數）是代數學研究的一個重要分支，主要研究群、環、域、 模這四種抽象的代數結構，并深入研究了具有一定特性的群、環、域、模及其子結構、商結 構、同態和同構、以及作為它們支柱的具體例子，它不僅在代數學中，而且在現代數學的理 論與應用中都具有基本的重要性。二、近世代數的發展代數學的起源較早，在

2、挪威數學家阿貝爾（Abel，.）證明五次以上方程不能用根式求 解的進程中就孕育著群的概念；1830年，年僅19歲的伽羅瓦（Galois，E.）徹底解決了代 數方程的根式求解問題，從而引進數域的擴張、置換群、可解群等概念；后來，凱萊（Cayley，）在1854年的文章中給出有限抽象群；戴德金（Dedekind，）于1858年在代數數域中又 引入有限交換群和有限群；克萊因（Klein，.）于1872年建立了埃爾朗根綱領，這些都是 抽象群產生的主要源泉。然而抽象群的公理系統直到1882年凱萊與韋伯（Weber，H.）在 的同一期分別給出有限群的公理定義，1893年韋伯又給出無限抽象群的定義。由于李（

3、Lie，.）對連續群和弗羅貝尼烏斯（Frobenius，.）對群表示的系統研究，對群論發展產 生了深刻的影響。同時，李在研究偏微分方程組解的分類時引入李代數的概念，然而，它的 發展卻是19世紀末和20世紀初，由基靈（Killing，）、外爾（Weyl，（.）H.）和嘉當（Cartan） 等人的卓越工作才建立了系統理論。域這個名詞雖是戴德金較早引入的，但域的公理系統卻是迪克森（Dickson，.）與亨廷 頓（Huntington，.）于19世紀初才獨立給出。而域的系統發展是從1910年，施泰尼茨 （Steinitz， E.）的著名論文“域的代數理論”開始的。同期，布爾（Boole，G.）研究人

4、的思維規律，于1854年出版思維規律的研究，建立了邏輯代數，即布爾代數。但格論是 在19331938年，經伯克霍夫（Birkhoff，.）、坎托羅維奇（KaHTopoBuu.n.）、奧爾（Ore，O.）等人的工作才確立了在代數學中的地位。另一方面，1843年，哈密頓（Hamilton,.）引進四元數并奠定了矢量代數和矢量分析的基礎，而四元數系又構成實 數域上有限維可除代數。凱萊與西爾維斯特（Sylvester，.）一起建立了代數型的理論， 奠定了代數不變量的矩陣理論。凱萊又是矩陣代數的創始人，他建立了八元數與非結合代數， 同時，克利福德（Clifford，.）將八元數（復四元數）及外代數推廣到

5、一般克利福德代數， 并將其成功地應用于非歐幾里得空間中運動的研究。19世紀和20世紀之交，庫默爾（Kummer，.）引入對代數數論有重要影響的理想數概 念，他于1844年指出整環未必有惟一分解性質。戴德金將庫默爾理想數推廣并引出現代理 想的概念，建立了代數數域的理論和代數整數環上理想的惟一分解定理。特別是1894年， 嘉當（Cartan，.）關于復單李代數的完全分類以及1907年，韋德伯恩（Wedderburn，）發 展了嘉當關于實數域和復數域上線性結合代數的結構定理，從而創立了一般域上結合代數的 結構定理，極大地發展了近世代數的理論。在此期間，群以及與其緊密相關的不變量概念在 分析、幾何、力

6、學和理論物理中都發揮了重大影響，而這些學科的發展反過來又促進了代數 的發展。如諾特（Noether，M.）研究代數簇在雙有理變換下的不變性質和關于曲面的著名 定理，便導致多項式環理想理論的建立。因此，深入研究代數的相關概念，以及從各種具體 對象抽象出共同特性來進行公理化的研究，就導致近世代數的進一步演變，促進了相對獨 立的學科，如群、域、線性代數、代數數論、環論等向縱深和綜合兩方面發展德國代數學 派在這方面起了領導作用，戴德金、希爾伯特（Hilbert，D.）和韋伯以及施泰尼茨等對代 數學抽象公理化的研究有很大貢獻，其中突出的成就是布饒爾（Brauer，R.（D.）、哈塞 （Hasse，H.）

7、、諾特（Noether，.）、阿爾貝特（Albert，.）關于有限維結合代數的理論， 它闡明了有理數域上單代數都是其中心F上的循環代數。特別是諾特于1920年引入左（右） 模的概念，并研究了模在有限群表示論中的作用，以及模與代數結構理論之間的聯系，使模 成為數學的重要工具，從而又推動了環論的發展。1921年，她寫的“整環的理想理論建 立了交換諾特環理論，證明了準素分解定理，成為交換代數的里程碑。1926年，她又給出 戴德金環的公理刻畫，因此，諾特是近世代數的奠基人之一。她和阿廷（Artin，E.）以及 他們的學生（包括中國數學家曾炯之）為中心、，在20世紀2030年代，對域論、類域論、 代數的

8、理想理論到阿廷環的推廣取得輝煌成就。其中，阿廷在1927年將代數結構定理推廣 到極小條件環上，就是著名的韋德伯恩-阿廷定理，成為環論發展的一個新里程碑；同時， 克魯爾（Krull， W.）創立了局部環的理想理論，范德瓦爾登（Van der Waerden，.） 等人發展并簡化了單純代數的結構和環的理想理論20世紀30年代初，范-德-瓦爾登的 近世代數學綜合總結了從伽羅瓦起100年來近世代數各方面的工作，是近世代數的一 個里程碑。由于近世代數的理論和方法已滲透到數學的各個學科和其他領域（如理論物理、 晶體學），這就反過來推動近世代數在深度和廣度上更加迅速發展，思 德-瓦爾登的書只 能是現代數學工

9、作者的基礎了。近世代數的各分支學科之間，以及與其他學科之間的相互滲 透，不僅促進這些學科的進一步發展，也促進了新學科的形成。比如，同期，范德-瓦爾 登與扎里斯基（Zariski，O.）首先將交換代數的方法引進代數幾何；在20世紀40年代， 韋伊（Weil，A.）又用近世代數的方法建立了一般域上代數幾何的理論.又如，域上多重線 性代數的概念和理論推廣到交換環上形成環上多重線性代數。從20世紀40年代初開始，近世代數進入一個新的階段。1945年，雅各布森（Jacobson， N.）引入根及本原環的理論，成為環論發展的新階段。另一方面，作為線性代數推廣的模論 得到進一步發展并產生深刻影響。在20世紀

10、20-30年代出現了以生成元及其定義關系所定 義的無限群，經霍爾（Hall，P.）、馬爾采夫（MaBHeB，A. H.）等人的精彩工作， 到20世紀40年代已形成獨立體系。1962年，費特（Feit，W.）與湯 普森（Thompson，.） 關于奇數階群必為可解群的定理，是對有限單群分類的重大突破。從伽羅瓦引入置換群，其 后證明An（nN5）是單群到1981年有限單群分類的完全解決，經歷了約150年之久。同期， 李代數也得到深入發展，不僅推廣到一般域，而且無限維李代數從20世紀60年代崛起，作 為復單李代數推廣的卡茨-穆迪代數就是卡茨（Kac，V.）與穆迪（Moody，R.）于1968年彼 此

11、獨立建立的。它與理論物理有密切關系。而李群的深入發展派生出代數群，即群是代數閉 域上仿射簇。代數群及其表示理論與多重線性代數、交換環論、代數幾何、李代數等都有十 分密切的聯系，近年來已成為近世代數的活躍分支。在近世代數中同態和同構起主要作用， 它不考慮代數系的特殊結構，而是用統一方法去研究，這種作為各代數結構的比較性研究， 首先是把群論、環論和格論中一些共同的概念和平行的結果推廣到代數系上去，這就產生了 泛代數，20世紀30年代末提出的伯克霍夫定理，是它獨立發展的起點。泛代數（不限于二 元運算）是以各種不同的代數系之間的共性為主要研究對象的學科，它對模型論、自動機理 論和程序語言的語義學都有應

12、用。將同一種代數以及它們之間的同態映射合起來考慮，就會發現這與數學其他分支研究的 對象以及對象間的聯系（如拓撲空間及連續映射，集合及映射，環及同態等）有許多本質 上的共性.1945年，由艾侖伯格（Eilenberg，S.）、麥克萊恩（Maclane，S.）通過研究對 偶空間的自然變換建立的范疇論，正好討論了這些共性。范疇是比集合更高層次的公共語言， 這種語言和它的理論已滲透到代數幾何（由格羅騰迪克（Grothendieck， A.）和迪厄多內 （Dieudonn e，J.）于1960年引入）和代數的以及數學的許多分支（如戈德門特（Godement，R.）,埃雷斯曼（Ehresmann, C.）

13、于1958年分別引入拓撲學和微分幾何），并在其中起著重 要作用。由美國和歐洲數學家在20世紀40年代，幾乎同時彼此獨立發展起來同調代數，它是以 代數拓撲為背景，以模為主要研究對象的學科，通過兩類重要的函子與Hom及由它們導出 的函子Tor， Ext得出刻畫環的許多深刻結果.由于代數拓撲中赫維茨（Hurewicz，W.）問 題的解決，導致1945年艾倫伯格和麥克萊恩定義了群的（系數在任意域上）上同調群.同 時，赫希施爾德（Hochschild，G.）引進了結合代數的上同調群，謝瓦萊（Chevalley，C.） 等人又發展了李代數的上同調群。同調代數在數論、群論、代數拓撲、代數幾何中都有重要 作用

14、。當考慮李群或者作為它的推廣的H空間的同調以及上同調時，就得到霍普夫代數.它 的研究是由霍普夫（Hopf，H.）于1941年開始的，博雷爾（Borel，A.）于1953年推廣其 基本結構定理。霍普夫代數的理論是代數拓撲的常用工具，它在物理學中的模型是量子群。20世紀60年代起蓬勃發展的代數K理論，它同拓撲K理論一樣是源于格羅騰迪克于1957 年的廣義黎曼-羅赫定理的工作。人們企圖推廣線性代數中某些部分如維數理論到環的模上 而發展成為由環范疇到阿貝爾范疇的一系列函子，代數K理論就是研究這些函子（如K0， K1，K2,等）的理論，它不僅對刻畫環的性質起重要作用，而且在代數幾何等其他學科中 也有著值得重視的作用。用模、范疇、同調代數的語言和理論來刻畫和研究環，從而使環論 的發展推向更新的階段。20世紀50年代，塞爾（Serre，.）把代數簇理論建立在層的概念上，并建立了凝聚層 的上同調，這為格羅騰迪克建立概型理論奠定了基礎，從而使代數幾何的研究進入一個新階 段。概型理論也為代數數論提供了新的理論和方法。代數幾何與數學許多分支密切相關，互 相促進。如代數幾何中的超