1、 顯然 P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發生,并不影響事件A發生的概率,這時稱事件A、B獨立.一、兩事件的獨立性B =第一次擲出6點， A =第二次擲出6點，先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設 由乘法公式知，當事件A、B獨立時，有 P(AB)=P(A) P(B) 用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B)0或P(A)0的制約.P(AB)=P(B)P(A|B)若兩事件A、B滿足 P(AB)= P(A) P(B) (1)則稱A、B獨立，或稱A、B相互獨立.兩事件獨立的定義例1 從一副不含大小王的

2、撲克牌中任取一張，記 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的可見, P(AB)=P(A)P(B) 由于 P(A)=4/52=1/13, 說明事件A、B獨立.問事件A、B是否獨立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2 前面我們是根據兩事件獨立的定義作出結論的，也可以通過計算條件概率去做: 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的 在實際應用中, 往往根據問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立. 則 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 P(A)= P(A|B), 說明事件A、B獨立. 在實際應用中,往往根據問題的實際意義

3、去判斷兩事件是否獨立. 由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認為A、B獨立 .甲、乙兩人向同一目標射擊，記 A=甲命中, B=乙命中，A與B是否獨立？例如（即一事件發生與否并不影響另一事件發生 的概率） 一批產品共n件，從中抽取2件，設 Ai=第i件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的, 則A1與A2獨立. 因為第二次抽取的結果受到 第一次抽取的影響.又如：因為第二次抽取的結果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立.請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？ 即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,則A與B不獨立.反之，若A與B獨立，且P(A)0,P(B)0, 則A 、

4、B不互斥.而P(A) 0, P(B) 0故 A、B不獨立我們來計算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即 問：能否在樣本空間S中找兩個事件,它們既相互獨立又互斥?這兩個事件就是 S和P( S) =P( )P(S)=0 與S獨立且互斥不難發現， 與任何事件都獨立.設A、B為互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個結論中，正確的是： 前面我們看到獨立與互斥的區別和聯系.1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)設A、B為獨立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個結論中，正確的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)

5、=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再請你做個小練習.=P(A)1-P(B)= P(A) P( )= P(A)-P(AB)P(A )= P(A-A B)A、B獨立故A與 獨立 . 概率的性質= P(A)-P(A) P(B)證明: 僅證A與 獨立容易證明,若兩事件A、B獨立，則 也相互獨立.二、多個事件的獨立性將兩事件獨立的定義推廣到三個事件： 對于三個事件A、B、C，若 P(AB)= P(A)P(B) 四個等式同時 P(AC)= P(A)P(C) 成立,則稱事件 P(BC)= P(B)P(C) A、B、C相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 獨立. 推

6、廣到n個事件的獨立性定義,可類似寫出：包含等式總數為：設A1,A2, ,An是 n個事件，如果對任意k(1k n),任意1 i1i2 2)個事件?對獨立事件，許多概率計算可得到簡化：例2 三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解：將三人編號為1，2，3，三、獨立性的概念在計算概率中的應用所求為 P(A1+A2+A3)記 Ai=第i個人破譯出密碼 i=1,2,3記 Ai=第i個人破譯出密碼 i=1,2,312所求為 P(A1+A2+A3)已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1

7、+A2+A3) =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) n個獨立事件和的概率公式:設事件 相互獨立,則 P(A1+An)也相互獨立 也就是說，n個獨立事件至少有一個發生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積.則“ 至少有一個發生”的概率為 P(A1+An) =1- (1-p1 ) (1-pn )若設n個獨立事件發生的概率分別為類似可以得出：至少有一個不發生”的概率為“=1- p1 pn 下面是一個串并聯電路示意圖. A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件. 它們下方的數是它們各自正常工作的概率. 求電路正常工作的概率.P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(

8、H)解：將電路正常工作記為W，由于各元件獨立工作，有其中P(C+D+E)=1-P(F+G)=1-P(W) 0.782代入得 一位老戰士向新伙伴介紹經驗；當敵人向我們的陣地打炮時，你最好滾到新彈坑里藏身. 因為短時間內不大可能有兩發炮彈落到同一個地點！”他說得對嗎？ 這種想法的產生，是因為他們沒有認識到獨立事件的“獨立”性. 一發炮彈落在什么地方，和另一發炮彈之間沒有關系，它們是相互獨立的. 類似地，昨天從香港飛往紐約的飛機是否失事，與今天從北京飛往上海的飛機是否安全它們是相互獨立的事件. 頭胎生女生男與二胎生男生女，前幾次擲硬幣的結果與下一次出正面還是反面，都是彼此獨立的. 我們介紹了事件獨立性的概念. 不難發現，當事