1、數(shù)學(xué)中考問題中的一線三垂直問題解法一線三垂直問題，通常問題中有一線段繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)900，或者問題中有矩形或正方形的情況下考慮，作輔助線，構(gòu)造全等三角形形或相似三角形，建立數(shù)量關(guān)系使問題得到解決。如圖，AB丄BD于點(diǎn)B,CD丄BD于點(diǎn)D,P是BD上一點(diǎn)，且AP二PC,AP丄PC,求證：ABPAPDC解析：TAP丄PC,.ZAPB+ZCPD=90o,TAB丄BD于點(diǎn)B,CD丄BD于點(diǎn)D,AZB=ZD=9Oo.ZCPD+ZPCD=9Oo,AZAPB=ZPCD,又AP=PC,AABPPDC如圖四邊形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，A、B、N、E、F在同一條直線上，若四邊形ABCD、EFGH的邊

2、長分別是3、4,求四邊形NHMC的邊長.解析：由(1)可知ABP9PDC，BN二HE=4，又CB=3，勾股定理得：CN=5.故四邊形NHMC的邊長為5如圖，將矩形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)D沿著線段AE翻折后落于BC邊上的點(diǎn)P,其中的AB=6，AD=10.(1)求BP；(2)求EC.解析：(1)由對稱的性質(zhì)知AP=AD=10，運(yùn)用勾股定理得BP=8,PC=2。由一線三垂直知ECPsPBA,EC二PCBPABEC二834如圖，邊長為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸上，頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=k(x0)的圖象上，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6，11)，則k的值為x55()解析：過點(diǎn)D、B分別作BF丄y軸，DE丄y軸，

3、垂足為E,F，由AAS容易證得DEAAAFB,DE二AF,AE二FB二6,由勾股定理得AF=8,A55D(8,5),Ak=85如圖，已知ABC中，ZABC=900，AB=BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平解析：過點(diǎn)C、A分別作CN丄l,AM丄l垂足為M、N.容易證CNB行的三條直線11,l,13上，且l,211,之間的距離為2，1,122333BMA,得出MB二CN=5,BN二AM=3,MN=8,應(yīng)用勾股定理可得AC=2、.-17.如圖，將正方形OEFG放在平面直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,3)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)。/1/W.4解析：過點(diǎn)E作HEy軸，過點(diǎn)F作FQ丄HE,垂足為Q，則有FQE

4、EH0,FQ二EH=3,QE=0H=2,F(T,5).如圖，二次函數(shù)y=X2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(T，0)和點(diǎn)B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)N,以AB為邊在x軸上作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,過點(diǎn)P作CP的垂線與y軸交于點(diǎn)E。求拋物線的解析式；當(dāng)點(diǎn)P在線段0B(點(diǎn)p不與0,B重合)上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長有最大值？并求出這個(gè)最大值；(3)在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)M,連接MN,MB,請問：MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解析：（1）將點(diǎn)A（-1,0）和點(diǎn)B（3,0）代入拋物線解析式可求得,b=2,c=3,所以y=X22

5、x3.（2）通過同角的余角相等得ZEPO=ZPCB,ZEOP=ZPBC-90o,得厶EPOspcb,所以EO=Op,設(shè)OE=y,OP=x,則PBBCy=-1X2+3x=-1(x-3)2+?(0 x3)1.1嚴(yán)事A.cN444216又-10,所以當(dāng)x=3時(shí),OE有最大值為o4216過點(diǎn)M作MGy軸，交BN于點(diǎn)G,線BN的解析式:Y=x-3，可得G(m,m-3)，則設(shè)M（m,m2-2m-3）。由N、B兩點(diǎn)可求得直GM=-m2+3m,所以S=x（-m2+3m）x3=-0（m-3）2+.MBN2228當(dāng)皿（3,-15）時(shí)，ABMN的面積取得最大值。248如圖，直線y=3x+3與x軸、y軸分別交于A,B

6、兩點(diǎn),拋物線y=x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點(diǎn)C和第一象限的點(diǎn)p，連接PB,得PCB9AB0A（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）。若拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)為點(diǎn)F,設(shè)M是點(diǎn)C,F間拋物線上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)）,其橫坐標(biāo)為m1）直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，MAB的面積S取得最小值和最大值？請說明理由；（3）求滿足ZMPO=ZPOA的點(diǎn)M的坐標(biāo)。解析：(1)由厶PCB9AB0A可得PC=OB=3,BC=OA=1，所以P(3,4),(0,4).將P(3,4),C(0,4)代入解析式得，b=3,c=4,所以拋物線*y=X2+3x+4。過點(diǎn)M作MN丄x軸，垂足為N,則S二S梯-S

7、-S，代入整理得；SAMB形MNOBAAOBAAMN0m4,且a二-10)。以PQ為邊作矩形PQNM，使點(diǎn)N在直線x=3上。當(dāng)t為何值時(shí)，矩形PQNM的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e；直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，恰好有矩形PQNM的頂點(diǎn)落在拋物線上。解析：(1)利用直線解析式求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再代入拋物線解析式中求出b、c值(2)過P作PE垂直x軸，垂足為E。由直線解析式可得點(diǎn)P(-1+t,t),E(-1+t,0),Q(3-2t,0),則PE=t,QC=2t，EQ=4-3t,由厶PEQsQCN得NQ=2PQ，勾股定理可用t表示PQ，進(jìn)而可以表示矩形面積，整理后得出關(guān)于t的二次函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)得出矩形面

8、積最小值。由上題可得Q(3-2t,0)、N(3,8-6t)、M(3t-1,8-5t)將各點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線建立關(guān)于t的方程求解，就可以了。10.如圖1所示，在ABC中，AB二BC,ZABC=900,點(diǎn)D為直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連結(jié)AD,將線段AD繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)900,使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E,連接EC。如果點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過點(diǎn)E作EF丄BC交直線BC于點(diǎn)F,如圖2所示，通過證明ADEF_ADB,可推證CEF是等腰三角形，從而求得ZDCE=135o.如果點(diǎn)D在線段CB的延長線上運(yùn)動(dòng)，如圖3所示，求出ZDCE的度數(shù)。連接BE，當(dāng)點(diǎn)D在

9、直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若AB=6，請直接寫出BE的最小值。解析：由厶DEFADB得EF=DB，進(jìn)而得出EF=FC，所以ZDCE=45o.由勾股定理得BE2二BF2+FE2,設(shè)FC=FE=x，則BF二AB-FC=6-x。所以BE2=（飛-x）2+X2整理得：BE2=2x2-26x+6,當(dāng)x=時(shí)，EF有最小值朽。9如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在CD上,ZAEB=900,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A-E-B的路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，作PQ丄CD于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,PQ長為y,若y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，當(dāng)x=6時(shí)，PQ的值是()。11如圖，四邊形ABCD是正方形，AEFC是等腰直角三角形，點(diǎn)

10、E在AB上，且ZCEF=90o，F(xiàn)G丄AD，垂足為點(diǎn)G。試判斷AG與FG是否相等？并給出證明；若點(diǎn)H為CF的中點(diǎn)，GH與DH垂直嗎？若垂直，給出證明;若不垂直，說明理由。解析：(1)過點(diǎn)F作FM丄AB,交AB的延長線于點(diǎn)M，這樣就構(gòu)造出了一線三垂直的基本圖形，由AAS很容易證得MEFABCE,MF二BE,EM二BC,AM二BE二MF,又FM丄AB,FG丄AD,AG丄AM,：四邊形AGFM是矩形，.四邊形AGFM是矩形是正方形，即AG與FG相等。(3)延長GH交CD于N,由ASA可證FGHACNH,.：CN二GF二AG,GH二HN又AD二CD，：DG=DN,AGH丄DH.12如圖，線段AB=8，

11、射線BG丄AB,P為射線BG上一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APCD，且點(diǎn)C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點(diǎn)E,使ZEAP=ZBAP，直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合)。求證：AEPACEP；判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由；求厶AEF的周長。CBBA解析：(DY四邊形APCD是正方形，DP是對角線，.根據(jù)SAS可證AEPACEPo過C作CN丄BP交BP于點(diǎn)N，這樣就構(gòu)造出一線三垂直基本圖形，由AAS容易證ABPAPNC,；.ZPAB=ZCPN,VAAEPACEP,.ZPAE=ZPCE又ZEAP二ZBAP,ZCPN二ZPCE,CFBN,VBG丄AB,CF丄AB.AAEF

12、的周長二AE+AF+EF,又AE=CE,CE+EF=PN+PB,PB=CN=FB,PN=ABAEF的周長二AB+FB+AF=2AB=16.13.如圖，在四邊形ABFG中，AB=10,BF=4,ZB=6Oo,設(shè)AE=x,AG=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式解析：過點(diǎn)F作FD丄AB,垂足為D,VZB=6Oo,BF=4.DF=3,DB=2AD=8,由AE=x得DE=8-x。由一線三垂直，知AEGDFE,A竺=,Ay二叵(8x-X2)整理成一般式就可以了。DEDF6如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)。(1)求此拋物線的表達(dá)式；解析：(1)設(shè)拋物線解析式：y=a(x-2)(x-6),將C(0

13、,3)代入可得y=1x2-2x+3。(2)過點(diǎn)P,作PD丄x軸交x軸于D,由一線三垂直知4OBCsdpB,.：bd=PD,BD=丄，設(shè)BD=m則,PD=2m,OCOBOC2P（6+m,2m）將點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=1x2-2x+3中，可求得P的坐標(biāo)。414.如圖，在正方形ABCD中，E是DC邊上一點(diǎn)，（與D、C不重合），連接AE，將厶ADE沿AE所在的直線折疊得到AFE，延長EF交BC于G,連接AG,作GH丄AG，與AE的延長線交于點(diǎn)H，連接CH。顯然AE是ZDAF的平分線，EA是ZDEF的平分線，仔細(xì)觀察，請逐一找出圖中其他的角平分線（僅限于小于1800的角平分線），并說明理由。AEEHHBBC丄胚N角軍析：AG平分ZBAF,GA平分ZBGF,GH平分ZE