1、關于高數極限的定義與性質第一張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月1.2.1、自變量趨于有限值時函數的極限例1.2.1 考察函數在當x趨向于1時函數值的變化。解如圖，該函數定義域為考察x從x=1的左側及右側接近1時，其函數值的變化情況 。列表如下第二張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月結論：當x充分接近1（但不等于1）, y的值接近于常數2.2.0000011.0000011.9999990.9999992.0011.0011.9990.9992.011.011.990.992.11.11.90.9一般地，我們有第三張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月定義1.2.1 設函數在點

2、的某去心鄰域內有定義 ,或反之，若不存在這樣的常數 A，則稱當時沒有極限或極限不存在。則例1.2.1可表示為的值任意地接近常數A, 函數如果當x充分接近時，則稱當的極限為A,記作時函數第四張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月例1.2.2 設函數求解如圖，.觀察其函數圖象，得結論：函數在某點的極限的存在與否與函數在該點是否有定義或等于什么并無關系.第五張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月例1.2.3 求解如圖，觀察其函數圖象，得解如圖，觀察其函數圖象，得例1.2.4 求第六張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月例1.2.5 求不存在 .解如圖，觀察其函數圖象，得第七張，PPT共二

3、十三頁，創作于2022年6月1.2.2. 單側極限定義1.2.2 設函數在點右（或左）鄰域內有定義 ,（或函數如果當x從的右側（左側）充分接近時，的值任意地接近常數A, 則稱在處的右（或左）函數記作極限為A,有時記為（或第八張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月例1.2.6. 設函數討論 時的左右極限是否存在 . 解:如圖第九張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月例1.2.7 設函數求解如圖，和由這兩個例子，得一般地定理1.2.1 .第十張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1.2.3、自變量趨于無窮大時函數的極限例1.1.8第十一張，PPT共二

4、十三頁，創作于2022年6月一般地，定義1.2.3 設函數對大于（或小于）某個數X的x都（或記作的極限為A,函數有定義，如果當x無限地趨向時，（或的值任意地接近常數A, 則稱當（或時函數第十二張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月又設函數對絕對值大于某個正數X的x都有定義，記作的極限為A,函數如果當|x|無限地趨向時，的值任意地接近常數A, 則稱當時函數于是在例1.1.8中第十三張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月定理1.2.2 .例1.1.9 設求解如圖所以不存在。第十四張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月有一類特別地、重要的極限定義1 .2.4. 若時 , 函數則稱函數為時

5、的無窮小 .例1.1.10 因為 故當時函數為無窮小 .例1.1.11 因為 故當時函數為無窮小 .第十五張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月例1.1.12 如圖 故當時函數為無窮小 .當時函數接近于0 ，所以但當時函數不是無窮小 .注1: 無窮小與很小的數。 注2: 無窮小是與x的變化過程有關。第十六張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1.2.4、無窮極限例1.1.13y值不斷增大，且有一種趨勢，趨向正無窮大。此時極限并不存在，記為y值不斷減小，且有一種趨勢，趨向負無窮大。此時極限并不存在，記為第十七張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月機

6、動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義1.2.5 設函數在點的某去心鄰域內有定義 ,或記作則稱當趨向于正無窮大（或負無窮大）時函數變得任意大， 函數如果當x充分接近時，如果上述定義中將(或敘述成則稱當x趨近時函數趨向于無窮大，記作第十八張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月注1: 上述中的極限稱為無窮極限. 注2: 無窮大是與x的變化過程有關。無窮極限并不代表 極限存在。 注3: 和無窮小類似，不要把無窮大與很大的數(如一億)混淆.注4: 無窮大一定無界, 反之不然 .第十九張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例1.1.14 求解 如圖所以第二十張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例1.1.14 求解 如圖所以不存在。第二十一張，PPT共二十三頁，創作于2022年6月定理1.2.4(局部有界性） 若則存在1.2.5 極限的性質最后無窮大與無窮小有如下的關系定理1.2.3 在自變量的同一極限變化過程中, 如果函數 為無窮大， 則 為無窮小； 反之如果為無窮小， 則 為無窮大。 的一個鄰域，使得函數在該