1、關于隨機信號通過線性系統的分析第一張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1721 系統分類確定系統隨機系統 線性系統非線性系統第二張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1731 線性時不變系統線性時不變系統 x(t)y(t)線性時不變第三張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1741 信號通過線性時不變系統線性時不變系統 h(t)x(t)y(t)時域頻域系統的沖激響應系統的傳輸函數第四張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1751 線性系統卷積定理：時域卷積定理：若給定兩個時間函數已知，則頻域卷積定理：第五張，PPT共六十

2、八頁，創作于2022年6月2022/8/1761 線性系統系統是線性的、時不變的、穩定且物理可實現(因果性) 穩定：系統的沖激響應是絕對可積物理可實現：當t 0時，有h(t) = 0 第六張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/177線性系統1隨機信號通過線性系統2白噪聲通過線性系統3隨機序列通過線性系統4第七張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1782 隨機信號通過線性系統 一個線性時不變系統可以完整地由它的沖激響應 (或傳輸函數)來表征。 理論上，根據輸入隨機信號的統計特性，就能確定一個已知線性系統輸出的統計特性。 一種特殊情況，當輸入為高斯過程時輸出也

3、是高斯過程。第八張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1792.1 隨機信號通過線性系統的時域分析線性系統輸出的時域數字特征 ： 數學期望 均方值 自相關函數 互相關函數線性系統輸出的頻域數字特征 ： 功率譜密度第九張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17102.1 時域分析均值設線性系統輸入X(t)為平穩隨機過程，其均值為 對于物理可實現系統系統輸出隨機信號的均值是常數 第十張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17112.1 時域分析均方值由于X(t)為平穩隨機過程，對于物理可實現系統第十一張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2

4、022/8/1712 2.1 時域分析自相關函數當一個寬平穩隨機信號輸入到線性時不變穩定系統時，其輸出隨機信號也是寬平穩的。對于物理可實現系統第十二張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1713 2.1 時域分析自相關函數 若輸入隨機過程是嚴平穩的，則系統的輸出也將是嚴平穩的； 若輸入是各態歷經過程，則輸出也具有各態歷經性。第十三張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1714 2.1 時域分析互相關函數若X(t)是平穩過程，則第十四張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1715 2.1 時域分析互相關函數輸入X(t)是平穩過程輸出Y(t)也

5、是平穩過程X(t)和Y(t)是聯合平穩的 第十五張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1716 2.1 時域分析系統輸入為隨機過程與加性噪聲 線性系統h(t)X1(t)X2(t)X(t)Y(t) 假設隨機過程X1(t)、X2(t)是各自平穩且聯合平穩的，它們之和X(t)通過線性系統后，產生對應的兩個隨機過程Y1(t)、Y2(t)之和Y(t)，可證得(1) Y1(t)、Y2(t)是各自平穩且聯合平穩的；(2) X(t)和Y(t)也是聯合平穩的。第十六張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1717 2.1 時域分析系統輸入為隨機過程與加性噪聲若輸入的兩個平穩過程

6、X1(t)和X2(t)是不相關的，則有若輸入的兩個平穩隨機過程的數學期望為零，則有 線性系統h(t)X1(t)X2(t)X(t)Y(t)第十七張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17182.2 隨機信號通過線性系統的頻域分析頻域分析功率譜密度 自關函數和功率譜密度的關系傅里葉變換對(1) 線性系統輸出的功率譜密度(2) 系統輸入與輸出間互功率譜密度第十八張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17192.2 頻域分析系統輸出的功率譜密度 輸出自相關函數和功率譜密度的關系由輸入和輸出的功率譜密度可確定系統的幅頻特性 系統的功率傳輸函數 第十九張，PPT共六十八

7、頁，創作于2022年6月2022/8/17202.2 頻域分析系統輸出的平均功率系統輸出的平均功率第二十張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17212.2 頻域分析系統輸入與輸出間互功率譜密度系統輸入與輸出間的互相關函數系統輸入與輸出間的互功率譜密度由和互功率譜密度的測量可以確定線性系統傳輸函數 第二十一張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17222.2 頻域分析系統輸入為兩個平穩隨機信號若輸入是兩個聯合平穩的隨機過程X1(t)和X2(t)之和，則有輸出功率譜密度 第二十二張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1723若輸入的兩個聯合平

8、穩的隨機過程X1(t)和X2(t)是不相關的輸出功率譜密度 2.2 頻域分析系統輸入為兩個平穩隨機信號第二十三張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17242.2 頻域分析系統輸入為兩個平穩隨機信號若輸入的兩個聯合平穩的隨機過程X1(t)和X2(t)的數學期望均為0輸出功率譜密度 第二十四張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1725線性系統1隨機信號通過線性系統2白噪聲通過線性系統3隨機序列通過線性系統4第二十五張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17263 白噪聲通過線性系統 白噪聲是具有均勻功率譜密度的平穩隨機過程 系統輸出功率譜密

9、度 設線性系統的傳輸函數為，輸入白噪聲功率譜密度為 輸入信號是白噪聲，則輸出隨機信號的功率譜主要是由系統的幅頻特性 決定；系統只允許與其頻率特性一致的頻率分量通過，具有一定的選擇性。第二十六張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17273 白噪聲通過線性系統輸出自相關函數系統輸出功率譜密度 系統輸出自相關函數系統輸出平均功率第二十七張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17283 白噪聲通過線性系統等效噪聲帶寬 在一般的線性系統中，通常用3dB帶寬來表示系統對輸入確定信號頻譜的選擇性； 等效噪聲帶寬則用來描述系統對輸入白噪聲功率譜的選擇性。 它們都僅由系統本

10、身的參數決定。 第二十八張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月 當系統比較復雜時，計算系統輸出噪聲的統計特性是困難的。在實際中為了計算方便，常常用一個幅頻響應為矩形的理想系統等效代替實際系統，在等效時要用到一個非常重要的概念等效噪聲帶寬，它被定義為理想系統的帶寬。 若在保持平均功率 不變的條件下，把實際系統輸出功率譜密度等效成一定帶寬內為均勻的功率譜密度。若等效的功率譜密度的高度為 則這個帶寬就定義為等效噪聲帶寬2022/8/17293 白噪聲通過線性系統等效噪聲帶寬 等效原則：平均功率相等 等效系統的功率譜密度第二十九張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月計算實際系統的等效噪聲帶寬H

11、(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率譜密度為白噪聲激勵 消耗在1電阻上的系統輸出端總平均功率為 理想線性系統對同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為 等效噪聲帶寬第三十張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月實際系統的等效噪聲帶寬為 對于一般的低通濾波器的最大值出現在0處，即對于中心頻率為帶通系統(如單調諧回路) 的最大值出現在處，即第三十一張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月3 隨機過程的帶寬第三十二張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月3 隨機過程的帶寬 信號的等效均方帶寬： 定義為歸一化功率譜密度的標準差。第三十三張，PPT共六十八頁，創作于2022年6

12、月3 隨機過程的帶寬第三十四張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月A0設白噪聲的物理譜輸出的物理譜 輸出的自相關函數 輸出平均功率 輸出相關系數 輸出相關時間 3 白噪聲通過理想低通系統第三十五張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月A0設白噪聲的物理譜輸出的物理譜 輸出的自相關函數 輸出平均功率 輸出相關系數 輸出相關時間 3 白噪聲通過理想低通系統第三十六張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月A0設白噪聲的物理譜輸出的物理譜 輸出的自相關函數 輸出平均功率 輸出相關系數 輸出相關時間 3 白噪聲通過理想低通系統第三十七張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月A0設白噪聲的物理譜

13、輸出的物理譜 輸出的自相關函數 輸出平均功率 輸出相關系數 輸出相關時間 3 白噪聲通過理想低通系統第三十八張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月A0設白噪聲的物理譜輸出的物理譜 輸出的自相關函數 輸出平均功率 輸出相關系數 輸出相關時間 3 白噪聲通過理想低通系統第三十九張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月A0設白噪聲的物理譜輸出的物理譜 輸出的自相關函數 輸出平均功率 輸出相關系數 輸出相關時間 該式表明：輸出隨機信號的相關時間與系統的帶寬成反比。這就是說，系統帶寬越寬，相關時間 越小，輸出隨機信號隨時間變化(起伏)越劇烈；反之，系統帶寬越窄，則越大，輸出隨機信號隨時間變化就越緩

14、慢。 3 白噪聲通過理想低通系統第四十張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月A|H (w)|0系統的中心頻率遠大于系統的帶寬，則稱這樣的系統為窄帶系統。3 白噪聲通過理想帶通系統第四十一張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月若輸入白噪聲的物理，則輸出的物理譜為 3 白噪聲通過理想帶通系統第四十二張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月輸出相關函數為 3 白噪聲通過理想帶通系統第四十三張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月輸出自相關函數等于與的乘積，其中只包含的成分。當滿足時，與相比，是的慢變化函數，而是的快變化函數。可見是RY()的慢變化部分是RY()的包絡。而是RY()的快變化

15、部分 理想帶通系統輸出的相關函數等于其相應的低通系統輸出的相關函數與的乘積。3 白噪聲通過理想帶通系統第四十四張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月3 白噪聲通過理想帶通系統第四十五張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月輸出的相關系數為 帶通系統輸出的平均功率為 帶通系統的相關時間是由相關系數的慢變部分定義的，因此帶通系統的相關時間與低通系統的相關時間一致：3 白噪聲通過理想帶通系統第四十六張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月 高斯帶通系統的頻率響應為：設輸入白噪聲的功率譜系統輸出功率譜為 3 白噪聲通過理想高斯線性系統第四十七張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月 高斯帶通

16、系統的頻率響應為：設輸入白噪聲的功率譜輸出相關函數 3 白噪聲通過理想高斯線性系統第四十八張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月 高斯帶通系統的頻率響應為：設輸入白噪聲的功率譜輸出相關函數 3 白噪聲通過理想高斯線性系統第四十九張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月 高斯帶通系統的頻率響應為：設輸入白噪聲的功率譜輸出平均功率 相關系數 3 白噪聲通過理想高斯線性系統第五十張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月 高斯帶通系統的頻率響應為：設輸入白噪聲的功率譜 等效噪聲帶寬 相關時間 3 白噪聲通過理想高斯線性系統第五十一張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1752

17、3 最佳線性濾波器 很多應用中需要在噪聲背景中檢測微弱信號，接收機輸出的信噪比越高，越容易估計信號，所以通常以輸出信噪比最大作為準則來設計接收機。特別的當噪聲是白噪聲時，最佳濾波器稱為匹配濾波器。第五十二張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/1753線性系統1隨機信號通過線性系統2白噪聲通過線性系統3隨機序列通過線性系統4第五十三張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17544 隨機序列通過線性系統 隨機序列通過線性系統后統計特性改變 自相關函數(2) 功率譜密度 隨機序列通過兩類系統(1) 一階FIR濾波器 （MA模型） q階非遞歸濾波器(2) 一階遞歸濾

18、波器（AR模型） p階遞歸濾波器第五十四張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17554 隨機序列通過一階FIR濾波器 一階FIR濾波器 當a=b=1/2時 ，平均器b0b1(n)1nnh(n)系統的沖擊響應是有限長度的系統是穩定的，因果的。第五十五張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月系統的傳遞函數取a=1,b=1輸入均值為零，相關函數為RX(m)m功率譜為相關函數是有限長度的，X(n)一定是平穩的第五十六張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17574 隨機序列通過q階非遞歸濾波器 輸出的自相關函數 q階非遞歸濾波器 （滑動平均 moving ave

19、rage 模型） 該濾波器也稱為橫向濾波器（Transversal Filter)，濾波器一定是穩定的和因果的（Stable and causal）這是一個全零濾波器第五十七張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17584 隨機序列通過一階遞歸濾波器 一階遞歸濾波器 第五十八張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月系統的傳遞函數H()系統穩定的條件：|a|1第五十九張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月均值：mx=Ey(n)=0 假定X(0)=0自相關函數為：y(n)是非平穩的，但當|a|1時是漸近平穩的。系統穩定的條件和漸近平穩的條件相同第六十張，PPT共六十八頁，創

20、作于2022年6月2022/8/17614 隨機序列通過一階遞歸濾波器 一階遞歸濾波器 這種濾波器具有“無限長”的記憶，因而對所有的k值輸出的自相關函數 均不嚴格為零，即所有的輸出時刻對應的隨機變量都是相關的。 然而，當樣本之間的間隔k增加時，可以預料到自相關函數將減小。這表明了隨時間間隔的增加，相互依存性減少（濾波器的記憶隨時間增大而減?。５诹粡垼琍PT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17624 隨機序列通過p階遞歸濾波器 p階遞歸濾波器 （自回歸 Autoregresive 模型 ） 這是一個全極點濾波器第六十二張，PPT共六十八頁，創作于2022年6月2022/8/17634 隨機序列通過p階遞歸濾波器 自相關函數線性方程組稱為