1、第一節一、定積分問題舉例二、 定積分的定義三、 定積分的性質機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定積分的概念及性質 第五章 第1頁，共26頁。一、定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積設曲邊梯形是由連續曲線以及兩直線所圍成 ,求其面積 A .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第2頁，共26頁。解決步驟 :1) 分割.在區間 a , b 中任意插入 n 1 個分點用直線將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;2) 近似.在第i 個窄曲邊梯形上任取作以為底 ,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第3頁，共26頁。3) 求和.4) 取極限.令則曲邊梯

2、形面積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第4頁，共26頁。2. 變速直線運動的路程設某物體作直線運動,且求在運動時間內物體所經過的路程 s.解決步驟:1) 分割.將它分成在每個小段上物體經2) 近似.得已知速度機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 n 個小段過的路程為第5頁，共26頁。3) 求和.4) 取極限 .上述兩個問題的共性: 解決問題的方法步驟相同 :“分割 , 近似 , 求和 , 取極限 ” 所求量極限結構式相同: 特殊乘積和式的極限機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第6頁，共26頁。二、定積分的定義定義第7頁，共26頁。被積函數被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和第8頁，

3、共26頁。說明：1.2. 有界是可積的必要條件,無界函數一定不可積； 第9頁，共26頁。定積分的幾何意義曲邊梯形的面積A曲邊梯形面積A的相反數yoyo第10頁，共26頁。定積分的幾何意義各部分面積的代數和機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第11頁，共26頁。定理1.定理2.且只有有限個間斷點 可積的充分條件:例1. 利用定義計算定積分解:將 0,1 n 等分, 分點為取機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第12頁，共26頁。注注 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第13頁，共26頁。注 利用得兩端分別相加, 得即第14頁，共26頁。三、定積分的性質證:= 右端機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

4、規定：第15頁，共26頁。( k 為常數)證:= 右端機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第16頁，共26頁。證: 當時,因在上可積 ,所以在分割區間時, 可以永遠取 c 為分點 ,于是機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定積分對積分區間具有可加性第17頁，共26頁。當 的相對位置任意時, 例如則有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第18頁，共26頁。證:= 右端機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第19頁，共26頁。5. 若 在 上則證:推論1. 若在 a , b 上則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第20頁，共26頁。注：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例2.解:第21頁，共26頁。推論2.證:即6. 設則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第22頁，共26頁。例3. 試證:證: 設則在上 , 有故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第23頁，共26頁。7. 積分中值定理則至少存在一點使證:則由性質7 可得根據閉區間上連續函數介值定理,使因此定理成立.性質7 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第24頁，共26頁。說明: 可把故它是有限個數的平均值概念的推廣.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 積分中值定理對因第25頁，共26頁。作業 P266 1 (1)