1、直線和圓錐曲線經(jīng)常考查的一些題型直線與橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的位置關(guān)系都有相交、相切、相離三種情況，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點-對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切.直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的公共點問題，可以轉(zhuǎn)化為它們的方程所組成的方程組求解的問題，從而用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關(guān)系。解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是：直線的斜率不存在，直線的斜率存在聯(lián)立直線和曲線的方程組；討論類一元二次方程一元二次方程的判別式韋達定理，同類

2、坐標(biāo)變換同點縱橫坐標(biāo)變換x,y,k(斜率)的取值范圍目標(biāo)：弦長，中點，垂直，角度，向量，面積，范圍等等運用的知識：1、中點坐標(biāo)公式：x互產(chǎn),y上產(chǎn)，其中x,y是點A(x1,y1),B(X2,y2)的中點坐標(biāo)。2、弦長公式：若點A(x1,y-!),B(x2,y2)在直線ykxb(k0)上,則yk%b,ykx?b，這是同點縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark8 o Current Document ABJ(X1X2)2卜1yFJ(X1X2)2(k%kx2)2J(1k2)(X1X2)2(Tk2)(x1X2)24x1X2 HYPER

3、LINK l bookmark12 o Current Document 或者ABjCXX2)2(y1yFJ(1X1X2)2(y1y2)2J(12)(%丫2)2 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document VkkVk2(1y1y2)24y2。3、兩條直線l1:yb,l2:yk2xb2垂直：則k1k21兩條直線垂直，則直線所在的向量V1|V2o4、韋達定理：若兒一次方程ax2bxc0（a0）有兩個不同的根x-i,x2，則bx_jx2,x_jX2a常見題型:題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系2m的取值范圍1始終有交點，求x例題1、已知直線l:ykx

4、1與橢圓C:4m思路點撥：直線方程的特點是過定點（0,1）,橢圓的特點是過定點（-2,0)和(2,0),和動點（0,.m）,且m解：根據(jù)直線l:ykx1的方程可知,直線恒過定點（0,1）,橢圓2c：z421過動m點（0,、m）,且m如果直線丨:2xykx1和橢圓c:一41始終有交點，則規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點:m且m4。即1、m1,且m4,丨：ykx1過定點（0,1）丨：yk（x1）過定點（1,0）丨：y2k（x1）過定點（1,2）證明直線過定點，也是將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一，再得出結(jié)論。練習(xí)1、過點P（3,2）和拋物線yx23x2只有一個公共點的直線有（

5、）條。A.4B.3C.2D.1題型二：弦的垂直平分線問題弦的垂直平分線問題和對稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個是弦，哪個是對稱軸,用到的知識是：垂直(兩直線的斜率之積為-1)和平分(中點坐標(biāo)公式)。例題2、過點T(-1,0)作直線|與曲線N:寸x交于A、B兩點，在x軸上是否存在一點E(Xo,o)，使得ABE是等邊三角形，若存在，求出Xo；若不存在，請說明理由。分析：過點T(-1,0)的直線和曲線N:寸X相交A、B兩點，則直線的斜率存在且不等于0,可以設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，消元，分析類一元二次方程，看判別式，運用韋達定理，得弦的中點坐標(biāo)，再由垂直和中點，寫出垂直平分線的方程，得出E點坐標(biāo)

6、，最后由正三角形的性質(zhì)：中線長是邊長的倍。運用弦長公式求弦長。解：依題意知,直線的斜率存在，且不等于設(shè)直線|：yk(x1)，k0，A(xnyi)，B(X2,y2)。k(x1)消y整理，得k2x2(2k21)xk2由直線和拋物線交于兩點,224(2k1)4k4k2由韋達定理，得:XiX22k212,X1X2k則線段AB的中點為(2k2112k)。線段的垂直平分線方程為:1112k2y2kkk(x亍)11“11令y=0,得Xq泰3，則E(藥畀)tABE為正三角形,E(丄1,0)至煩線AB的距離kd為JAB|IABJ(xiX2)2(yiy2)214k丁1k2k2k2k解得k仝9滿足式13此時Xq思維

7、規(guī)律:直線過定點設(shè)直線的斜率k,利用韋達定理法，將弦的中點用k表示出來，再利用垂直關(guān)系將弦的垂直平分線方程寫出來，求出了橫截距的坐標(biāo)；再利用正三角形的性質(zhì):高是邊長的倍，將k確定，進而求出x0的坐標(biāo)。2X練習(xí)2:已知橢圓C:-a2y23bT1(ab0)過點(1,3)，且離心率e(I)求橢圓方程;(n)若直線丨:ykxm(k0)與橢圓交于不同的兩點M、N,且線段MN的垂直題型三：動弦過定點的問題例題3、已知橢圓C:a2b21(ab0)的離心率為且在x軸上的頂點分別為A(-2,0),A2(2,0)。(I)求橢圓的方程;(II)若直線l:xt(t2)與x軸交于點T,點P為直線l上異于點T的任一點，直

8、線PA,PA2分別與橢圓交于MN點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點并證明你的結(jié)論。分析：第一問是待定系數(shù)法求軌跡方程；第二問中，點A、A2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PA、PA2的方程，直線PA和橢圓交點是Ai(-2,0)和M通過韋達定理，可以求出點M的坐標(biāo)，同理可以求出點N的坐標(biāo)。動點P在直線l:xt(t2)上，相當(dāng)于知道了點P的橫坐標(biāo)了，由直線PA、PA2的方程可以求出P點的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過所求的MN點的坐標(biāo)，求出直線MN的方程，將交點的坐標(biāo)代入,如果解出的t2，就可以了,解：(J)由已知橢圓C的離心率eC3，a2,則得c.3,b1。否則就不存在。a22從而橢圓的方程為y

9、214(II)設(shè)M(x-i,y1)，N(X22)，直線AM的斜率為ki,則直線AM的方程為yk1(x2)，由y2kl(：2)消y整理得(14k；)x216k?x16k；40 x4y4I2和洛是方程的兩個根,2x116k2414K228k214k12y14k,14k12同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標(biāo)為（卷命）1(XiX2)1X1X2XiX2X2Xi542k2(1)245(49k2)36Ii5(1)29k29k211由得0硬5，代入，整理得365(1當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即X0時，易知總之實數(shù)一1的取值范圍是一,5。5方法總結(jié)：通過比較本題的第二步的兩種解法，可知第一種解法，比較

10、簡單，第二種方法是通性通法，但計算量較大，縱觀高考中的解析幾何題，若放在后兩題，很多情況下能用通性通法解，但計算量較大，計算繁瑣，考生必須有較強的意志力和極強的計算能力；不用通性通法，要求考生必須深入思考，有較強的思維能力，在命題人設(shè)計的框架中，找出破解的蛛絲馬跡，通過自己的思維將問題解決。練習(xí)5：已知橢圓C的中心在原點，焦點在X軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y-X2的4焦點，離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過橢圓C的右焦點F作直線I交橢圓C于AB兩點，交y軸于M點，若MA1AF，MB2BF，求12的值.題型六：面積問題仝，短軸一個3例題6、(07陜西理)已知橢圓2爲(wèi)1(ab0)的離心

11、率為b端點到右焦點的距離為.3。(I)求橢圓C的方程;(n)設(shè)直線I與橢圓C交于A、B兩點,坐標(biāo)原點O到直線I的距離為33，求AOB2面積的最大值。解:(I)設(shè)橢圓的半焦距為c依題意a所求橢圓方程為1。(n)設(shè)A%yj,B(x2,y2)。(1)當(dāng)AB丄x軸時，AB(2)當(dāng)AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為ykx，得m2(k3_4把ykxm代入橢圓方程，整理得(3k1)x6kmx3m30,6km3(m21)x-ix22，X-|X23k213k21當(dāng)k0時，(SABN)min2.2p2.AB(1k2)(x2xj2(1k2)需12(m21)3k21212(k221)(3k1m)223(k1)(9

12、k1)(3k21)2(3k21)2312k29k46k219k212(k0)0)相交于AB兩點。(I)若點N是點C關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點，求ANB面積的最小值;(H)是否存在垂直于y軸的直線I，使得I被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值若存在，求出I的方程；若不存在，說明理由。(此題不要求在答題卡上畫圖)本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力解法1：(I)依題意，點N的坐標(biāo)為N(0,-p),可設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),直線AB的方程為2y=kx+p,與x=2py聯(lián)立得X2py消去y得x2-2pkx-2p2=0.y

13、kxp.由韋達定理得xi+X2=2pk,xiX2=-2p2.于疋SABN1SBCNSACN2px|X2=PXX2Ipj%x2)24x1x2=p4p2k28p22p2.k22.(H)假設(shè)滿足條件的直線I存在，其方程為y=a,AC的中點為0譏與人。為直徑的圓相交于點P、QPQ的中點為H,則OHPQ,0點的坐標(biāo)為(yip)2AC12i一=2yip-OHyi22ayip,PH|22OPOH=4(yi24212p)4(2ayip)=(a扣a(pa),PQ2(2PH)=4(a才)丫2a(pa)20，得a子,此時PQp為定值，故滿足條件的直線I存在，其方程為即拋物線的通徑所在的直線解法2：(i)前同解法i,

14、再由弦長公式得ABv1k2x1x2心k2.(x1x2)24蟲21k2J4p2k28p2=2p.1k2k22.從而，Sabn又由點到直線的距離公式得d-2Pk2-dAB-2pJ1k2Jk222p2Jk22,22J1k2當(dāng)k0時，(SaBn)max22p2.(n)假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a,則以AC為直徑的圓的方程為(x0)(xxj(yp)(yyj0,將直線方程y=a代入得2x%x(ap)(ayj0,則=xj4(ap)(ayj4(a-p)y1a(pa).設(shè)直線I與以AC為直徑的圓的交點為P(X2,y2),Q(X4,y4),則有PQX3xJ4(a舟)%a(pa)、；(a號)y-a(pa

15、).令a0,得a2衛(wèi)，此時PQ2p為定值，故滿足條件的直線I存在，其方程為即拋物線的通徑所在的直線。2設(shè)橢圓E:篤2a2b2練習(xí)7:(山東09理)(22)(本小題滿分14分)1(a,b0)過M(2,.2),N(-、6,1)兩點，0為坐標(biāo)原點,E恒有兩個交點A,B,且(I)求橢圓E的方程;(II)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓OAOB若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由。題型八：角度問題例題8、(08重慶理)如圖(21)圖，M(-2,0)和N(2,0)是平面上的兩點，動點P滿足：PMPN6.(I)求點P的軌跡方程;(n)若pm-PN|=,求點P的

16、坐標(biāo).1cosMPN2a=6的橢圓.解：(I)由橢圓的定義，點P的軌跡是以MN為焦點，長軸長因此半焦距c=2,長半軸a=3，從而短半軸b=.a2c25,2所以橢圓的方程為9n)由pmHpn1cosMPN得|PM|PNcosMPNPM|PN2.因為cosMPN1,P不為橢圓長軸頂點，故P、N構(gòu)成三角形.在厶PMN中，MN4,由余弦定理有MNPMPN22PM|PNcosMPN.將代入,42PMPN2(PM|PN|2).2故點P在以y21上.MN為焦點，實軸長為2J3的雙曲線322由(I)知，點P的坐標(biāo)又滿足1，所以95由方程組5x29y245,x23y23.x解得y3,32逅2.即P點坐標(biāo)為z3.

17、3、5、/3、33、32存)或(3、3練習(xí)8、(05福建理)已知方向向量為v=(13)的直線I過點(0，2.3)和橢圓C:22篤yT1(ab0)的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線I的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上ab(I)求橢圓C的方程;(H)是否存在過點E(2,0)的直線m交橢圓C于點MN,滿足OMON40）過M（2，、2），N（、6,1）兩點，O為坐標(biāo)原點,22設(shè)橢圓E:y每1abE恒有兩個交點A,B,且（I）求橢圓E的方程;（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓OAOB若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由。22_解：（1）因為橢圓E:占1（a,b0

18、）過M（2，-2），N（、6,1）兩點,ab42423232所以a62ab21b21解得12a1b28所以12ab28橢圓E的方程為482y-14(2)假設(shè)存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且oAoB,設(shè)該圓的切線方程為ykxmykx解方程組x22222x2(kxm)8,即(12k)x4kmx2m20,2222則厶=16km4(12k)(2m8)28(8k4)20,即8kx-ix2X1X24km12k22m282k2yy(kx1m)(kx2m)k2x-ix2km(x1X2)m222k(2m8)2k24k：2km2m28k212k2要使oAoB,需使X1X2y202m282k2m28k212k23m28k20,所以k2心0又8k28m22m0,所以23m2,所以8亠6,因為直線3kxm為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為r2m1k22m3m288r-6,所求的圓3228為xy3,此時圓的切線ykxm都滿足6,而當(dāng)切線的3斜率不存在時切線為x21的兩個交點為6)或廠）滿足OB,綜上,存在圓心在原點的圓xy2-，使得該圓3的任意一條切線與橢圓E恒有