1、傳 熱 學2022/8/1414-1 對流換熱概述4-2 層流流動換熱的微分方程組4-3對流換熱過程的相似理論4-4邊界層理論4-5 紊流流動換熱第四章 對流換熱原理2022/8/1423 邊界層積分方程組及其求解邊界層積分方程組1921年，馮卡門提出了邊界層動量積分方程。1936年，克魯齊林求解了邊界層能量積分方程。所得的結果稱為邊界層問題的近似解 。邊界層積分方程一般可由兩種方法獲得：其一是將動量守恒定律和能量守恒定律應用于控制體；其二是對邊界層微分方程直接進行積分。2022/8/143(a)邊界層質量積分方程 邊界層質量積分方程是把質量守恒定律應用于一個控制容積導出的。取常物性、不可壓縮

2、流體的二維穩態強制對流為對象作分析。 2022/8/144abcd在流體中劃出控制容積，包括dx一段邊界層，而z方向為單位長度。控制容積左側面為ab右側面為cd，頂面為bd，底面為壁面的ac部分，即取 ac為dx。2022/8/145ConservationofMassabcd2022/8/146abcd2022/8/147(b) 邊界層動量積分方程邊界層動量積分方程是把動量定律應用于一個控制容積導出的。取常物性、不可壓縮流體的二維穩態強制對流為對象作分析。 abcd2022/8/148abcd由于在邊界層內y方向上的流速很小，因此推導中只考慮x方向上的動量變化，不引入流速v。假設1圖中給出了

3、速度的分布曲線。在距壁面y處流速為u，在y處u=u。 先計算單位時間內出入控制容積的動量之差。為此計算以下各項： 2022/8/149（1）穿過控制面ab進入控制容積的動量為 而同時穿過cd面流出的動量為 凈流出的動量為 abcd2022/8/1410（2）沒有流體穿過固體表面ac。但有流體質點穿過bd面。根據質量守恒，穿過bd面流入控制容積的質量流量等于流出cd面與流入ab面的質量流量之差： abcd2022/8/1411相應帶入控制體的動量為 （略去u沿x變化引入的高階導數項）假設2根據動量定律，在x方向上的動量變化必須等于x方向上作用在控制體表面上外力的代數和。 abcd2022/8/1

4、412作用在控制體表面上x方向上的外力，有作用于ac面上的切應力wdx以及ab和cd兩面壓力之差 abcd2022/8/1413abcd于是動量定律可表達為 由于存在以下關系： 2022/8/1414abcd于是式(c)可改寫成為 重新組合可得 由伯努利方程知 代入(e)式得2022/8/1415abcd根據邊界層理論，在邊界層外的主流區u-u=0。改寫上式積分上限得 這就是卡門在1921年導出的邊界層動量積分方程。2022/8/1416(c) 邊界層能量積分方程把能量守恒定律應用于控制容積可推導出邊界層能量積分方程。 x方向上為dx，y方向上大于流動邊界層即熱邊界層厚度，而z方向上為單位長度

5、的一個控制容積如圖所示。 abcd2022/8/1417在常物性、流速不致引起耗散熱的條件下，考察控制容積的能量守恒。在邊界層數量級分析中已經得出結論 abcd結論：推導中僅考慮y方向上的導熱 2022/8/1418（1）單位時間內穿過ab面進入控制容積的熱量為單位時間內穿過cd面帶出控制容積的熱量為 （2）單位時間內穿過bd面進入控制容積的質量流量為 由它帶入控制容積的熱量為 abcd2022/8/1419（3）穿過ac面，因貼壁流體層導熱帶出控制容積的熱量為 在穩態條件下，根據能量守恒進入與帶出控制容積的熱量相等，于是可得 整理后得 abcd2022/8/1420因為在熱邊界層以外t-t=

6、0，上式積分上限可改為t，得 (d) 邊界層積分方程組求解示例作為邊界層積分方程組求解的示例，仍以穩態常物性流體強制掠過平板層流時的換熱作為討論對象。壁面具有定壁溫的邊界條件。2022/8/1421邊界層動量積分方程邊界層能量積分方程2022/8/1422在本問題中，u為常數，動量積分方程式（1）左邊的第二項為0。再引入 ，式（1）為為求解上式，還需補充邊界層速度分布函數u=f(y)。選用以下有4個任意常數的多項式作為速度分布的表達式:2022/8/1423式中，4個待定常數由邊界條件及邊界層特性的推論確定，即 由此求得4個待定常數為 于是速度分布表達式為 2022/8/1424積分得 分離變

7、量，注意到x=0時=0，得 無量綱表達式為 其中Rex= ux/,其特性尺度為離平板前緣的距離x。 在x處的壁面局部切應力 2022/8/1425邊界層積分方程求解得基本思想對包括固體邊界及邊界層外邊界在內的有限大小的控制容積建立邊界層積分方程（動量及能量守恒）對邊界層中的速度分布及溫度分布的函數形式做出假設（多項式，包含和t 及待定常數）利用邊界條件確定待定常數，然后將假設分布帶入積分方程求得和t 的計算公式計算速度變化率和溫度變化率得出阻力系數和換熱系數2022/8/1426速度邊界層厚度局部壁面切應力熱邊界層厚度局部表面傳熱系數局部壁面切應力邊界層積分方程求解結果2022/8/1427要

8、使邊界層的厚度遠小于流動方向上的尺度（即 ），也就是所說的邊界層是一個薄層，這就要求雷諾數必須足夠的大 因此，對于流體流過平板，滿足邊界層假設的條件就是雷諾數足夠大。由此也就知道，當速度很小、黏性很大時或在平板的前沿，邊界層是難以滿足薄層性條件。（1）滿足邊界層假設的條件2022/8/1428隨著x的增大，（x）也逐步增大，同時黏性力對流場的控制作用也逐步減弱，從而使邊界層內的流動變得紊亂。 把邊界層從層流過渡到紊流的x值稱為臨界值，記為xc，其所對應的雷諾數稱為臨界雷諾數，即 （2）臨界雷諾數2022/8/1429流體平行流過平板的臨界雷諾數大約是 2022/8/14302022/8/143

9、1在同一位置上熱邊界層厚度與速度邊界層厚度的相對大小與流體的普朗特數Pr有關，也就是與流體的熱擴散特性和動量擴散特性的相對大小有關。 由此式可以看出，熱邊界層是否滿足薄層性的條件，除了Rex足夠大之外還取決于普朗特數的大小，當普朗特數非常小時（Pr1）,熱邊界層相對于速度邊界層就很厚，反之則很薄。 （3）熱邊界層厚度與速度邊界層厚度的相對大小2022/8/1432熱邊界層也會因為速度邊界層從層流轉變為紊流而出現紊流熱傳遞狀態下的熱邊界層。按照普朗特的假設，在紊流狀態下速度邊界層與熱邊界層具有相同的數量級，即2022/8/1433（4）求解平均表面傳熱系數（5）計算物性參數用的定性溫度為邊界層平均溫度 2022/8/1434例題5-1 溫度為30的空氣以0.5m/s的速度平行掠過長250mm、溫度為50的平板，試求出平板末端流動邊界層和熱邊界層的厚度及空氣與單位寬度平板的換熱量。解： 邊界層的平均溫度為 空氣40的物性參數分別為v=16.96x10-6m2/s , =2.76x102W/m.k, Pr=0.699,在離平板前沿