1、微積分講課提綱微積分（I）講課人：朱靜芬E-mail:1第二節(jié) 不定積分的幾種基本方法第四章 不定積分一. 湊微分法(第一換元法)二. 變量代換法(第二換元法)三. 分部積分法2不定積分的換元法 利用積分性質和簡單的積分表可以求出不少函數(shù)的原函數(shù),但實際上遇到的積分憑這些方法是不能完全解決的. 現(xiàn)在介紹與復合函數(shù)求導法則相對應的積分方法 不定積分換元法. 它是在積分運算過程中進行適當?shù)淖兞看鷵Q,將原來的積分化為對新的變量的積分,而后者的積分是比較容易積出的.3問題？解決方法利用復合函數(shù)，設置中間變量.過程令一、第一類換元法(湊微分法)4在一般情況下：設則如果（可微）由此可得換元法定理5第一類換

2、元公式（湊微分法）說明使用此公式的關鍵在于將化為定理(湊微分法)湊微分法的步驟6例 求解（一）解（二）解（三）7例 求解一般地8例 求解9例 求解10例.證明:(1)(2) (3)(4)說明以上四式可作為公式用.11(1).證(2). (3 ).12例 求解13例 求解14例 求解15例.求16例 求原式解17例 求解18例 求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）19解（二）類似地可推出20例解21說明1)用湊微分法計算不定積分,常常需要對被積函數(shù)作適當?shù)拇鷶?shù)或三角恒等變換. 2)有些問題需要反復使用湊微分法求解不定積分.例求22解例 設 求 .令23例 求解24解：25問題解決方法改變中間變量

3、的設置方法.過程令（應用“湊微分”即可求出結果）二、第二類換元法(變量代換法)26證設 為 的原函數(shù),令則則有換元公式定理27第二類積分換元公式28例 求解令29例 求解令30例 求解令31說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有可令可令可令32說明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.也可以化掉根式例 中, 令33 積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.說明(3)例 求（三角代換很繁瑣）令解34例 求解令35說明(4)當分母的階較高時, 可采用倒代換例 求令解36例

4、 求解令（分母的階較高）3738說明(5)例 求解令當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時，可采用令 （其中 為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） 3940基本積分表4142解例：求積分43解例：44解：45配方解：46解：47即(1)(1)稱為分部積分公式三、分部積分法48定理：49一般說來,當被積函數(shù)為下列形式之一時,可考慮運用分部積分法進行計算:冪函數(shù)與三角函數(shù) (或反三角函數(shù)) 之積 指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù) (或反三角函數(shù)) 之積 冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之積 一個函數(shù)難于用其它方法積分 兩個函數(shù)的乘積 50說明51例 求積分解（再次使用分部積分法）總結 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設冪函數(shù)為 , 使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))52例 求積分解令53例 求積分解總結 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為 .54例 求積分解55例 求積分解注意循環(huán)形式56