1、 7 不變子空間本節(jié)重點(diǎn)：不變子空間的定義與“ 限制”.已知可對角化對應(yīng)于對角矩陣,但是并不是每個都能對角化的 . 退一步,對應(yīng)于準(zhǔn)對角形也好；雖然比對角形復(fù)雜,但也算簡潔 . 這個問題的爭辯需要用到不變子空間的概念 . 一、定義與例子1. 定義：L V n ,W 是 的不變子空間 W 是 V 的子空間,且 W 有 W . 簡稱- 子空間 . （留意：與線性變換有關(guān)）2. 例子：設(shè) L V n ,就以下子空間 W 都是 的不變子空間：1）W 0 2 ）W V 3 ）W 1 0 4 ）W V 5 ）W V 0 V | 0例 1 如線性變換 A 與 B 是可交換的,就 B 的核與值域都是 A -

2、子空間 . 二、線性變換在不變子空間上的“ 限制”1. 定義：設(shè) W 是 L V n 的不變子空間,可只在 W 中考慮,記為 | W . 【意義】縮小了線性變換的范疇,從而簡化線性變換 . 因此,假如 V 可分解為如干 子空間W 的直和,那么對 V 的線性變換 的爭辯就歸結(jié)為對各個子空間 W 的直和爭辯 . 2. 區(qū)分：| W 與 的作用結(jié)果一樣,但作用范疇不同 . 即W | W ；W | W 無意義 . 三、不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)系（意義）設(shè) V 可分解為如干個- 子空間的直和：V W 1 W 2 W s,在每個不變子空間 W 中取基 i 1 , i 2 , , ki,i ,1

3、 2 , s,并把他們合并為 V 的一組基,就在這組基下,的矩陣具有A1準(zhǔn)對角形A s,其中iA,i,12,s是A |W i在對應(yīng)基下的矩陣 . 進(jìn)一步的,我們有：* 四、不變子空間的直和分解定理 12：設(shè)線性變換1L Vn的特點(diǎn)多項(xiàng)式f可分解成一次因式：f2r2Sr 1Sr, 就 V 可以分解成不變子空間的直和：VV 1V 2Vs, 其中ViV|iEir0 . 8 如當(dāng)（ Jordan ）標(biāo)準(zhǔn)形介紹如當(dāng)（ Jordan）標(biāo)準(zhǔn)形是一類特別的準(zhǔn)對角矩陣 . 一、基本定義1.如當(dāng)塊是復(fù)數(shù)；留意對角元相同）00001000J,t（2.0010未必相同）組成（不計次序）的準(zhǔn)對角0001如當(dāng)形矩陣 由如

4、干個如當(dāng)塊（階數(shù)未必相同、矩陣. （如當(dāng)形矩陣中包括對角矩陣）【問題】如當(dāng)形矩陣的特點(diǎn)值？例 1 求全部的三階如當(dāng)形矩陣 . （如當(dāng)塊不計排列次序）二、主要結(jié)論定理 13：L V n C ,在 V 中必定存在一組基,使 在這組基下的矩陣式如當(dāng)形矩陣 . （這個如當(dāng)形矩陣除去其中如當(dāng)塊的排列次序外,是被 唯獨(dú)準(zhǔn)備的,它稱為 的如當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形）如用矩陣來描述,即定理 14：復(fù)數(shù)域上,每個方陣都相像于某個如當(dāng)形矩陣 三、如當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的求法 （第八章介紹）. （好用的結(jié)論）【特例】如 A可對角化,就如當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形就是相像的對角矩陣 . 0 10 30【其次屆中國高校生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽2022】設(shè)B002022,.

5、證明X2B無解,這里 X 為三階復(fù)數(shù)矩陣 . 000 證法 對復(fù)數(shù)矩陣,優(yōu)先考慮它相像于某個Jordan 矩陣這個性質(zhì),并聯(lián)系特點(diǎn)值 9 最小多項(xiàng)式介紹 最小多項(xiàng)式有著良好的理論意義,特別是適用于對角化問題 . 已知 Hamilton Cayley 定理：方陣 A 的特點(diǎn)多項(xiàng)式是 A 的零化多項(xiàng)式 . 要查找其中次數(shù)最低的,這就是最小多項(xiàng)式的爭辯思路 . 一、基本定義定義：x 是方陣 A 的最小多項(xiàng)式f A0且x 次數(shù)最低、首項(xiàng)系數(shù)為1. 例 數(shù)量矩陣 kE 的最小多項(xiàng)式是 二、基本性質(zhì) 引理 1 矩陣 A 的最小多項(xiàng)式必唯獨(dú) . 證法 帶余除法引理 2f x是 A 的零化多項(xiàng)式fx是 A 的

6、最小多項(xiàng)式x 的倍式,即x|fx. 【特例】最小多項(xiàng)式是特點(diǎn)多項(xiàng)式的因式. 證法 帶余除法例 求A11的最小多項(xiàng)式 . x1211【問題】相像矩陣有相同的最小多項(xiàng)式？a例k階如當(dāng)塊Ja1a1akk的最小多項(xiàng)式是（直接運(yùn)算,k）x三、主要結(jié)論定理 數(shù)域 P 上矩陣 A 可對角化的充要條件是A 的最小多項(xiàng)式是 P 上互素的一次因式的乘積 . 推論 復(fù)數(shù)域上 A 可對角化的充要條件是 A 的最小多項(xiàng)式無重根 . 例 設(shè) A 是 n 階冪等矩陣,且秩為 r . 試求 A 的相像標(biāo)準(zhǔn)形,并說明理由；求 2 E A . 解法：由 A 2A 知 A 有最小多項(xiàng)式 g 2 1 且無重根,所以 A相像于對角矩陣

7、,且特點(diǎn)值只能是 1或 0 . 又 r A r,故存在可逆矩陣 P 使 P 1AP E r 0. 0 0從而P1 2EA P2 EP1APEr0r2EAn 2r. 02 En矩陣相像對角化的應(yīng)用1.利用矩陣相像對角化運(yùn)算矩陣多項(xiàng)式如矩陣 A 與 B 相像,就存在可逆矩陣P使得APBP1,于是AkPBkP1. 12進(jìn)一步有：當(dāng)x 是多項(xiàng)式時,APBP1. 特例：當(dāng) A 相像于對角矩陣時,由AkPBkP1簡潔運(yùn)算方冪k A . 2.求 Fibonacci數(shù)列通項(xiàng)：an2an1ana00 ,a 11 解法用矩陣形式表示遞推關(guān)系式an111an111na 1an10an10a0,P1APA11的特點(diǎn)值

8、為,12125,對應(yīng)的特點(diǎn)向量為125,110由此可求n A ,即得an1125n125n. 53.利用矩陣相像對角化線性方程組【例】（人口流淌問題）設(shè)某國人口流淌狀態(tài)的統(tǒng)計規(guī)律是每年有特別之一的城市人口流向農(nóng)村,特別之二的農(nóng)村人口流入城市 .假定人口總數(shù)不變,就經(jīng)過許多年以后,全國人口將會集中在城市嗎？解 設(shè)最初城市、農(nóng)村人口分別為 x 0, y 0,第 k 年末人口分別為 x , ky k,就x 1 0 9. 0 2. x 0 x k 0 9. .0 2 x k 1,y 1 0 . 1 0 8. y 0 y k 0 . 1 .0 8 y k 1.0 9 .0 2 x k k x 0記 A,

9、可得 A . 0 . 1 .0 8 y k y 0k為運(yùn)算 A ,可考慮把 A 相像對角化 .特點(diǎn)多項(xiàng)式 E A 1 0 . 7 . 1對應(yīng)的特點(diǎn)向量為 1 2 1, ；0 . 7 對應(yīng)的特點(diǎn)向量為 2 ,1 1取 P 1 , 2 2 1,得 P 1 1 1 11 1 3 1 2kk 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1A P P k0 0 7. 3 1 1 0 0 7. 1 2令 k,有 0 . 7 k0,得 A k 1 2 1 1 0 1 1 1 2 23 1 1 0 0 1 2 3 2 12xy kk 13 22 21 xy 00 x 0 y 0 313可見當(dāng) k 時,城市與農(nóng)村人口比

10、例穩(wěn)固在 2 : 1 .定理 7：設(shè) A 為實(shí)對稱矩陣,就必存在正交矩陣 T,使得 T AT T 1 AT 為對角陣 . （留意：對角元恰好是 A的全體特點(diǎn)值）（常用于證明題） 證明思路 ：利用對稱變換的理論,等價于對稱變換有 n個特點(diǎn)向量作成標(biāo)準(zhǔn)正交基（見教材）. 也可用數(shù)學(xué)歸納法,將實(shí)對稱矩陣 A 用兩次正交相像變換化為對角陣 . 證明：設(shè) 在n維歐氏空間 V 的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是 A ,就 是對稱變換 . n 1 時,V L ,取 e 1 / V,就 e 1 V,有 e 1 ke 1,1e 即為所求 . 設(shè) n 1 時命題成立 （含義？）,考慮n的情形 . 設(shè)法把 V 分解成 V 1

11、V n 1,才能使用歸納假設(shè)：1）對稱引理有實(shí)數(shù)特點(diǎn)值1（才能保證特點(diǎn)向量1VR ,正交矩陣要求實(shí)數(shù)矩陣）；2）取 e 1 1 / 1,就是實(shí)特點(diǎn)向量 . 設(shè) V 是 L 1e 的正交補(bǔ),就 V 是- 子空間,維數(shù)為 n 1,且 |V 是 V 的對稱變換 . 于是利用歸納假設(shè),V 有 n 1 個特點(diǎn)向量 e 2 , , ne 標(biāo)準(zhǔn)正交,聯(lián)合e 1 , e 2 , , ne 即為 V 的特點(diǎn)向量、標(biāo)準(zhǔn)正交基 . 另證：直接從矩陣角度證明,數(shù)學(xué)歸納法：n 1 明顯 . 設(shè) n 1 時命題成立, A必有實(shí)數(shù)特點(diǎn)值 1（特點(diǎn)向量 1 R n）,取 e 1 1 / 1,就也是實(shí)特點(diǎn)向量 . 擴(kuò)充成 R

12、的標(biāo)準(zhǔn)正交基 ne 1 , e 2 , , ne,以它們?yōu)榱凶?n 級矩陣 T ,就 T 正交,且T 1 AT 1 T 1 1 A e 1 , e 2 , , e n T 1 1 Ae 1 , Ae 2 , , Ae n 1 T 1 1 e 1 , T 1 1 Ae 2 , , T 1 1 Ae n 留意到 E T 1 1T 1 T 1 1 e 1 , e 2 , , e n T 1 1e 1 , T 1 1e 2 , , T 1 1e n ,故 T 1e 11 是 E 的第一列,于是 T 1AT 1 形如0 1 CB , 而 A 對稱,T 1AT 1 也對稱,得 C 0,且 B 是 n 1

13、級對稱矩陣 . 由 歸 納 假 設(shè) , 存 在 n 1 級 正 交 矩 陣 Q , 使 得 Q BQ diag 2 , , n , 取T 2 10 Q 0 , T T 1 T 2 可得 T 是正交矩陣,并且又TATTAT1Q1B1Qdiag11,nnT1AT與 A 相像,有相同的特點(diǎn)值,于是,是 A的全部特點(diǎn)值 .歐氏空間復(fù)習(xí)一、主要概念1）內(nèi)積2）長度3）夾角4）正交5）度量矩陣6）標(biāo)準(zhǔn)正交基7）正交矩陣8）正交變換9）正交補(bǔ)10）對稱變換11 ）最小二乘法二、重要方法1.驗(yàn)證歐氏空間 .內(nèi)積 4 條公理 2.利用內(nèi)積運(yùn)算長度、夾角；證明向量相等、長度關(guān)系式 . 3.求標(biāo)準(zhǔn)正交基 .可驗(yàn)證！

14、先正交化再單位化,反之 錯 . 4.正交補(bǔ)的構(gòu)造與求法 . 5.正交矩陣、正交變換、對稱變換的應(yīng)用與證明.留意變換與矩陣的轉(zhuǎn)化 16.求正交矩陣 T ,使得 T AT T AT 為對角陣 .（可驗(yàn)證！留意區(qū)分第五、七章的方法）7.利用正交線性替換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 . *8. 求最小二乘解 . 三、摸索題1.什么是內(nèi)積？歐氏空間的哪些概念與內(nèi)積有關(guān)？（長度、夾角、正交、度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基、同構(gòu)、正交變換、對稱變換、正交補(bǔ)）2.內(nèi)積與標(biāo)準(zhǔn)正交基有何聯(lián)系？3.標(biāo)準(zhǔn)正交基有何作用？4.如何構(gòu)造子空間的正交補(bǔ)？5.正交矩陣、實(shí)對稱矩陣各有哪些特點(diǎn)？6.正交變換、對稱變換各有哪些特點(diǎn)和區(qū)分？四、例題選

15、講A正定AE1i01AE的特點(diǎn)值i11證 1： A 正定特點(diǎn)值E1,n1111于是A1 21證 2： A 正定T1ATdiag,n,i01AETdiag1,2,nT1nE1 Tdiag11 ,n1 T1T11 1T11111期末總復(fù)習(xí)一、考試題型 填空、運(yùn)算、證明、爭辯或判定 二、復(fù)習(xí)依據(jù) 作業(yè)（習(xí)題集）、例題、課外提高 三、各章主線 1.線性空間 線性空間 定義、線性運(yùn)算、基、維數(shù)、坐標(biāo) 子空間 兩個封閉性、基、維數(shù)、生成子空間、擴(kuò)充基、維數(shù)公式、和、直和 同構(gòu) 構(gòu)造、判定、意義 2.線性變換 線性變換 驗(yàn)證（定義）、運(yùn)算、關(guān)于基的矩陣及變換問題的轉(zhuǎn)化、不變子空間 特點(diǎn)值與特點(diǎn)向量 證明、求

16、法（ 可驗(yàn)證 ）、結(jié)論、對角化判定及求可逆矩陣 C 值域與核 基、維數(shù)、兩者維數(shù)關(guān)系 3.Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形不變因子初等因子Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形4.歐氏空間（留意：涉及的概念都與內(nèi)積有關(guān)）內(nèi)積 驗(yàn)證四條公理）、長度、夾角、標(biāo)準(zhǔn)正交基（求法,可驗(yàn)證 ）正交變換 判定、不變性、正交矩陣（可驗(yàn)證 ）對稱變換 判定、特點(diǎn)值、對角化（求正交矩陣可驗(yàn)證 .區(qū)分第 5 章方法）四、留意事項(xiàng)1.幾類矩陣的特點(diǎn)、區(qū)分與聯(lián)系： 可逆矩陣、對稱矩陣、合同矩陣、相像矩陣、正定矩陣、正交矩陣 . 2.線性變換問題與矩陣問題的轉(zhuǎn)化 線性空間（通過基）、歐氏空間（通過標(biāo)準(zhǔn)正交基）3.可驗(yàn)證的幾種運(yùn)算類型特點(diǎn)值（跡）、特點(diǎn)

17、向量（代入方程組） 、標(biāo)準(zhǔn)正交基（兩兩正交、長度為 1）、正交矩陣（行 或列 向量組標(biāo)準(zhǔn)正交,或 A A E）學(xué)校少先隊(duì)組織機(jī)構(gòu) 少先隊(duì)組織由少先隊(duì)大隊(duì)部及各中隊(duì)組成,其成員包括少先隊(duì)輔導(dǎo)員、大隊(duì)長、中隊(duì)長、小隊(duì)長、少先隊(duì)員,為了健全完善我校少先隊(duì)組織,特制定以下方案：一、成員的確定 1、大隊(duì)長由紀(jì)律部門、衛(wèi)生部門、升旗手、鼓號隊(duì)四個組織各舉薦一名優(yōu)秀同學(xué)擔(dān)任（共四名）,該部門就主要由大隊(duì)長負(fù)責(zé)部門內(nèi)的紀(jì)律；2、中、小隊(duì)長由暮從碧山下,山月隨人歸；卻顧所來徑,蒼蒼橫翠微；相攜及田家,稚嫩開荊扉；綠竹入幽徑,青蘿拂行衣；歡言得所憩,美酒聊共揮；長歌吟松風(fēng),曲盡河星稀；我醉君復(fù)樂,陶然共忘機(jī)；【簡

18、析】終南山,在今陜西西安市南,地近京城而又山林安靜；斛斯山人想來是一位隱 士,同時是李白的好伴侶；這首詩只寫一次很平常的作客經(jīng)過,但寫出了很淳樸的感情；各班中隊(duì)公開、公平選舉產(chǎn)生,中隊(duì)長各班一名（共11 名）,一般由班長擔(dān)任,也可以依據(jù)本班的實(shí)際情形另行選舉；小隊(duì)長各班各小組先選舉出一名（共 8 個小組,就 8 名小隊(duì)長）然 后各班可以依據(jù)需要添加小隊(duì)長幾名；3、在進(jìn)行班級選舉中、小隊(duì)長時應(yīng)留意,必需把衛(wèi)生、紀(jì)律部門的檢查同學(xué)先選舉在 中、小隊(duì)長之內(nèi),剩余的中、小隊(duì)長名額由班級其他優(yōu)秀同學(xué)擔(dān)任；4、在班級公開、公平選舉出中、小隊(duì)長之后,由班主任老師授予中、小隊(duì)長標(biāo)志,大 隊(duì)長由少先隊(duì)大隊(duì)部授予大隊(duì)長標(biāo)志；二、成員的職責(zé)及任免1、大、中、小隊(duì)長屬于學(xué)校少先隊(duì)組織,各隊(duì)長不管是遇見該班的、外班的,不管是 否在值勤,只要發(fā)覺任何人在學(xué)校內(nèi)顯現(xiàn)說臟話、亂扔果皮紙屑、追逐打鬧、攀爬欄桿、亂 寫亂畫等等一些違紀(jì)現(xiàn)象,都可以站出來禁止或者報告老師；2、班主任在各中隊(duì)要對中、小隊(duì)長提出具體的責(zé)任,如設(shè)