1、第2章三角形2 定義與命題第3課時 定理與證明教學目標1.知道證明的必要性，掌握證明的基本步驟和書寫格式. 2.掌握反證法證明的基本步驟和格式.教學重難點重點：證明的書寫格式和用反證法的證明難點：體會命題證明的必要性，體驗數學思維的嚴謹性.教學過程導入新課要說明一個命題是正確的，無論驗證多少個特例，也無法保證命題的正確性.要確定命題是真命題，需要通過推理的方法加以證明.探究新知一、命題的證明問題：如何證明與圖形有關的命題？證明一個命題的正確性要分為幾個步驟？學生思考交流，學生代表回答，其他同學補充，教師引導得出結論.要證明一個命題的正確性要分為三步：第一步，分析命題的條件和結論；第二步，根據命

2、題畫出圖形，結合圖形，根據條件寫出已知，根據結論寫出求證；第三步，書寫證明過程.命題：在同一平面內，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條.教師：該命題是真命題還是假命題？學生搶答：真命題.圖1教師：你能將該命題所敘述的內容用圖形語言表達出來嗎？學生畫出圖1.教師：這個命題的條件和結論分別是什么呢？學生回答：條件：在同一平面內，一條直線垂直于兩條平行線中的一條；結論：這條直線也垂直于兩條平行線中的另一條.教師：你能結合圖形用幾何語言表述命題的條件和結論嗎？學生回答：在同一平面內，若bc，ab，則ac.教師：請同學們思考如何利用已經學過的定義、定理來證明這個結論呢？已知：在同

3、一平面內，bc，ab.求證：ac.證明：如圖1， ab（已知）， 190（垂直的定義）.又 bc（已知）， 12（兩直線平行，同位角相等）. 2190（等量代換）. ac（垂直的定義）.圖2例1 已知：如圖2，在ABC中，BC，點D在線段BA的延長線上，射線AE平分DAC.求證：AEBC. 證明： DACB+C（三角形外角定理），BC（已知）， DAC2B（等式的性質）.又 AE平分DAC（已知）， DAC2DAE（角平分線的定義）， DAEB（等量代換）. AEBC（同位角相等，兩直線平行）.二、反證法問題：當直接證明一個命題為真有困難時，該如何解決？例2已知：A，B，C是ABC的內角.求證

4、：A，B，C中至少有一個角大于或等于60.師生活動：老師引導分析，學生交流嘗試回答解題思路.這個命題的結論是“至少有一個”，也就是說可能出現“有一個” “有兩個” “有三個”這三種情況.如果直接來證明，將很繁瑣，因此，我們將從另外一個角度來證明.證明：假設A，B，C中沒有一個角大于或等于60，即A60，B60，C60，則A+B+C180.這與“三角形的內角和等于180”矛盾，所以假設不正確.因此，A，B，C中至少有一個角大于或等于60.師：通過上面例題的證明，歸納像這樣，先假設命題不成立，然后利用命題的條件或有關的結論，通過推理導出矛盾，從而得出假設不成立，即所證明的命題正確，這種證明方法稱為

5、反證法.反證法是一種間接證明的方法，其基本的思路可歸結為“否定結論，導出矛盾，肯定結論”.應用反證法的情形：（1） 直接證明困難;（2） 直接證明需分成很多情況進行討論;（3） 結論為“至少”“至多”“有無窮多個” 的一類命題； （4） 結論為 “唯一”類命題.用反證法證明時，導出矛盾的幾種可能：（1）與原命題的條件矛盾；（2）與假設矛盾；（3）與定義、公理、定理、性質矛盾；（4）與客觀事實矛盾.課堂練習1.如圖3所示，在直線AC上取一點O，作射線OB，OE和OF分別平分AOB和BOC.求證：OEOF.2.求證：直角三角形的兩個銳角互余圖33.求證：ABC中不能有兩個鈍角參考答案1.證明： OE和OF分別平分AOB和BOC， EOBAOB，BOFBOC.又AOBBOC180，EOBBOF（AOBBOC）18090，即EOF90， OEOF.2.已知：如圖4所示，在ABC中，C90.求證：A與B互余證明：ABC180（三角形內角和等于180），圖4又C90，AB180C90.A與B互余3.證明：假設ABC中能有兩個鈍角，即A90，B90，C90，所以ABC180，與三角形的內角和為180矛盾，所以假設不成立，因此原命題正確，即ABC中不能有兩個鈍角課堂小結布置作業教材第58頁 練習 習題2.2第6，7，8，9題板書設計2 .2命題與