1、26/26初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題一、解答題（共10小題，滿分100分）1（10分）已知：如圖，P是正方形內(nèi)點，15求證：是正三角形（初二）2（10分）已知：如圖，在四邊形中，M、N分別是、的中點，、的延長線交于E、F求證：F3（10分）如圖，分別以的邊、為一邊，在外作正方形和，點P是的中點，求證：點P到的距離是的一半4（10分）設(shè)P是平行四邊形內(nèi)部的一點，且求證：5（10分）P為正方形內(nèi)的一點，并且，2a，3a，求正方形的邊長6（10分）一個圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水向容器中注滿水的全過程共用時間t分求兩

2、根水管各自注水的速度7（10分）（2009郴州）如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（2，1），且P（1，2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，垂直于x軸，垂直于y軸，垂足分別是A、B（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當點Q在直線上運動時，直線上是否存在這樣的點Q，使得及面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以、為鄰邊的平行四邊形，求平行四邊形周長的最小值8（10分）（2008海南）如圖，P是邊長為1的正方形對角線上一動點（P及A、C不重合），點E在線段上，且（1）求證：；（2）設(shè)，的面

3、積為y求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值9（10分）（2010河南）如圖，直線1及反比例函數(shù)（x0）的圖象交于A（1，6），B（a，3）兩點（1）求k1、k2的值（2）直接寫出時x的取值范圍；（3）如圖，等腰梯形中，邊在x軸上，過點C作于點E，和反比例函數(shù)的圖象交于點P，當梯形的面積為12時，請判斷和的大小關(guān)系，并說明理由10（10分）（2007福州）如圖，已知直線及雙曲線交于A，B兩點，且點A的橫坐標為4（1）求k的值；（2）若雙曲線上一點C的縱坐標為8，求的面積；（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線于P，Q兩點（P點在第一象限），若由

4、點A，B，P，Q為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的坐標初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題參考答案及試題解析一、解答題（共10小題，滿分100分）1（10分）已知：如圖，P是正方形內(nèi)點，15求證：是正三角形（初二）考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定及性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定。專題：證明題。分析：在正方形內(nèi)做及全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出為等邊，三角形，根據(jù)證出，推出，推出，根據(jù)等邊三角形的判定求出即可解答：證明：正方形，90，15，75，在正方形內(nèi)做及全等，15，901515=60，為等邊三角形（有一個角等于60度的等腰三角形是等邊三角形），1801515=150，36015060=150

5、=，在和中，和15，同理，901515=60，是正三角形點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，又是難點，題型較好，但有一定的難度，對學(xué)生提出了較高的要求2（10分）已知：如圖，在四邊形中，M、N分別是、的中點，、的延長線交于E、F求證：F考點：三角形中位線定理。專題：證明題。分析：連接，作交于G，連接，根據(jù)中位線定理證明，且，根據(jù)證明，可得，根據(jù)平行線性質(zhì)可得：F，從而得出F解答：證明：連接，作交于G，連接N是的中點，且，G是的中點，又M是的中點，且，為等腰三角形，F(xiàn)，F(xiàn)點評：此題主要考查平行線性質(zhì)，以及三角形中位線定

6、理，關(guān)鍵是證明為等腰三角形3（10分）如圖，分別以的邊、為一邊，在外作正方形和，點P是的中點，求證：點P到的距離是的一半考點：梯形中位線定理；全等三角形的判定及性質(zhì)。專題：證明題。分析：分別過E，F(xiàn)，C，P作的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，則（），易證，則，即可得證解答：解：分別過E，F(xiàn)，C，P作的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，則，P是的中點，Q為的中點，為梯形的中位線，（），（正方形的邊長相等），（同角的余角相等），90，（），同理，點評：此題綜合考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定以及正方形的性質(zhì)等知識點，輔助線的作法很關(guān)鍵4（10分）設(shè)P是平行四邊形內(nèi)部的一點，且求證：考點：四點共

7、圓；平行四邊形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)已知作過P點平行于的直線，并選一點E，使，利用，進而得出，得出共圓，即可得出答案解答：證明：作過P點平行于的直線，并選一點E，使，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，共圓（一邊所對兩角相等），點評：此題主要考查了四點共圓的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練利用四點共圓的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵5（10分）P為正方形內(nèi)的一點，并且，2a，3a，求正方形的邊長考點：正方形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。專題：綜合題。分析：把順時針旋轉(zhuǎn)90得到，根據(jù)勾股定理得到2a，再根據(jù)勾股定理逆定理證明是直角三角形，從而得到135，過點C作于點F，是等腰直角

8、三角形，然后再根據(jù)勾股定理求出的長度，即可得到正方形的邊長解答：解：如圖所示，把順時針旋轉(zhuǎn)90得到，2a，2a，在中，222=9a2，是直角三角形，90，45+90=135，過點C作于點F，則是等腰直角三角形，在中，即正方形的邊長為a點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵6（10分）一個圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水向容器中注滿水的全過程共用時間t分求兩根水管各自注水的速度考點：分式方程的應(yīng)用。分析：設(shè)小水管進

9、水速度為x，則大水管進水速度為4x，一個圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水向容器中注滿水的全過程共用時間t分可列方程求解解答：解：設(shè)小水管進水速度為x立方米/分，則大水管進水速度為4x立方米/分由題意得：解之得：經(jīng)檢驗得：是原方程解小口徑水管速度為立方米/分，大口徑水管速度為立方米/分點評：本題考查理解題意的能力，設(shè)出速度以時間做為等量關(guān)系列方程求解7（10分）（2009郴州）如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（2，1），且P（1，2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，垂直于x軸，垂直

10、于y軸，垂足分別是A、B（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當點Q在直線上運動時，直線上是否存在這樣的點Q，使得及面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以、為鄰邊的平行四邊形，求平行四邊形周長的最小值考點：反比例函數(shù)綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（2，1），設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，運用待定系數(shù)法可求它們解析式；（2）因為P（1，2）為雙曲線上的一點，所以、面積為1，依據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點Q在雙曲線上，即符合條件的點存在，是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖

11、象的交點；（3）因為四邊形是平行四邊形，所以，而點P（1，2）是定點，所以的長也是定長，所以要求平行四邊形周長的最小值就只需求的最小值解答：解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為，將點M（2，1）坐標代入得，所以正比例函數(shù)解析式為，同樣可得，反比例函數(shù)解析式為；（2）當點Q在直線上運動時，設(shè)點Q的坐標為Q（m，m），于是Sm2，而S（1）（2）1，所以有，m2=1，解得2，所以點Q的坐標為Q1（2，1）和Q2（2，1）；（3）因為四邊形是平行四邊形，所以，而點P（1，2）是定點，所以的長也是定長，所以要求平行四邊形周長的最小值就只需求的最小值，（8分）因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點Q的坐標為

12、Q（n，），由勾股定理可得22（n）2+4，所以當（n）2=0即n=0時，2有最小值4，又因為為正值，所以及2同時取得最小值，所以有最小值2，由勾股定理得，所以平行四邊形周長的最小值是2（）=2（+2）=2+4（10分）點評：此題難度稍大，考查一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，綜合性比較強要注意對各個知識點的靈活應(yīng)用8（10分）（2008海南）如圖，P是邊長為1的正方形對角線上一動點（P及A、C不重合），點E在線段上，且（1）求證：；（2）設(shè)，的面積為y求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值考點：二次函數(shù)綜合題。專題：動點型。分析：（1

13、）可通過構(gòu)建全等三角形來求解過點P作，分別交、于G、F，那么可通過證三角形和全等來求以及在直角三角形中，由于45，因此三角形是等腰直角三角形，那么，而，那么根據(jù)等腰三角形三線合一的特點可得出，同理可得出兩三角形的另一組對應(yīng)邊，相等，因此可得出兩直角三角形全等可得出，而90，那么可得出90，由此可得出（2）求三角形的面積，就要知道底邊和高的長，（1）中已得出，那么可用在等腰直角三角形中求出，即，的長，那么就知道了底邊的長，而高，也就可求出的長，可根據(jù)三角形的面積公式得出x，y的函數(shù)關(guān)系式然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出y的最大值以及對應(yīng)的x的取值解答：（1）證明：過點P作，分別交、于G

14、、F如圖所示四邊形是正方形，四邊形和四邊形都是矩形，和都是等腰直角三角形，90度又，（）1=21+3=2+3=90度90度（2）解：過P作，可得為等腰直角三角形，四邊形為矩形，可得，1S（1x）=x2即x2（0 x）x2（x）2+0，當時，y最大值=點評：本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點，通過構(gòu)建全等三角形來得出相關(guān)的邊和角相等是解題的關(guān)鍵9（10分）（2010河南）如圖，直線1及反比例函數(shù)（x0）的圖象交于A（1，6），B（a，3）兩點（1）求k1、k2的值（2）直接寫出時x的取值范圍；（3）如圖，等腰梯形中，邊在x軸上，過點C作于點E，和反比

15、例函數(shù)的圖象交于點P，當梯形的面積為12時，請判斷和的大小關(guān)系，并說明理由考點：反比例函數(shù)綜合題；一次函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。專題：綜合題。分析：（1）先把點A代入反比例函數(shù)求得反比例函數(shù)的解析式，再把點B代入反比例函數(shù)解析式求得a的值，再把點A，B代入一次函數(shù)解析式利用待定系數(shù)法求得k1的值（2）當y1y2時，直線在雙曲線上方，即x的范圍是在A，B之間，故可直接寫出范圍（3）設(shè)點P的坐標為（m，n），易得C（m，3），3，2，2，利用梯形的面積是12列方程，可求得m的值，從而求得點P的坐標，根據(jù)線段的長度關(guān)系可知解答：解：（1）由題意知k2=16=6反比例函數(shù)的解析式為（x0

16、）x0，反比例函數(shù)的圖象只在第一象限，又B（a，3）在的圖象上，2，B（2，3）直線1過A（1，6），B（2，3）兩點故k1的值為3，k2的值為6；（2）由（1）得出390，即直線的函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，由圖象可知，此時1x2，則x的取值范圍為1x2；（3）當S梯形12時，設(shè)點P的坐標為（m，n），過B作x軸，B（2，3），C（m，3），3，2，2S梯形，即12=4，又6，即點評：此題綜合考查了反比例函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強，注意反比例函數(shù)上的點的特點和利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法要靈活的利用梯形的面積公式來求得相關(guān)的線段的長度，從而確定關(guān)鍵點的坐標是解題的關(guān)鍵1

17、0（10分）（2007福州）如圖，已知直線及雙曲線交于A，B兩點，且點A的橫坐標為4（1）求k的值；（2）若雙曲線上一點C的縱坐標為8，求的面積；（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線于P，Q兩點（P點在第一象限），若由點A，B，P，Q為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的坐標考點：反比例函數(shù)綜合題。專題：綜合題；壓軸題。分析：（1）先根據(jù)直線的解析式求出A點的坐標，然后將A點坐標代入雙曲線的解析式中即可求出k的值；（2）由（1）得出的雙曲線的解析式，可求出C點的坐標，由于的面積無法直接求出，因此可通過作輔助線，通過其他圖形面積的和差關(guān)系來求得（解法不唯一）；（3）由于雙曲線是關(guān)于原點的中心對稱

18、圖形，因此以A、B、P、Q為頂點的四邊形應(yīng)該是平行四邊形，那么的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即6可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出P點的坐標，然后參照（2）的三角形面積的求法表示出的面積，由于的面積為6，由此可得出關(guān)于P點橫坐標的方程，即可求出P點的坐標解答：解：（1）點A橫坐標為4，把4代入中得2，A（4，2），點A是直線及雙曲線（k0）的交點，42=8；（2）解法一：如圖，點C在雙曲線上，當8時，1，點C的坐標為（1，8）過點A、C分別做x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，得矩形S矩形32，S4，S9，S4S矩形SSS32494=15；解法二：如圖，過點C、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，點C在雙曲線上，當8時，1，點C的坐標為（1，8）點C、A都在雙曲線上，S4，S梯形S梯形S梯形（2+8）3=15，S15；（3）反比例函數(shù)圖象是關(guān)