1、 數學建模競賽1優化模型 在研究與解決具體問題中，經常遇到有關優化問題，下面介紹幾個簡單的優化模型。 線性規劃是運籌學的一個重要分支，它起源于工業生產組織管理的決策問題。在數學上它用來確定多變量線性函數在變量滿足線性約束條件下的最優值；隨著計算機的發展，出現了如單純形法等有效算法，它在工農業、軍事、交通運輸、決策管理與規劃等領域中有廣泛的應用。2 問題一 ： 任務分配問題：某車間有甲、乙兩臺機床，可用于加工三種工件。假定這兩臺車床的可工作時間分別為800和900，三種工件的數量分別為400、600和500，且已知車床甲加工單位數量三種工件所需的時間和加工費分別為0.4、1.1、1和13、9、1

2、0，車床乙加工單位數量三種工件所需的時間和加工費分別為0.5、1.2、1.3和11、12、8。問怎樣分配車床的加工任務，才能既滿足加工工件的要求，又使加工費用最低？ 3解 設在甲車床上加工工件1、2、3的數量分別為x1、x2、x3，在乙車床上加工工件1、2、3的數量分別為x4、x5、x6。 可建立以下線性規劃模型：4 問題二： 某廠每日8小時的產量不低于1800件。為了進行質量控制，計劃聘請兩種不同水平的檢驗員。一級檢驗員的標準為：速度25件/小時，正確率98%，計時工資4元/小時；二級檢驗員的標準為：速度15件/小時，正確率95%，計時工資3元/小時。檢驗員每錯檢一次，工廠要損失2元。為使總

3、檢驗費用最省，該工廠應聘一級、二級檢驗員各幾名？解 設需要一級和二級檢驗員的人數分別為x1、x2人, 則應付檢驗員的工資為：因檢驗員錯檢而造成的損失為：故目標函數為：5約束條件為：線性規劃模型：6丁的蛙泳成績退步到115”2；戊的自由泳成績進步到57”5, 組成接力隊的方案是否應該調整？如何選拔隊員組成4100米混合泳接力隊?問題三 混合泳接力隊的選拔 甲乙丙丁戊蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳58”653”59”457”2102”45名候選人的百米成績窮舉法：組成接力隊

4、的方案共有5!=120種。7目標函數若選擇隊員i參加泳姿j 的比賽，記xij=1, 否則記xij=0 0-1規劃模型 cij(秒)隊員i 第j 種泳姿的百米成績約束條件每人最多入選泳姿之一 ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每種泳姿有且只有1人 8模型求解 最優解：x14 = x21 = x32 = x43 = 1, 其它變量為0;成績為253.2(秒)=413”2 MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14

5、+ +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 =1 x41+x42+x43+x44 ui交易費 = piui xiui而題目所給定的定值ui(單位:元)相對總投資M很小, piui更小,可以忽略不計,這樣購買Si的凈收益為(ri-pi)xi203要使凈收益盡可能大，總體風險盡可能小,這是一個多目標規劃模型: 目標函數 MAX MINmax qixi約束條件 xi0 i=0,1,n4. 模型簡化： 1) 在實際投資中，投資者承受風險的程度不一樣，若給定風險一個界限a，使最大的一個風險qixi/Ma，可找到相應的投資方案。

6、21這樣把多目標規劃變成一個目標的線性規劃。 模型1 固定風險水平，優化收益目標函數： Q=MAX 約束條件： a xi 0 i=0，1，n 2)若投資者希望總盈利至少達到水平k以上，在風險最小的情況下尋找相應的投資組合。模型2 固定盈利水平，極小化風險22目標函數： R= minmax qixi約束條件： xi 0 i=0，1，n 3) 投資者在權衡資產風險和預期收益兩方面時，希望選擇一個令自己滿意的投資組合。因此對風險、收益賦予權重s（0s1)，s稱為投資偏好系數.模型3 目標函數： min smaxqixi -（1-s） 約束條件 =M， xi0 i=0,1,2,n2317.5 模型1的

7、求解 模型1 固定風險水平，優化收益目標函數： Q=MAX 約束條件： a xi 0 i=0，1，n 模型1為: minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0 x1 x2 x3 x 4 x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1 0.025x1 a 0.015x2 a 0.055x3 a 0.026x4a xi 0 (i = 0,1,.4)24 由于a是任意給定的風險度，到底怎樣給定沒有一個準則，不同的投資者有不同的風險度。我們從a=0開始，以步長a=0.001進行循環搜索，編制程序如下：a=0;whi

8、le(1.1-a)1c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065;beq=1;A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=xQ=-valplot(a,Q,.)axis(0 0.1 0 0.5)hold ona=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q)25計算結果：a = 0.0030 x

9、= 0.4949 0.1200 0.2000 0.0545 0.1154 Q = 0.1266a = 0.0060 x = 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 Q = 0.2019a = 0.0080 x = 0.0000 0.3200 0.5333 0.1271 0.0000 Q = 0.2112a = 0.0100 x = 0 0.4000 0.5843 0 0 Q =0.2190a = 0.0200 x = 0 0.8000 0.1882 0 0 Q =0.2518a = 0.0400 x = 0.0000 0.9901 0.0000 0 0 Q =0.26732617.6 結果分析 1.風險大，收益也大。 2.當投資越分散時，投資者承擔的風險越小，這與題意一致。即: 冒險的投資者會出現集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。 3.曲線上的任一點都表示該風險水平的最大可能收益和該收益要求的最小風險。對于不同風險的承受能力，選擇該風險水平下的最優投資組合。27 4.在a=0.006附近有一個轉折點，在這一點左邊，風險增加很少時，利潤增長 很快。在這一點右邊，