1、數學分析電子教案重慶郵電大學數理學院高等數學教學部沈世云第二章 極限與連續第一節 數列極限和無窮大量第二節 函數極限第三節 連續函數第四節 無窮小量與無窮大量的階第二節 函數極限二、 x 趨向有限值時函數的極限一、x趨向無窮大時函數的極限三、 函數極限的性質與運算四、函數值趨于無窮大的情形一、自變量趨向無窮大時函數的極限 一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限一、自變量趨向無窮大時函數的極限通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用數學語言刻劃函數“無限接近”.一、自變量趨向無窮

2、大時函數的極限 通過上面的觀察:問題:如何用數學語言刻劃函數“無限接近”.定義1 如果對于任意給定的正數 (不論它多么小),總存在著正數 ,使得對于適合不等式 的一切 , 所對應的函數值 都滿足不等式,那末常數 就叫函數 當 時的極限,記作2.另兩種情形: 3.幾何解釋:例1證例2 證明證故不妨設|x|1，而當|x|1時二、自變量趨向有限值時函數的極限定義2 如果對于任意給定的正數 (不論它多么小),總存在正數 ,使得對于適合不等式 的一切 ,對應的函數值 都滿足不等式,那末常數 就叫函數 當 時的極限,記作2.幾何解釋:注意：函數極限的演示dd目的：對任意的e0, 要找d0，使得0|x-x0

3、|d 時，有|f(x)-A|e.即 A-e f(x) A+e.哈哈, d找到了!dd這樣的d 也能用,看來有一個d 符合要求,就會有無窮多個d 符合要求!證例3例4證例5證例6證函數在點x=2處沒有定義.3.單側極限:例如,左極限 右極限左右極限存在但不相等,例7證定理 如果當xx0時f(x)的極限存, 那么這極限是唯一的 證明， x x f B A 時的極限 當 都是 設 0 , , ) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 e d d e - - $ A x f x x 時有 當 則 , ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d - - $ B x f x x 時有 當 故有 同時成立 時

4、 則當 取 ， x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1 d d d d - = . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( e $ = = . 1 ) ( 1 ) ( + - A x f A x f . ) ; ( ) ( 0 內有界 在 即 d x U x f o 3. 局部保號性定理證明 設A0,對任何0,使得對一切這就證得結論.對于A 0的情形可類似地證明.推論定理 (函數極限的局部保號性) 如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么對任何正數rA (或 r 0 (或f(x) -r $ - = 使得 則 取 設 . ) ( r A x f

5、 = - e 有 . 0 的情形類似可證 對于 r 推論 如果在x0的某一去心鄰域內f(x)0(或f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0) 3. 局部保號性定理 (函數極限的保不等式性) 證明). ( lim ) ( lim ), ( ) ( ) ; ( ) ( ), ( 0 0 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 則 內有 極限都存在且在 時 如果 d o , ) ( lim , ) ( lim 0 0 B x g A x f x x x x = = 設 ) 1 ( ), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f A

6、x x - - $ e d d e 時有 當 則 ) 2 ( . ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d + - $ B x g x x 時有 當 于是有 同時成立 與 不等式 時 則當 令 ， x g x f x x ) 2 ( ), 1 ( ) ( ) ( , 0 , , , min 0 2 1 - = d d d d d , ) ( ) ( e e + - B x g x f A . , 2 B A B A + 的任意性知 由 從而 e e 4 保不等式推論定理 如果函數f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(

7、x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A 證明), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x g A x x ， - - $ e d d e 時有 當 按假設 . ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d + - $ A x h x x 時有 當 故有 同時成立 時上兩不等式與 則當 令 , ) ( ) ( ) ( 0 , , min 0 2 1 x h x f x g x x - = d d d d , ) ( ) ( ) ( e e + - A x h x f x g A . ) ( lim ) ( 0 A x f ， A x f x x = - 即 由此得 e 5 迫斂性說

8、明: 利用性質6，可數列極限來判斷函數極限不存在，其方法是：6 .Heine定理的不同數列法1 找一個數列且使法2 找兩個趨于及使不存在 .例8證二者不相等,定理 設 , 則 1）2）3）7、 函數極限的運算法則定理之3）的證明 只要證， 令，由 ，使得當 時，有 ， 即 , 仍然由 ，.，使得當 時，有 . 取 ，則當 時，有 即 推論1常數因子可以提到極限記號外面.推論2注：1.定理的條件：存在商的情形還須加上分母的極限不為02.定理簡言之即是：和、差、積、商的極限 等于極限的和、差、積、商3.定理中極限號下面沒有指明極限過程，是指對 任何一個過程都成立四、函數值趨于無窮大的情形特殊情形：正無窮大，負無窮大注意1.無窮大是變量,不能與很大的數混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.不是無窮大無界，證例12.為非負常數 )五、兩個常用不等式和重要極限扇形OAB的面積即OAB的面積OAC的面積例13據二項式定理例14 (e2.71828).x與n同時趨向+例15例16例17.例18.其它幾個重要極限:函數極限的統一定義(見下表)小結過 程時 刻從此時刻以后 過 程時 刻從此時刻以后 思考題思考題解答無窮遠點與有限點的關系這個運動表明：當x沿直線趨于正無窮大時，圓周上對應的點按逆時針方向趨于頂點這個運動表明：當x沿直線趨于負無窮大時，圓周上對應的點按