1、2014/3/20 Thursday1第八章多元數積分平=12z1) 分 :區到 n小曲f 是定非z = f (x, y)zf ( x, y)1 ,n ,zn平一zf ( x, y)柱i小Oxy 平其i2) 代:以o上, ( x頂y線線平行于 z 軸( x) ) ,yxoyi平頂ix分Vf ( x , y );iii ii34定3):設 是i (i 1,f :R 是（di （其n 個Vn, n)ni 1n i 1）子if ( x , y )Viii ii i ,值Pi i ,4):n f ( Pi ) i i 1max(d1 , , dn )分于一點maxdi 0 ）體0nIlim f ( P

2、i ) inilimf ( x , y ) Vmax di0iimax di 0 i 1i 1512014/3/20 ThursdayfRiemann 可定中f (x, y)IfRiemann1)2)nlim f ( Pi )時必平行f di0 i 1積面積元3)4)號角 標D ,d dxdy ,下線yR2I說nDi if ( x, y)dIlimf ( x , y )i 0i 1f ( x, y)df ( x, y)dxdyoxDD782三1積 可f 是 部函12 R ,gdfg,f df df d 2 g)dfd(f1平 區f ( x, y)dDg)d平D ,f ( x, y)df ( x

3、, y)dgd(ffdDDD12DDD3D 上dDf = 1 ,分ADA .91045號估值若 ff.gf gM1 , M2函f d M1 f M2 ,gd f d M2M1.f dfd.平DDDf ( x, y)d g( x, y)d f ( x, y)d M2M1.DDf ( x, y)df ( x, y) d .DDD111222014/3/20 Thursday例1、判斷ln( x2 y2 )dxdy 的符號。x y 1解： 當 x y 1 時，0 x2 y2 ( x y )2 1ln( x2 y2 ) 0ln( x2 y2 )dxdy 0 x y 16、中值定理若 f 是有界閉區域

4、上的連續函數， f d f ( P ) .則必存在 P , 使得二重積分 為平面區域 D ， 為區域 D 的面積， f ( x, y)d f ( , ) D( ,) D .1314例3、用重積分性質估計 I sin( x2 y2 )d 的值，cos x2 y2 d ,例2、比較積分 I1D 3D2I2 cos x y d , I cos( x y ) d ,3 222 2 x y .422其中 D ：4DD解： 在 D 上，m sin M sin 1 ,其中 D ( x, y) x2 y2 1 .2 ,242解：因在 D：x2 y2 1 上， 2 sin( x2 y2 ) 1 ,0 ( x y

5、 ) x y x y 122 222222由保號性2 sin( x2 y2 )d 1 Dcos x2 y2 cos( x2 y2 ) cos( x2 y2 )2DD2I1 I2 I3 . 1 2 ,所以區域 D 的面積 2D 2 2 sin( x2 y2 )d 1 2 .42D15161f ( x, y)d , f ( x, y) 為連續函數。例4、求lim 0 2x2 y2 2解：區域 D：x2 y2 2 為一個有界閉區域， 由積分中值理，必存在一點 P (, )D , 使得f ( x, y)d f ( , ) ( D) f ( ,) 2x2 y2 21f ( x, y)dlim 0 2x2 y2 21 limf ( , ) 2 lim f ( , ) 0 2 0(, ) 為 x2 y2 2 內的一點，當 0 時，點 (,