1、第二章油氣滲流的數學模型油氣層滲流力學 2.1 概述2.2 滲流基本微分方程的建立2.3 定解條件主要內容2.1 概 述 油氣滲流數學模型：用數學語言綜合表達油氣滲流過程中全部力學現象和物理化學現象的內在聯系和運動規律的方程式（或方程組）。滲流綜合微分方程（滲流基本微分方程）定解條件初始條件邊界條件完整的數學模型一、建立數學模型的基礎1、地質基礎 油氣層的孔隙結構類型、幾何形狀、邊界性質、參數分布2、實驗基礎 科學實驗是認識和檢驗各種滲流力學規律的基礎，是建立數學模型的關鍵3、科學的數學方法 無窮小單元體分析法，通常根據單元體中空間上和時間上的物質守恒定律或微小單元體上的特征來建立微分方程二、

2、油氣滲流數學模型的一般結構 油氣滲流基本微分方程體現了在滲流過程中需要研究的流體力學、物理學和化學問題的總和，并且還要描述這些現象的內在聯系。因此，建立基本滲流微分方程要考慮包括以下幾方面的因素： 滲流過程是流體運動的過程，必然受運動方程支配； 滲流過程又是流體和巖石的狀態不斷改變的過程，所以需要建立流體和巖石的狀態方程； 質量守恒定律是自然界的一般規律，因此基本滲流微分方程的建立必須以表示物質守恒的連續性方程為基礎； 在滲流過程中，有時伴隨發生一些物理化學現象，如能量傳遞、彌散、雙重孔隙介質中的竄流等，此時還應建立描述這種特殊現象的特征方程。二、油氣滲流數學模型的一般結構基本滲流微分方程運動

3、方程流體和巖石的狀態方程連續性方程特征方程邊界條件和初始條件三、建立數學模型的步驟 滲流力學研究主要解決兩類基本問題： 單相滲流問題中，弄清流域內壓力和流速的分布及變化； 在多相滲流過程中和非等溫滲流過程中，弄清流域內飽和度和溫度的分布及變化。 因變量： 自變量：1、確定建立模型的目的和要求三、建立數學模型的步驟2、研究各物理量的條件和情況過程狀況：是等溫過程還是非等溫過程系統狀況：是單組分系統還是多組分系統，甚至是凝析系統相態狀況：是單相還是多相甚至是混相流態狀況：是服從線性滲流規律還是服從非線性滲流規律， 是否物理化學滲流或非牛頓液體滲流三、建立數學模型的步驟3、確定未知量和其它物理量之間

4、的關系運動方程：速度和壓力梯度的關系狀態方程：物理參數和壓力關系連續性方程：滲流速度V和坐標及時間 或飽和度與坐標和時間的關系三、建立數學模型的步驟4、寫出數學模型所需的綜合微分方程 用連續性方程作為綜合方程，把其他方程都帶入連續性方程中，最后得到描述滲流過程全部物理現象的統一微分方程或微分方程組。5、根據量綱分析原則檢查所建立的數學模型量綱是否一致6、確定數學模型的適定性：解的存在、唯一性、穩定性7、給出問題的邊界條件和初始條件2.2 滲流基本微分方程的建立假設條件單相微可壓縮液體；液體滲流符合線性滲流規律；地層巖石均質微可壓縮；地層中為等溫滲流過程。2.2 滲流基本微分方程的建立一、運動方

5、程或寫為：2.2 滲流基本微分方程的建立二、狀態方程 狀態方程：描述液體、氣體、巖石的狀態參數隨壓力變化規律的數學方程。 1.液體的狀態方程取全微分整理流體質量分離變量積分按麥克勞林級數展開，取前兩項變化較小，看成常數2.2 滲流基本微分方程的建立 2.巖石的狀態方程開采前開采后為孔隙體積積分2.2 滲流基本微分方程的建立三、連續性方程（質量守恒方程） 在滲流力學中，質量守恒定律可描述為：在地層中任取一微小單元體，在微元體內若沒有源和匯存在，那么包含在微元體封閉表面內的液體質量變化應等于同一時間間隔內液體流入質量與流出質量之差，用質量守恒定律建立起來的方程稱為質量守恒方程（或連續性方程）。微分

6、法：無窮小微元體分析法。 積分法：矢量場方法。微分法在地層中取一微小的平行六面體單元如圖：點質量流速：分速度分別為： 方向時間內，從左側面流入微元體的質量流量為：時間內，從右側面流出微元體的質量流量為：則微元體在 時間內，沿 方向流入流出的質量流量差為：同理：方向方向同一時間間隔內液體流入質量與流出質量之差時間內，純流入微元體的流體質量為：時間內，微元體中流體質量增加量為：由質量守恒得：微元體內流體質量 微元體封閉表面內的液體質量變化 由質量守恒定律建立連續性方程 的物理含義：質量流速為 的 點，單位體積在單位時間內向包圍曲面外流出的流體質量，反映該點源的強度。無源場有源場（正、負） 為微可壓

7、縮液體在微可壓縮地層中滿足達西線性滲流定律的連續性方程。 不可壓縮液體在剛性介質中滲流的連續性方程為：簡化:或：單相滲流的基本微分方程：考 慮巖 石和 流體 的壓 縮性不考 慮巖 石和 流體 的壓 縮性單相滲流的基本微分方程：兩相滲流的基本微分方程（不考慮巖石和流體的壓縮性）：2.2 滲流基本微分方程的建立四、滲流基本微分方程（數學模型） 將運動方程、狀態方程代入連續性方程。方程左端：同理：則方程左端為： 方程右端： 相對較小，可忽略不計。稱為綜合壓縮系數，表示單位體積巖石在降低單位壓力時，由于孔隙收縮和液體膨脹所排擠出來的液體體積。代入 方程左端等于方程右端：整理得：或：稱為導壓系數，物理意

8、義為單位時間內壓力傳播的地層面積，表明地層壓力波傳導的速度。單位為 或 。 單相微可壓縮流體在微可壓縮地層中按達西定律滲流的滲流基本微分方程。 不考慮流體及巖石彈性，則：式中 為拉普拉斯算子（算符）。 為哈密爾頓算子（算符）?；颍豪绽狗匠?單相不可壓縮流體按達西定律穩定滲流的滲流基本微分方程。進一步說明的兩個問題 不同滲流方式下單相液體滲流基本微分方程的具體形式穩定滲流彈性不穩定滲流單向流平面徑向流球面徑向流坐標變換同理：或 綜合壓縮系數與導壓系數的對應關系綜合壓縮系數定義式綜合壓縮系數與巖石和流體的壓縮系數導壓系數型型注：2.3 定解條件 初始條件：運動要素隨時間變化規律的數學表達式，一

9、般知道起始時刻的分布。 邊界條件：運動要素隨空間位置變化規律的數學表達式，一般知道在邊界上的情況。定解條件初始條件邊界條件一、初始條件 穩定滲流沒有初始條件，只有不穩定滲流問題才需要不穩定滲流的初始條件可表達為：勢函數：二、邊界條件在滲流力學中使用的邊界條件一般有以下三種形式：1、給出勢（壓力）的邊界條件；第一類邊界條件2、給出流動速度的邊界條件；第二類邊界條件3、給出混合邊界條件。第三類邊界條件2、 給出流量（壓力梯度）的邊界條件第二類邊界條件1、 給出壓力（勢函數）的邊界條件第一類邊界條件 由達西公式：外邊界定壓：內邊界（井底）定壓：邊界封閉：井點定產： 例2-1 圓形均質等厚地層中為單相流體，中心一口井定產量生產，寫出下面兩種情況下滲流的數學模型： .邊界定壓，地層中為平面徑向穩定滲流； .邊界封閉，地層中為平面徑向彈性不穩定滲流。 解： 對于穩定滲流，產量、壓力均為定值，所以，其數學模型為：內邊界條件外邊界條件 . 對于封閉彈性不穩定滲流，其數學模型為：內邊界條件外邊界條件初始條件 1.寫出如圖所示，單相液體作單向穩定滲流的數學模型。 2.寫出如圖所示，封閉矩形地層中心一口井定產量生產的彈性不穩定滲流的數學模型。T 2. 解：對于矩形封閉地層，其數學模型為：