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冪平均數(shù)家族統(tǒng)計(jì)平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)定量分析的重要方法，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有著及其重要的地位。統(tǒng)計(jì)平均數(shù)按代表意義和計(jì)算方式的不同，可以分為數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)，其中常用的數(shù)值平均數(shù)有算術(shù)平均數(shù)、調(diào)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，三者源于同一個(gè)家族，并存在統(tǒng)一的關(guān)系式。對(duì)于這種關(guān)系式，絕大多數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)教材只限于兩個(gè)變量情況的初等數(shù)學(xué)證明，很少涉及多個(gè)變量。對(duì)于多個(gè)變量的證明，數(shù)學(xué)專(zhuān)家曾用初等數(shù)學(xué)工具，如：數(shù)學(xué)歸納法、不等式放縮法等證明過(guò)。我們知道，幾種數(shù)值平均數(shù)形式盡管不同，但它們卻同源于一個(gè)家族，從數(shù)學(xué)角度看，它們同屬于“冪平均數(shù)”家族，且之間存在一定的關(guān)系。下面按簡(jiǎn)單平均式和加權(quán)平均式進(jìn)行證明：1簡(jiǎn)單平均式。設(shè)一組變量值為：-,十屋二h即算術(shù)乎均數(shù)不=2,即平方平均數(shù)尹沖K=即立方平韻數(shù)戸汽K7即兒何乎均數(shù)G?U=-L即調(diào)和平均數(shù)H當(dāng)?shù)扔凇⒁粫r(shí)，比較容易證明，現(xiàn)證明當(dāng)?shù)扔跁r(shí)的情況。證：當(dāng)時(shí)，/沐式表現(xiàn)為未定式，即：川）=。對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，ln/A)=ln工疋i=nk(IXi=n)I)此式仍屬于未定式的情況，我們運(yùn)用羅比塔法則求極限，得:即有：.心川丨！一JI心為幾何平均數(shù)。證畢！、加權(quán)平均式。如果對(duì)以上的各個(gè)變量值賦予權(quán)數(shù)：/冷、則它們

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