1、2010年嘉應學院數學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了數學建模競賽的競賽規則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵 件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問 題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的，如果引用別人的成果或其他 公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正 文引用處和參考文獻中明確列出。如果發現抄襲，則要通報批評！我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反 競賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/中選擇一項填寫）：B參賽隊員（打印并簽名）：_指

2、導教師或指導教師組負責人（打印并簽名）：日期：2010年6 月7日公平的選舉辦法摘要本文討論的是某部門在某次評優中涉及的公平的選舉問題。對于問題1,我們用餅圖先粗略估計了評優的2個指標可能落入的單位為甲、乙、 丁。接著建立整數線性規劃模型（ILP）來驗證估計。我們討論了只有領導投票和領導 與各單位人員都參與投票這兩種情況。其中，只有領導投票時，指標落入的可能單位為 甲、乙；領導與各單位人員都參與投票時，指標可能落入的單位為甲、丁。結合實際， 指標最可能落入的單位為甲、丁。問題2, 3我們依然建立整數線性規劃模型來估計指標可能落入的單位.建立模型求 解的結果為：選舉可能落入的單位均為甲、乙。我們

3、用加權變異系數即威廉遜系數匕來 描述問題1、2、3的公平度問題。經過計算，得匕廣0-41518,匕2=匕3 = 0.1038。可以 看出，問題2的選舉方法提高了選舉的公平度，但是問題3改變候選人的分配并沒有提 高選舉的公平性。問題四中，我們首先將模型轉化為公平席位分配問題，對候選人名額進行按比例分 配到各單位中。為了進一步保證了候選人分配的合理性，我們采用Q值法來確定各單位 候選人的分配名額。用Q值法進行分配9名候選人及10候選人時，各單位所分配的候 選名額分別為3、2、1、2、1和3、2、2、2、1。接著將投票方式改進為每人選舉兩人， 但要求投票者只能填寫1個本單位人員，1位其它單位人員，且

4、投票人在票上本人同意 的人名下書寫數字1，表明支持這兩個人，其余不填，最后清點所有候選人所得數字之 和（在統計數字之和時，我們將不填的記為0），數字之和最大的兩個候選人當選。同時， 也用加權變異系數匕的值檢驗改進后的模型的公平性。經計算，得匕4 = 0.05878，數 值比較接近于0，說明問題四提出的選舉方法是較合理的，而且也比較符合實際。關鍵字公平選舉整數線性規劃（ILP）威廉遜系數（即加權變異系數）Q值法問題重述某部門有5個下屬單位，各單位人數情況如下:領導機構甲乙丙丁戊人數257545355025領導傾向2596352上面表中第3行“領導傾向”表示25個領導中有9人在投票中將把票投到甲單

5、位 候選人，6人投乙單位候選人，依次類推。在評選各類先進人物的時候，經常涉及投票的問題。一般各單位人員均傾向于本單 位，領導也有一定的傾向性。但領導的傾向性跟一般成員有差異：當指標較少的時候， 首先傾向于本單位，當指標相對多的時候，為了在整個部門有好印象，會將其中的部分 票投向其它單位成員。當候選人條件完全相同的時候，這種傾向性就顯得更重要。在某次評優中，該部門總共有2個指標。負責人讓每個單位推薦2位候選人， 然后從這10個人中通過投票選出2人。投票人在票上本人同意的人名下書寫數字1，2, 表明支持這兩個人，1優先，2次之，其余不填。最后清點10個候選人所得數字之和， 數字之和最小的兩個候選人

6、當選。假定每位候選人條件相同，估計這兩個指標很大可能 落入哪些單位？該部門為了體現公平，要求每位投票者只能填寫1個本單位人員，1位其它單位 人員。按照這種辦法再估計一下選舉結果。這種辦法是否提高了公平性。為了獲得更大的希望，某個單位只推舉1位候選人，你認為這種做法是否真的 有利，能否對結果產生影響。只考慮（1）單位甲推舉1人，其它4個單位推舉2人；（2） 單位丙推舉1人，其它4個單位推舉2人。提出比較公正合理的選舉辦法。問題分析考慮到，在現實生活的評優選舉中，各單位人員及領導都存在一定的傾向性，一般 來說，各單位人員均傾向于本單位，領導的傾向性跟一般成員有差異：當指標較少的時 候，首先傾向于本

7、單位，當指標相對多的時候，為了在整個部門有好印象，會將其中的 部分票投向其它單位成員。當候選人條件完全相同的時候，這種傾向性就顯得更重要。 由于此次評優只有2個指標，我們假定，這是指標較小的情況，領導的傾向性非常明顯。 在解決問題的時候，為了簡化問題，我們用數字3表示不支持候選人，最后清點10個 候選人所得數字之和，數字之和最小的兩個候選人當選。問題1：對于問題1，我們假定每位候選人條件相同，各單位人員都投本單位的候 選人，同時，領導也投給自己所傾向的單位的候選人。很顯然，這兩個指標很大可能落 入人數多且領導傾向大的單位。我們可以用餅圖來進行直觀估計兩個指標最大可能落入 的單位。因為問題涉及的

8、是求和最小問題，我們建立整數線性規劃（ILP）模型來求解。問題2：該部門為了體現公平，在問題1的基礎上，要求每位投票者只能填寫1個 本單位人員，1位其它單位人員。各單位人員都把1投給本單位的候選人，同時，領導 也把1優先投給自己所傾向的單位的候選人。可以用加權變異系數即威廉遜系數來判斷 公平度是否提高。問題3：為了獲得更大希望，在問題2的基礎上，改變了各單位推舉的候選人數。 我們可以仿照問題1、2的做法來建立模型，依據所得結果，評價此種做法是否真的有 利于提高選舉的公平度。模型假設1、候選人條件完全相同；2、指標較少，領導傾向性非常明顯；3、各單位人員均傾向于本單位；4、無人棄權投票；5、每人

9、只能投兩票，且不能將兩票投給同一個人；6、投票人之間的投票互不影響，且投票方式一樣。符號說明i1,2, 5分別表示甲、乙、丙、丁、戊單位N投票的總人數C常量表示不支持候選人所給的數字，我們設為：3打分別表示第i個單位的一號和二號候選人所得的數字之和Jil, i2分別表示第i個單位的一號和二號候選人b傾向于i單位的領導和i單位的投票總數七表示第i單位一號的獲得的數字是“ 1”的票數七表示第i單位二號的獲得的數字是“ 1”的票數匕.1表示第i單位投給第j單位的1號的數字是“1”的票數匕2表示第i單位投給第j單位的2號的數字是“1”的票數模型建立和求解1、問題一的模型建立和求解根據問題1的分析，我們

10、先采用餅圖，將各單位人數及領導在各單位的傾向度人數 直觀地表示出來，由餅圖（附錄1-1）可知，甲單位人數占的比例最大，其次是乙單位 和丁單位，據現實經驗可知，評優的2個指標最有可能落入的單位為甲、乙、丁。這只 是我們的粗略估計，下面我們就建立整數線性規劃模型來驗證。令七來表示第i個單位的兩名候選人所得的數字之和。建立目標函數：Min ziti=1 t=1為了統一，我們用i1，i2表示第i個單位的兩名候選人;約束條件1是每個候選人所得的數字之和滿足：G = 1,2,.5)約束條件2是傾向于i單位的領導和i單位的投票總數滿足:G = 1,2,. 5)對此，可以通過建立一個整型規劃模型來求解:男zx

11、 + x = b% Xi2均為整數變量(z )()1 2)(N - b )i1=(xx )+ cik z J i 2yi1i 2 k 2 1Jk N - b JiMini=1 t=1it(i = 1,2,5)G = 1,2,5)1.1根據以上分析，我們假設只有領導進行投票，各單位人員均不參與投票時，有 b =（9 6 3 5 2）,N=25.通過應用Lingo軟件，運行程序（見附錄1-2）求解的結果為：z = 66 z = 57 z = 69 z = 63 z = 72 z = 69 z = 70 z = 65 z = 73 z = 7111122122313241425152可知，落入單位為

12、甲（2）、乙（2），與初步估計吻合。1.2模型1.1的結果忽略了各單位人員，顯然不太合理，那么我們對1.1的模型進行 改進，假設各單位人員均參與投票，且投票方式不變，此時的 b =（84 51 38 55 27），N=255.通過應用Lingo軟件，運行程序（見附錄1-3）求解的結果為：z = 681 z = 597 z = 714 z = 663 z = 727 z = 689 z = 710 z = 655 z = 738 z = 71111122122313241425152觀察結果，易知，落入的單位為甲（2）、丁（2），與初步估計吻合。2、問題二的模型建立和求解根據問題2的分析，我們依

13、然建立整數線性規劃模型來估計此種選舉方法產生的結果。來表示第i個單位的兩名候選人所得的數字之和。k / 2 J建立目標函數:Min Ziti=1 t =1為了統一，我們用i1，i2表示第i個單位的兩名候選人;約束條件1是每個候選人所得的數字之和為:(z :(x )=i1k z Jr k七J， uji1j=1+ c(N - xi1-u :ji1j=1(i = 1,2,.5,) uN - x-乙uji 2i2ji2j=1 kj M kj=1)j Mi/+ 2*約束條件2是傾向于i單位的領導和i單位的投票人數滿足:G = 1,2,. 5）對此，可以通過建立一個整型規劃模型來求解:(z )(x )i1

14、=i1kz Jkx Jj=i%，+ 2*， uji1j=1+ c(N - xi1-u :ji1j=1(i = 1,2,5) uN - x- uji 2i2ji2k j=1J jMi/kj = 1Jj Mi/i=1 t=1(i = 1,2,. 5)Min zit%均為整數變量(i = 1,2,-5)2.1根據以上分析，我們假設領導及各單位人員均參與投票，且投票方式如問題2所 述，此時有b =（84 51 38 55 27），N=255.通過應用Lingo軟件，運行程序（見附錄2-1）求解的結果為：z = 426 z = 765 z = 579 z = 765 z = 689 z = 765 z

15、= 655 z = 7651112212231324142z51 = 711 z52 = 765觀察結果可知，選舉落入單位為甲（1）、乙（1）。結果與問題1的模型2不一致。 這兩種投票方式，哪一種公平度較高，值得我們探討。下面就公平性問題我們利用威廉 遜系數即加權變異系數探究。2.2公平性的探究威廉遜系數即加權變異系數:加權變異系數加權變異系數又叫威廉遜系數，1965年由美國經濟學家J Williamson首先用來衡 量區域間經濟發展的差異，其計算公式為：式中：V為加權變異系數；xi為第i區域的人均GDP； X為各區域人均GDP的 平均值，即x=Z xi/n； n為區域的個數；p為各區域人口總

16、數；pi為第i區域的人口 數量，即p=Z pi，pi/p為第i區域人口占總人口的比重（權重系數）。加權變異系數越大，區域間經濟發展的差異越大；反之，加權變異系數越小，區域間經 濟發展的差異越小。因為這個指標是衡量區域的差異性，在本題中不同的選舉方式會產生不同的結果， 即存在差異，故我們引入這個系數來衡量各單位的差異性。而各單位的候選人得的票是 數字“2”的數目又決定著其能否得選。故我們將采用衡量得到的票是數字“2”差異來 衡量各單位的公平性。下面將改賦予公式中的各變量的含義為：匕為加權變異系數即是得票是數字是：“2”的差異程度；xi為第i單位某個候選人的得票是數字是：“2”的平均數目；X為所有

17、候選人 的得票是數字是：“2”的平均數目，即X =Z xi/n； n為單位的個數；p為投票的總人數，即p=Z pi； pi為第i單 位的人口數量，pi/p為第i單位投票人占總投票人的比重（權重系數）。問題一甲乙丙丁戊Xi:為第i單位某個候選人的 得票是數字是：“2”的平均 數目4225.51927.513.5x-:為所有候選人的得票是數字是：“2”的平均數目，即25.5X=Z xi/nxi-x-:16.50-6.52-12(xi-x-)2:272.250742.254144Pi:為第i單位的人口數量8451385527P:為投票的總人數，即p=Z pi pi/p255為第i單位投票人占總投 票

18、人的比重(權重系數)0.329410.20.149020.2156860.105882(xi-x-)2*pi/p:89.682406.2960780.86274515.24706sum(xi-x-)2*pi/p:Vw1:為問題一的加權變異系數即是得票是數字是：“2”的112.0880.41518差異程度問題二：甲乙丙丁戊Xi:為第i單位某個候選人的 得票是數字是：“2”的平均 數目21.37525.527.1252528.5x-:為所有候選人的得票是數 字是：“2”的平均數目，即25.5x=Z xi/nxi-x-:-4.12501.625-0.53(xi-x-)2:17.015602.6406

19、250.259Pi:為第i單位的人口數量8451385527P:為投票的總人數，即P=Z pi pi/p:255為第i單位投票人占總投 票人的比重(權重系數)0.329410.20.149020.2156860.105882(xi-x-)2*pi/p:5.6051500.3935050.0539220.952941sum(xi-x-)2*pi/p:Vw2:為問題二的加權變異系數即是得票是數字是：“2”的7.005510.1038差異程度3、問題三的模型建立和求解從問題3的分析中得知，我們依然建立整數線性規劃模型來估計此種選舉方法產生 的結果。來表示第i個單位的兩名候選人所得的數字之和。3.1由

20、于甲只推薦了一名候選人，故z 12沒有表示任何的意義；只是為了模型的式子的整齊性，才引入的一個記號。建立目標函數：-z12Min*切zi=1 t=1 lt)為了統一，我們用i1，i2表示第i個單位的兩名候選人;約束條件1是每個候選人所得的數字之和為:r+ c N -kz=x+1111z=+812r z r x i1=i1+kzi2 k xi 2 J2*2乙j11j=2Uj11j=2)r * uji1j=1+ cN - xi1-*u ji1j=1* uN - x-* uji 2i2ji2k j=1J /i/kj=1Ji i/(i = 2,5,)約束條件2是傾向于i單位的領導和i單位的投票人數滿足

21、:x. + x. = b對此，可以通過建立一個整型規劃模型來求解:(i = 2,5)Min-z12z11z12X11+ 2f uj11j=2=+8(z)(Xi1 i1zi2JXi2J+ 2*X11Xi + Xuijtj=iXi1Xi2+ C(N -Ix u 11j11 J(f uji1j=1+ c(N - xi1-fu ji1j=1f uji 2 j=1 m JN - xi2I-f uji2j=1Jj Mi/j=2均為整數變量(i = 2,5,)(i = 2,5)(i = 1,2,.5)根據以上分析，我們假設領導及各單位人員均參與投票，且投票方式如問題2所述， 此時有b =（84 51 38

22、55 27），N=255.通過應用Lingo軟件，運行程序（見附錄3-1）求解的結果為:z11426 z12 =+8 z21 579 z22 663 z 765 z 689 z 765 z 65531324142z 765z52 711觀察結果可知，選舉落入單位為甲（1）、乙（1）。結果與問題2的模型的結果是一致的。3.2由于戊只推薦了一名候選人，故z32沒有表示任何的意義；只是為了模型的式子的整齊性，才引入的一個記號。建立目標函數:（-z32Min企2 zi=1 t=1 J為了統一，我們用i1，i2表示第i個單位的兩名候選人;約束條件1是每個候選人所得的數字之和為:Z31Z32J )GAfl

23、ilv )、：cJ+ 2*J31 7=1+ u ) + cN-x31Vj=J31 4fy 、JU j=l+ cN-xily )-JuJUJ=1羅2iuJi2廳i7N-x -12ji2j=l /7=1+C0=x +31y y)一 u-JuJ31J31j=4)約束條件2是傾向于i單位的領導和i單位的投票人數滿足:x = b313x + x = bil i2 ii = 1,2,. . 衛 3)對此，可以通過建立一個整型規劃模型來求解:Min冬jI, J-z36Z31=x +31j=l+乙J31j31j=4)+ c N x u -31u -Ju；31;317=4z32+co(Z(Xa zl)+ 2*(

24、y )(N-xy 一jililjilj=lj=l+ c乙UN-x-乙”2il”2* j=/、j、i7j/i7j=ii = 1,2,豐 3)x = b313Xzlj=l t 件i七均為整數變量根據以上分析，我們假設領導及各單位人員均參與投票，且投票方式如問題2所述， 此時有b =（84 51 38 55 27），N=255.通過應用Lingo軟件，運行程序（見附錄3-2）求解的結果為：z = 426 z = 765 z = 579 z = 765 z = 689 z = +s z = 655 z = 7651112212231324142z51 = 711 z52 = 765觀察結果可知，選舉落

25、入單位為甲（1）、乙（1）。結果與上一種的模型以及問題2的模 型的結果是一致的。我們用加權變異系數法對問題三的公平系數進行了分析，發現加權變異系數匕與問 題2的匕相等，說明問題三的這種做法并沒有提高選舉的公平性。故對于某個單位只推 薦一名候選人的做法對結果不會產生影響。可見，如何提高選舉的公平度是值得我們探 討的。下面我們將建立新的模型對就公平性問題進行進一步分析與完善。4、問題四的模型建立和求解存在公平的分配方法嗎“比如加慣例”分配方法是有缺陷的，按照相對不公平度 最小的原則，Q值方法是合理的，然而還有其它衡量公平的指標及分配方法，于是，我 們先提出一組描述公平分配的公理，然后尋求滿足這些公

26、理的分配方法。設第i方人數p （i = 1,2,.,m），總人數i=1 ，待分配席位N，分配結果為in = n （N,p ,p ）。記q = Np /P，顯然若q均為整數，則n = q當q不全為整數是記lq ， TOC o 1-5 h z i i1miiii i ii -IqJ分別為q,向下取整和向上取整，下面是一組公平分配的公理:公理一公理二公理三應減少。q n q ,即 n 必取 HJ二者之一。n （N,p，,p ）n（N +1,p，,p），即總席位增加時n不應減少。i1m i1m若p Y p,p = p （j。i），則n（N,p，,p ） nN,p，,p），即人數增加時n 不i i j

27、ji 1 m i 1 mi公理四 n，n之間的轉移不應使|n - q |+ n - q減少。i ji i i j“比例加慣例”方法顯然滿足公理一，但是不滿足公理二。Q值方法滿足公理二，但是它不滿 足公理一。由于滿足上述公平分配公理的方法根本不存在，只能退而求其次，研究去掉某些公理的 分配方法。為了提高選舉的公平度，我們的模型從以下兩個方面進行改進。4.1改變候選人的分配因為投票選舉問題涉及的是在一定候選人中進行的投票選舉問題，因此，我們可以 將此問題模型轉化為公平席位分配模型。為了使公平性達到最高，應該是每個單位都有候選人。為了討論問題的方便，我們 只考慮候選人數為9和10（候選人數改變時，方

28、法不改變）的情況。我們先運用最簡單 的按比例分配方法，按每個單位所占單位總人數比例進行分配，可得各單位所占候選人 數位。當候選人數為9時，各單位所分配的候選名額分別為3、2、1、2、1；當候選人 數為10時，各單位所分配的候選名額分別為3、2、2、2、1。但是，這種分配方法是有缺陷的。下面我們用Q值法來重新檢驗當候選名額為9和 10的分配問題。我們引入公式八P 2.Q,-皿(J* 1)，1 -1，.，m(4-1)i i其中弓表示第i個單位人數，.表示已占有名額。先按照比例計算結果將整數部分的5席分配完畢，各單位所分配的候選名額分別為 2、1、1、1、0。利用公式（4-1）分配第6個名額，計算7

29、52_452_=亦=9335 乙=E = 1012.5,。丙=心。丁=n125025 2= 湍土）=8，Q戊的值最大，因此把第6個名分給戊單位。依此種方法一直分配 下去，得到的結果為：第7個候選名額分配給乙單位，第8個候選名額分配給丁單位， 第9個候選名額分配給甲單位，第10個候選名額分配給丁單位。用Q值法進行分配9名候選人及10候選人時，各單位所分配的候選名額分別為3、2、1、2、1 和 3、2、2、2、1。4.2改變投票方式在保證了候選名額分配合理的前提下，為了使選舉達到更公平，我們對投票方式做 了改變。根據上面的結果，由于我們假設候選人條件完全相同，當候選人有優先次序之 分時，各單位人員

30、都會將優先票投給本單位的候選人。這樣的投票方式就會使人多的單 位有優勢，我們將投票方式改進為每人選舉兩人，但要求投票者只能填寫1個本單位人 員，1位其它單位人員，且投票人在票上本人同意的人名下書寫數字1，表明支持這兩 個人，其余不填，最后清點所有候選人所得數字之和（在統計數字之和時，我們將不填 的記為0），數字之和最大的兩個候選人當選。若出現數字之和最大的大于等于3人時， 統計領導的投票的數大的當選。倘若還是一樣是，將進行對這幾個數字之和最大的候選 人進行二輪投票，投票方式不變。下面，我們依然采用加權變異系數法來檢驗當候選人數為10，指標依舊為2時此種 投票方法的公平性。不過此時我們采用衡量得

31、到的票是數字“ 1”差異來衡量各單位的 公平性。下面將再次賦予公式中的各變量的含義為：、為加權變異系數即是得票是數字是：“1”的差異程度；xi為第i單位某個候選人的得票是數字是：“1”的平均數目；X為所有候選人 的得票是數字是：“1”的平均數目，即X =z xi/n； n為單位的個數；p為投票的總人數，即p=Z pi； pi為第i單 位的人口數量，pi/p為第i單位投票人占總投票人的比重（權重系數）。將數據代入公式（計算見附錄（4-2），所得結果為：Vw3=0.05878.與Vw2比較，有Vw3 Vw2，顯然公平度提高了。結果令人比較滿意。結果分析在問題一中，我們討論了只有領導投票和領導與各單

32、位人員都參與投票這兩種情 況。其中，只有領導投票時，指標落入的可能單位為甲、乙；領導與各單位人員都參與 投票時，指標落入的可能單位為甲、丁。從現實情況考慮，進行評優時，為了體現公平， 采用的投票方式一般都是民主投票，因此各單位的人員是要參與投票的，指標最可能落 入的單位為甲、丁。對于問題1、2、3,我們用加權變異系數來檢驗改變投票方式后的公平度是否提高。 經過計算，我們發現問題2較問題1的匕小，因此公平度有提高，但是問題3與問題2 的匕值幾乎一樣，也就是說，問題3的改變推舉候選人的方式，對問題2中的選舉方式 中產生的結果幾乎沒影響。這是意料之中的。從按比例分配角度出發，我們就可以基本 肯定，造

33、成這個結果的原因首先是各單位推選候選人的方法不合理。基于這個原因，問題四中，我們首先對候選人名額進行按比例分配到各單位中。我 們采用Q值法來檢驗各單位的分配名額，進一步保證了候選人分配的合理性。也就是在 這一前提下，我們對投票方式及計數方式也進行了改變進，使公平性進一步提高。從改 進模型后計算的V值上我們也可以看出，問題四提出的選舉方法是較合理的，而且也比 W較符合實際。模型檢驗在現實生活中，涉及投票評優選舉時，投票選舉的結果往往都是落在人多的單位， 而我們在問題1，2, 3中建立的模型也能反應這一特點。投票選舉都應該秉承“公平、 公正、公開”的原則，從這點考慮，我們在問題四中建立的模型是比較

34、合理的。因為一 般情況下，投票時各單位人員均傾向于本單位，而且領導也有一定的傾向性。但領導的 傾向性跟一般成員有差異：當指標較少的時候，首先傾向于本單位，當指標相對多的時 候，為了在整個部門有好印象，會將其中的部分票投向其它單位成員。當候選人條件完 全相同的時候，這種傾向性就顯得更重要。我們首先在分配候選人時保證了相對公平性，這也是投票公平的前提。我們對投票方式也進行了限制，這有利于減小由傾向性而造成 的選舉不公平。模型評價與改進方向1 .模型的評價從我們建立的模型來看，無論是理論上或者是和現實的接近性上，都是比較合理的， 我們主要從模型的假設合理性、建模的創造性和結果的正確性對其作出客觀的評

35、價：我們針對問題作出了滿足條件的一些假設，對于問題一，利用餅圖，首先粗糙的 估計可能落入甲和乙。然后建立了整數線性優化模型對估計檢驗。結果符合度很高。但 是由于我們的假設和選舉的方式存在著一些不合理。故對問題二和問題三修改了假設和 選舉方式，并引入了加權變異系數來衡量公平度，驗證對改變的假設和選舉方式提出的 合理性。面對問題四時我們從公理一到公理四中得知在現實生活中不存在絕對的公平選 舉方式和分配方法；所以我們提出了滿足公理二比較公平的Q值法來進行分配候選人的 方法，然后不分優先投票，并檢驗其公平度更高。模型的改進方向由于我們的模型是建立在我們的假設和選舉的方式上的。故存在著一定的不足， 忽略

36、很多影響的因素，把模型理想化和簡單化。故我們的模型可以在對假設和選舉的方 式的改進。使得更切合實際。例如：選舉的問題很復雜，必須考慮到人與人之間的各種關系。我們直接是從總共推舉十名候選人中去選的，并且所有的人都進行投票，沒有 考慮到棄權的情況。沒有區分領導與單位的人員的不同作用。參考文獻姜啟源謝金星葉俊，數學建模（第三版），北京：高等教育出版社,2004年楊啟帆何勇談之奕，數學建模競賽-浙江大學學生獲獎論文點評（1999-2004）， 杭州：浙江大學出版社，2005.5張成剛王秀麗，電力技術經濟基于修正加權變異系數的電力調度公平性指標， 第21卷第五期，2009.10刁在筠劉桂真宿潔馬建華，運

37、籌學（第三版），北京：高等教育出版社，2007.1黃可坤網站 HYPERLINK 嘉應學院數模課件附錄附錄1-1:餅圖(1. 1)各單位人數(1.2)領導傾向單位人數附錄1-2：:min=z11+z12+z21+z22+z31+z32+z41+z42+z51+z52;c=3;z11=x11+2*x12+16火c;z12=2*x11+x12+16火c;z21=x21+2*x22+19火c;z22=2*x21+x22+19火c;z31=x31+2*x32+22火c;z32=2*x31+x32+22火c;z41=x41+2*x42+20火c;z42=2*x41+x42+20火c;z51=x51+2*

38、x52+23火c;z52=2*x51+x52+23火c;x11+x12=9;x21+x22=6;x31+x32=3;x41+x42=5;x51+x52=2;附錄1-3：min=z11+z12+z21+z22+z31+z32+z41+z42+z51+z52;c=3;z11=x11+2*x12+171火c;z12=2*x11+x12+171*c;z21=x21+2*x22+204*c;z22=2*x21+x22+204*c;z31=x31+2*x32+217*c;z32=2*x31+x32+217*c;z41=x41+2*x42+200*c;z42=2*x41+x42+200*c;z51=x51+

39、2*x52+228*c;z52=2*x51+x52+228*c;x11+x12=84;x21+x22=51;x31+x32=38;x41+x42=55;x51+x52=27;附錄2-1：min=z11+z12+z21+z22+z31+z32+z41+z42+z51+z52;c=3;z11=x11+(u211+u311+u411+u511)*2+(255-(x11+u211+u311+u411+u511)*c;z12=x12+(u212+u312+u412+u512)*2+(255-(x12+u212+u312+u412+u512)*c;z21=x21+(u121+u321+u421+u521)

40、*2+(255-(x21+u121+u321+u421+u521)*c;z22=x22+(u122+u322+u422+u522)*2+(255-(x22+u122+u322+u422+u522)*c;z31=x31+(u131+u231+u431+u531)*2+(255-(x31+u131+u231+u431+u531)*c;z32=x32+(u132+u232+u432+u532)*2+(255-(x32+u132+u232+u432+u532)*c;z41=x41+(u141+u241+u341+u541)*2+(255-(x41+u141+u241+u341+u541)*c;z42=

41、x42+(u142+u242+u342+u542)*2+(255-(x42+u142+u242+u342+u542)*c;z51=x51+(u151+u251+u351+u451)*2+(255-(x51+u151+u251+u351+u451)*c;z52=x52+(u152+u252+u352+u452)*2+(255-(x52+u152+u252+u352+u452)*c;x11+x12=75+9;u121+u122+u131+u132+u141+u142+u151+u152=75+9;x21+x22=45+6;u211+u212+u231+u232+u241+u242+u251+u25

42、2=45+6;x31+x32=35+3;u311+u312+u321+u332+u341+u342+u351+u352=35+3;x41+x42=50+5;u411+u412+u421+u422+u431+u432+u451+u452=50+5;x51+x52=25+2;u511+u512+u521+u522+u531+u532+u541+u542=25+2;附錄3-1：min=z11+z21+z22+z31+z32+z41+z42+z51+z52;c=3;z11=x11+(u211+u311+u411+u511)*2+(255-(x11+u211+u311+u411+u511)*c;z21=

43、x21+(u121+u321+u421+u521)*2+(255-(x21+u121+u321+u421+u521)*c;z22=x21+(u122+u322+u422+u522)*2+(255-(x21+u122+u322+u422+u522)*c;z31=x22+(u131+u231+u431+u531)*2+(255-(x22+u131+u231+u431+u531)*c;z32=x31+(u132+u232+u432+u532)*2+(255-(x31+u132+u232+u432+u532)*c;z41=x32+(u141+u241+u341+u541)*2+(255-(x32+u1

44、41+u241+u341+u541)*c;z42=x41+(u142+u242+u342+u542)*2+(255-(x41+u142+u242+u342+u542)*c;z51=x42+(u151+u251+u351+u451)*2+(255-(x42+u151+u251+u351+u451)*c;z52=x51+(u152+u252+u352+u452)*2+(255-(x51+u152+u252+u352+u452)*c;x11=75+9;u121+u122+u131+u132+u141+u142+u151+u152=75+9;x21+x22=45+6;u211+u231+u232+u241+u242+u251+u252=45+6;x31+x32=35+3;u311+u321+u322+u341+u342+u351+u352=35+3;x41+