1、2.3.1 兩直線的交點坐標本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)兩直線的交點坐標 從知識內(nèi)容來說并不是很難，但從解析幾何的特點看，就需要培養(yǎng)學(xué)生如何利用直線方程來討論其特點，得到直線交點，以及交點個數(shù)對應(yīng)于直線在平面內(nèi)的相對位置關(guān)系.在教學(xué)過程中應(yīng)該圍繞兩直線一般方程的系數(shù)的變化來揭示兩直線方程聯(lián)立解的情況，從而判定兩直線的位置特點，設(shè)置平面內(nèi)任意兩直線方程組解的情況的討論，為課題引入尋求理論上的解釋，使學(xué)生從熟悉的平面幾何的直觀定義深入到準確描述這三類情況，在教學(xué)過程中，應(yīng)強調(diào)用交點個數(shù)判定位置關(guān)系與用斜率、截距判定兩直線位置關(guān)系的一致性.課

2、程目標學(xué)科素養(yǎng)A. 會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標；B.會根據(jù)方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系；C.通過兩直線交點和二元一次方程組的聯(lián)系，從而認識事物之間的內(nèi)在的聯(lián)系.1.數(shù)學(xué)抽象：兩直線交點和二元一次方程組的聯(lián)系 2.邏輯推理：方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系3.數(shù)學(xué)運算：解方程組求兩條相交直線的交點坐標 4.直觀想象：直線與方程的關(guān)系重點：能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標難點：會根據(jù)方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標一、情境導(dǎo)學(xué) 在平面幾何中，我們對直線做了定性研究，引入平面直角坐標系后，我們用二元一次方程表示直線，直線的方程

3、就是相應(yīng)直線上每一點的坐標所滿足的一個關(guān)系式，這樣我們可以通過方程把握直線上的點，進而用代數(shù)方法對直線進行定量研究，例如求兩條直線的交點，坐標平面內(nèi)與點直線相關(guān)的距離問題等。二、探究新知兩條直線的交點1.已知兩條直線的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,設(shè)這兩條直線的交點為P,則點P既在直線l1上,也在直線l2上.所以點P的坐標既滿足直線l1的方程A1x+B1y+C1=0,也滿足直線l2的方程A2x+B2y+C2=0,即點P的坐標就是方程組A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.2. 方程組的解一組無數(shù)組無解直線l1和l2公共點的個數(shù)一個無數(shù)個

4、零個直線l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行點睛：如果兩條直線相交,則交點坐標分別適合兩條直線的方程,即交點坐標是兩直線方程所組成方程組的解.1.直線 x+y=5與直線x-y=3交點坐標是()A.(1,2) B.(4,1) C.(3,2) D.(2,1)解析:解方程組x+y=5,x-y=3,得x=4,y=1.因此交點坐標為(4,1).答案:B 三、典例解析例1.直線l過直線xy20和直線xy40的交點，且與直線3x2y40平行，求直線l的方程解法一：聯(lián)立方程eq blcrc (avs4alco1(xy20，,xy40，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y3，)即直線l過點(1,

5、3)因為直線l的斜率為eq f(3,2)，所以直線l的方程為y3eq f(3,2)(x1)，即3x2y90.法二：因為直線xy20不與3x2y40平行，所以可設(shè)直線l的方程為xy4(xy2)0，整理得(1)x(1)y420，因為直線l與直線3x2y40平行，所以eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(42,4)，解得eq f(1,5)，所以直線l的方程為eq f(6,5)xeq f(4,5)yeq f(18,5)0，即3x2y90.求過兩直線交點的直線方程的方法1解本題有兩種方法：一是采用常規(guī)方法，先通過解方程組求出兩直線交點，再根據(jù)平行關(guān)系求出斜率，由點斜式寫出直線方程；二是設(shè)出過兩直

6、線交點的方程，再根據(jù)平行條件待定系數(shù)求解.2過兩條相交直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交點的直線方程可設(shè)為A1xB1yC1A2xB2yC20不含直線l2.跟蹤訓(xùn)練1三條直線ax2y70,4xy14和2x3y14相交于一點，求a的值解解方程組eq blcrc (avs4alco1(4xy14，,2x3y14，)得eq blcrc (avs4alco1(x4，,y2，)所以兩條直線的交點坐標為(4,2)由題意知點(4,2)在直線ax2y70上，將(4,2)代入，得a42(2)70，解得aeq f(3,4).例2.分別判斷下列直線是否相交,若相交,求出它們的交點.(1)l1:2

7、x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.思路分析:直接將兩直線方程聯(lián)立方程組,根據(jù)方程組解的個數(shù)判斷兩直線是否相交.解:(1)方程組2x-y-7=0,3x+2y-7=0的解為x=3,y=-1.因此直線l1和l2相交,交點坐標為(3,-1).(2)方程組2x-6y+4=0,4x-12y+8=0有無數(shù)個解,這表明直線l1和l2重合.(3)方程組4x+2y+4=0,y=-2x+3無解,這表明直線l1和l2沒有公共點,故l1l2.跟蹤訓(xùn)練2 已知直線5x+4y=2a+1與直線2x+3y=a的

8、交點位于第四象限,則a的取值范圍是.解析:由5x+4y=2a+1,2x+3y=a,得x=2a+37,y=a-27,由2a+370,a-27-32,a2.-32a2.答案:-32,2例3 (1)求經(jīng)過點P(1,0)和兩直線l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交點的直線方程; (2)無論實數(shù)a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直線恒過定點,試求該定點.思路分析:(1)設(shè)所求直線方程為x+2y-2+(3x-2y+2)=0,再將x=1,y=0代入求出,即得所求直線方程.(2)將直線方程改寫為-x-y-1+a(x+2)=0.解方程組-x-y-1=0,x+2=0,得直線所過定點.

9、解:(1)設(shè)所求直線方程為x+2y-2+(3x-2y+2)=0.點P(1,0)在直線上, 1-2+(3+2)=0.=15.所求方程為x+2y-2+15(3x-2y+2)=0,即x+y-1=0.(2)由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+a(x+2)=0.所以,已知直線恒過直線-x-y-1=0與直線x+2=0的交點.解方程組-x-y-1=0,x+2=0,得x=-2,y=1.所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直線恒過定點(-2,1). 利用直線系方程求直線的方程 經(jīng)過兩直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交點的直線方程可寫為A1x+B1y+C1+

10、(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直線l2).反之,當直線的方程寫為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0時,直線一定過直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0的交點.跟蹤訓(xùn)練3 已知直線l經(jīng)過原點,且經(jīng)過另兩條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0的交點,則直線l的方程為()A.2x+y=0B.2x-y=0C.x+2y=0D.x-2y=0解析:(方法1)解方程組2x+3y+8=0,x-y-1=0,得交點為(-1,-2).又直線l經(jīng)過原點,由兩點式得其方程為y-0-2-0=x-0-1-0,即2x-y=0.(方法2)設(shè)直線l的方程為2x+3y+8+

11、(x-y-1)=0,因其過原點,所以8+(-)=0,=8,直線l的方程為2x-y=0.答案:B 例4 光線通過點A(2,3)在直線l:x+y+1=0上反射,反射光線經(jīng)過點B(1,1),試求入射光線和反射光線所在直線的方程.思路分析:求點A關(guān)于直線l的對稱點A求反射光線所在直線的方程求入射光線與反射光線的交點坐標求入射光線所在的直線方程解:設(shè)點A(2,3)關(guān)于直線l的對稱點為A(x0,y0),則2+x02+3+y02+1=0,y0-3x0-2=1, ，解之,得A(-4,-3).由于反射光線經(jīng)過點A(-4,-3)和B(1,1),所以反射光線所在直線的方程為y-1=1+31+4(x-1),即4x-5

12、y+1=0.解方程組4x-5y+1=0,x+y+1=0,得反射點P(-23,-13).所以入射光線所在直線的方程為y-3=3+132+23(x-2),即5x-4y+2=0.點關(guān)于直線的對稱點的求法 點P(x,y)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點P0(x0,y0),滿足關(guān)系A(chǔ)x+x02+By+y02+C=0,y-y0 x-x0=BA,解方程組可得點P0的坐標.跟蹤訓(xùn)練4 直線y=2x是ABC的一個內(nèi)角平分線所在的直線,若A,B兩點的坐標分別為A(-4,2),B(3,1),求點C的坐標.解:把A,B兩點坐標代入y=2x知,A、B不在直線y=2x上,因此y=2x為角C的平分線,設(shè)點A(-4,2)關(guān)

13、于y=2x的對稱點為A(a,b),則kAA=b-2a+4,線段AA的中點坐標為(a-42,b+22),則b-2a+42=-1,b+22=2a-42,解得a=4,b=-2,A(4,-2),y=2x是角C平分線所在直線的方程,A在直線BC上,直線BC的方程為y+21+2=x-43-4,即3x+y-10=0,由y=2x,3x+y-10=0,解得x=2,y=4,C(2,4).金題典例 過點P(3,0)作一直線分別交直線2x-y-2=0和x+y+3=0于點A,B,且點P恰好為線段AB的中點,求此直線的方程.解:分析一:設(shè)出直線的方程,求出交點的坐標,再用中點坐標公式.解法一:若直線斜率不存在,則方程為x

14、=3.由x=3,2x-y-2=0,得A(3,4).， 由x=3,x+y+3=0,得B(3,-6).由于4+(-6)2=-10,P不為線段AB的中點.若直線斜率存在,設(shè)為k,則方程為y=k(x-3).由y=k(x-3),2x-y-2=0,得A(3k-2k-2,4kk-2).由y=k(x-3),x+y+3=0,得B(3k-3k+1,-6kk+1).P(3,0)為線段AB的中點,3k-2k-2+3k-3k+1=6,4kk-2-6kk+1=0.2k-16=0,k2-8k=0.k=8.所求直線方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0.分析二:設(shè)出A(x1,y1),由P(3,0)為AB的中點,易求出B

15、的坐標,而點B在另一直線上,從而求出x1、y1的值,再由兩點式求直線的方程.解法二:設(shè)A點坐標為(x1,y1),則由P(3,0)為線段AB的中點,得B點坐標為(6-x1,-y1).點A,B分別在已知兩直線上,2x1-y1-2=0,(6-x1)+(-y1)+3=0.解得x1=113,y1=163.A113,163.點A,P都在直線AB上,直線AB的方程為y-0163-0=x-3113-3,即8x-y-24=0.分析三:由于P(3,0)為線段AB的中點,可對稱地將A,B坐標設(shè)為(3+a,b),(3-a,-b),代入已知方程.2(3+a)-b-2=0,3-a+(-b)+3=0.a=23,b=163.

16、直線AB的斜率即直線AP的斜率,值為b-03+a-3=ba=8.所求直線的方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0.點睛:解法三這種對稱的設(shè)法需要在平常學(xué)習(xí)中加以積累,以上三種解法各有特點,要善于總結(jié),學(xué)習(xí)其簡捷解法,以提高解題速度.解法三:P(3,0)為線段AB的中點,可設(shè)A(3+a,b),B(3-a,-b).點A,B分別在已知直線上,通過直線與二元一次方程的關(guān)系，提出運用方程研究直線位置關(guān)系得問題，讓學(xué)生感悟運用坐標法研究幾何問題的方法。理解運用解方程組，求解直線交點坐標的方法。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。 通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生逐步感悟運用解析

17、法研究幾何問題的方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過典例解析，進一步靈活運用直線方程，解決兩直線的位置關(guān)系及對稱問題，提高學(xué)生解決問題的能力。 三、達標檢測1.直線2x+y+8=0和直線x+y-1=0的交點坐標是()A.(-9,-10)B.(-9,10) C.(9,10) D.(9,-10)解析:解方程組2x+y+8=0,x+y-1=0,得x=-9,y=10,即交點坐標是(-9,10).答案:B 2.直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點在x軸上,則k的值為()A.-24 B.24 C.6 D. 6解析:直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點在

18、x軸上,可設(shè)交點坐標為(a,0),2a-k=0,a+12=0,解得a=-12,k=-24,故選A.答案:A 3.已知直線l1:ax+y-6=0與l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于點P,若l1l2,則點P的坐標為.解析:直線l1:ax+y-6=0與l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于點P,且l1l2,a1+1(a-2)=0,解得a=1,聯(lián)立方程x+y-6=0,x-y=0,易得x=3,y=3,點P的坐標為(3,3).答案:(3,3) 4.求證:不論m為何值,直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通過一定點. 證明:將原方程按m的降冪排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式對于m的任意實數(shù)值都成立,根據(jù)恒等式的要求,m的一次項系數(shù)與常數(shù)項均